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1、3.2 夫琅和费衍射远场衍射,3.2.1 夫朗和费衍射的装置3.2.2 夫朗和费单缝衍射3.2.3 夫朗和费矩形孔衍射3.2.4 夫朗和费圆孔衍射3.2.5 光学成像系统的分辨本领(分辨率）,3.2.3 夫朗和费矩形孔衍射,衍射图样的主要特征：衍射亮斑集中分布在相互垂直的 x 轴和 y 轴，且亮斑宽度与矩形孔沿两个轴的宽度相反。,是观察屏中心点 P0 处的光场复振幅；,而,a,b 分别是矩形孔沿 x1,y1 轴方向的宽度；,透镜焦平面上 P(x,y)点的光场复振幅：,1.光强分布公式,即矩形孔衍射的相对强度分布等于两个正交单缝衍射因子的乘积。由此可见，夫琅和费矩形孔衍射，实质上是两个正交方向上
2、的单缝衍射因子共同起作用的结果。,则在 P(x,y)点的光强度为：,式中，I0 是 P0 点的光强度，且有 I0=|Cab|2。,2.结果分析与讨论,(1)衍射光强分布(2)中央亮斑(3)衍射图样,(1)衍射光强分布,当=0 时(对应于P0点)，有主极大，IM/I0=1。,对于沿 x 轴的光强度分布，因 y=0，有:,在=m(m=1,2,)处，有极小值，Im=0，相应的点是暗点，暗点的位置为:,相邻两暗点之间的间隔为:,在相邻两个暗点之间有一个强度次极大，次极大的位置:,即,图解法求解结果,夫朗和费矩形孔衍射在 y 轴上的光强度:,在 x,y 轴以外各点的光强度，可按夫琅和费矩孔衍射的总光强分
3、布公式进行计算。尽管 xOy 面内存在一些次极大点，但其光强度极弱。,其分布特性与x 轴类似。,夫朗和费矩形孔衍射图样中 一些特征点的相对强度,(2)中央亮斑,说明：中央亮斑面积与矩形孔面积成反比，在相同波长和装置下，衍射孔愈小，中央亮斑愈大，反之亦然。,中央亮斑面积为：,矩孔衍射的光能量主要集中在中央亮斑处，其边缘在 x,y 轴上的位置是：,可见，随衍射孔的减小，虽然中央亮斑增大，但相应的P0 点光强度愈小。,注意：,(3)衍射图样,a b,对于方形孔径：a=b，沿 x,y 方向有相同的衍射图样。对于矩形孔径：a b，衍射图样沿x、y 方向形状相同、线度不同。,3.2.4 夫朗和费圆孔衍射,
4、由于光学仪器的光瞳通常是圆形的，所以讨论圆孔衍射现象对光学仪器的应用，具有重要的实际意义。,夫朗和费圆孔衍射的讨论方法与矩形孔衍射的讨论方法相同，只是由于圆孔结构的几何对称性，采用极坐标处理更加方便。,设圆孔半径为 a，中心 位于光轴上，圆孔上任一点 Q 的坐标 1、1与相应直角坐标关系：x1=1cos 1，y1=1sin 1,1.光强分布公式,按照衍射积分方程，在经过坐标变换后，P点的光场复振幅可表示为：,类似地，观察屏上任一点 P 的位置坐标、与相应直角坐标的关系为：,可得：,其中利用了 J0(k1)为偶函数的性质。,再由贝塞尔函数的性质：,根据零阶贝塞尔函数的积分表示式：,则 P点光强：
5、,圆孔面积,P0 点光强；,圆孔边缘与中心点沿 方向光线间的光程差,得：,2.结果分析与讨论,(1)衍射图样,光强度分布仅与衍射角(或)有关，而与方位角 无关，即夫朗和费圆孔衍射图样是圆形条纹。,(2)衍射图样的极值特性,由贝塞尔函数的级数定义，可将夫琅和费圆孔衍射的光强分布公式进一步表示为：,当=0 时，对应光轴上的 P0 点，有 I=I0，衍射光强主极大。,当 满足 J1()=0 时，I=0，衍射光强极小（暗环）。,相邻两个暗环之间存在一个衍射次极大，其位置由满足下式的 值决定：,衍射图样中两相邻暗环的间距不相等，距离中心越远，间距越小，这一点与矩形孔的衍射图样不同。,(3)爱里斑,或以角
6、半径 0 表示：,因此,中央亮斑集中了入射在圆孔上能量的 83.78%，称之为爱里斑。其半径 0 由第一光强极小值处的 值决定：,爱里斑的面积：,圆孔面积 S 愈小，爱里斑面积愈大，衍射现象愈明显。只有在 S=0.61f 时，S0=S。,3.2.5 光学成像系统的分辨本领(分辨率）,1.瑞利判据2.几种光学成像系统的分辨本领,1.瑞利判据 从几何光学的观点看，每个像点应该是一个几何点，因此，对于一个无像差的理想光学成像系统，其分辨本领应当是无限的，即两个点物无论靠得多近，像点总可分辨开。但实际上光波通过光学成像系统时，总会因光学孔径的有限性产生衍射，这就限制了光学成像系统的分辨本领。通常，由于
7、光学成像系统具有光阑、透镜外框等圆形孔径，所以讨论其分辨本领时，都是以夫朗和费圆孔衍射为基础。,设有 S1 和 S2 两个非相干点光源，间距为，它们到直径为 D 的圆孔距离为 R，则 S1 和 S2 对圆孔的张角 为：,由于圆孔的衍射效应，S1和 S2 将分别在观察屏上形成各自的衍射图样。假设其爱里斑关于圆孔的张角为0，则,两个点物的衍射像的分辨,根据瑞利判据，将一个点物衍射图样的中央极大位置与另一个点物衍射图样的第一个极小位置重合的状态作为光学成像系统的分辨极限，认为此时光学系统恰好可分辨开这两个点物。这时，两点物衍射图样的重叠区中点光强度约为每个衍射图样中心最亮处光强度的73.5(对于缝隙
8、形光阑，约为81%)。于是，由于衍射效应，一个光学成像系统对点物成像的爱里斑角半径 0 决定了该系统的分辨极限。,2.几种光学成像系统的分辨本领,(1)人眼睛的分辨本领(2)望远镜的分辨本领(3)照相物镜的分辨本领(4)显微镜的分辨本领,(1)人眼睛的分辨本领 人眼的成像作用可等价于单凸透镜。通常人眼睛的瞳孔直径约为 1.56 mm（视入射光强而定)。当人眼瞳孔直径为2mm 时，对于最敏感的光波波长=0.55m，计算可得人眼的最小分辨角 e 为：,通常实验测得的人眼最小分辨角约为 1(=2.910-4rad)，与计算结果基本相符。,(2)望远镜的分辨本领 望远镜的作用相当于增大人眼睛的瞳孔。设
9、望远镜物镜的圆形通光孔直径为 D，若有两个物点恰好能为望远镜所分辨，则根据瑞利判据，这两个物点对望远镜的张角 为：,这就是望远镜的最小分辨角公式。该式表明，望远镜物镜的直径 D 愈大，分辨本领愈高，并且像的光强也愈大。,例如，天文望远镜物镜的直径做得很大(10m)，原因之一就是提高分辨本领。对于=0.55m 的单色光来说，其最小分辨角=0.023=1.1210-7rad，比人眼的分辨本领要大三千倍左右。通常在设计望远镜时，为了充分利用望远镜物镜的分辨本领，应使望远镜的放大率保证物镜的最小分辨角经望远镜放大后等于眼睛的最小分辨角，即：,(