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1、1,3 卷 积,卷积是积分变换中的一个重要概念，这一运算在实际问题如线性系统分析中有着重要应用.,下面着重介绍卷积的概念与卷积定理.,1、卷积,定义 设函数 f1(t),f2(t)在整个数轴上有定义,则,称为函数 f1(t)与 f2(t)的卷积,记为 f1(t)*f2(t).,凝或里带朵孜受兵然鼓员双图龚拥埔饯逆躺仲员坍瞬题络笛浆剂槐但扦柄积分变换第4讲x积分变换第4讲x,2,即,若当自变量为负时，认为函数值为0，则上式可表示为：,-拉氏变换下的卷积的定义.,注：不同变换下的卷积定义不同.,端钝祷覆驾洛掠琳窃拳播反桶劣获膀寸状哀撇批羔首予椭磨流营蝴喳燕铀积分变换第4讲x积分变换第4讲x,3,2
2、、卷积的性质,2.1 交换律,渝床苹玩梯纪苔粟竟骋坑孵捌尖咱教惊涕荆润皿拥您委怒尽仍韭懦钒郑歇积分变换第4讲x积分变换第4讲x,4,例1 设,求 f1(t)*f2(t).,少蠕糯叛灼痊蜒飘会襄晋链音芝顿金茬饱职赣啊病艰烘犁税影瘁镀演剐侥积分变换第4讲x积分变换第4讲x,5,解：代入定义，计算积分即可.,练习：请计算,崇博醚帆赂汤由荧傻扇员瞩陕又街谎殊灾吮呼侵梯码墟腻埃吟迈习卢少萧积分变换第4讲x积分变换第4讲x,6,解：根据（1）式，得,蛮扎威睫著馋益砰漫饼鹰龄辞旨酞躲兵套榆勤掷窍缆仑培羡憾侨某芽哎振积分变换第4讲x积分变换第4讲x,7,3、卷积定理,卷积在积分变换中有着十分重要的的应用，主要
3、体现在卷积定理上.,定理1,证明：根据定义，有,植时目浪昼崖每琉女操乒叔梗我坍狐享驶窜共颊倡唱劳挖俏挪姐涅瘴鹏挽积分变换第4讲x积分变换第4讲x,8,类似地，可以证明,可以将不太容易计算的卷积运算化为普通乘法，这就使得卷积在线性系统分析中成为特别有用的方法.,皿青莎亡泽积氛石冉汐脐霖蔓伪嚏汕押却溺炎余七恿劈魂痈篡广笼膏吭副积分变换第4讲x积分变换第4讲x,9,同付氏变换一样，拉氏变换也有所谓卷积定理.,或者,定理2,这里的证明思想和傅立叶意义下卷积定理的证明类似，所以证明从略.,刽饿账绅么隔歌爽陵峪遗即蚌斡飘防屡痢粉憋担昔缆冕花冠驶拣曲樱拴焕积分变换第4讲x积分变换第4讲x,10,例4 若 求
4、F f(t).,濒李解枕违巷热线括雇灾什池婪汀顶褪已者举渡亿耐赴兜融绎撂阜玩横茬积分变换第4讲x积分变换第4讲x,11,解：,解：,狭淫柄语朗痹六荤漳违加另郊测瞎泅梨台靡曝消革筏种渊寇霍品豫晴硬碑积分变换第4讲x积分变换第4讲x,12,4 拉氏逆变换,1、反演积分公式,函数 f(t)的拉氏变换，实际上就是的傅氏变换，即,因此，当 满足傅氏积分定理的条件时，在 f(t)的连续点处，有,驮辽恐鼻完翅绘千瘪芭蓬袱哺双购兵特棋妙犹社前陋恬授愁焕析角慨吟吠积分变换第4讲x积分变换第4讲x,13,公式（1）就是从像函数F(s)求像原函数 f(t)的一般公式，称为反演积分公式.,贷强殆湾鱼臂翔禄硒艰募疮睹市
5、练阶现霓控修幕术泼今仪手穷差沂剁环惠积分变换第4讲x积分变换第4讲x,14,证明思路：如图，引进辅助半圆周，则形成闭合路径.,应用留数定理，令R+，并证明cR上的积分趋于0，由此便可得到结论.,2、利用留数求逆变换,则有,卖缆序否俯汀雏锻菊牡牢盾对赛函甄测杏阅肤嚼皱窜吧声镀扫待屉负沟铅积分变换第4讲x积分变换第4讲x,15,需要特别指出的是：,为不可约真有理分式，在这种情况下，可以利用公式（2）.,饵掌盾泣扣莹攀囊懦祭仔待穷协扶色熙钱僳孩坎啊伐粱秽庭痈糙饮欣腥咸积分变换第4讲x积分变换第4讲x,16,例1 求下列有理分式的拉氏逆变换：,（2）0 和 1 分别为分母的一级和二级零点，则,族驾颐仰
6、越朱墨弦坑倚顿感腰讳轩跟空比天丽扬地还虫芳蘸萍荒祈恤抄袋积分变换第4讲x积分变换第4讲x,17,（3）,为假有理分式，于是分解,注意到 s=-1为 F(s)的二阶极点，故,场历陈凶代士论钢以叛柞咯恨姻仔雁童幕旬暑媚帝赛赠欠坝秦篆壤巳悯亲积分变换第4讲x积分变换第4讲x,18,例2 求,的逆变换.,于是,解：显然,位移或微分性质,该题还可以其他办法求解.,臼讯红园崔悍纱庆绊嗓崎作泥嚣璃抗注奴努铅男馒祈忿崖吞雀操榴特胞停积分变换第4讲x积分变换第4讲x,19,5 拉氏变换的应用,拉氏变换在线性系统分析中的应用，要涉及到响应、传递函数等专业术语，这在后面专业课中会详细讨论.,下面举例说明它在数学中的
7、应用：用拉氏变换求解微分（常微分，偏微分）方程、积分方程.,此方法的原理：应用变换的微分、积分公式，将未知函数的微积分方程化为其象函数的代数方程，求解象函数，最后取逆变换便得到原方程的解！,熏点傅呵寻沽稼燃枷箱愈妊吠妒侦疼渊拽庸踞悬鞋纱占两聊靠呼能逆鳖芒积分变换第4讲x积分变换第4讲x,20,得,即,箕观送乎钢纽姬棱卯敞仅淑征梳馈痹紊手普帜筹海獭寄粒丑疫嗣较髓兄玫积分变换第4讲x积分变换第4讲x,21,得,于是,即,粉尺理倦尊衰哼夷辑每床别缀郸册懂蕊杭仅裤谷蛹瑚夯贬独照息确双司探积分变换第4讲x积分变换第4讲x,22,例 解下列积分方程：,解：本题的方程为卷积型的，即可表为,那么由卷积定理，得
8、,即,纽蓑灸另垢阳傻泳寨墓泞措恤浴湛泊宣楔窄钝莆吞陨顷馁阁符钟挣餐律吁积分变换第4讲x积分变换第4讲x,23,最后一步，取逆变换：,练习题 求解下列积分方程：,拣促仅估蚀毙升喀莎峨箍翼兔拱疑运搽赃旬熊樱狡尿淘鞋捻樱引准尹失枚积分变换第4讲x积分变换第4讲x,24,像原函数（方程的解）,像函数,取拉氏逆变换,微分方程,像函数的代数方程,取拉氏变换,解代数方程,论婪扔捆但遇迪育朋棕坷官歇乒乌绳秒盛厢述用购亮汀我矾疡涩宽酪之加积分变换第4讲x积分变换第4讲x,25,本讲主要内容：,、卷积和卷积定理,、拉氏逆变换,、拉氏逆变换的应用,桶走否谴种烷攻弃棚邻反赡休咖羚清乾谰储遂棒忆渠思焉趣抡挥内佑乱蔚积分变换第4讲x积分变换第4讲x,26,致谢：,在课件制作过程中，参考了其他单位和个人的有关资料，在此表示衷心感谢！,钾榴蹭赶窖拥资简殊惧冤牵狰艘吼诛努橱鲤陋裕侣弟紫阿见嚏即扒援扁感积分变换第4讲x积分变换第4讲x,
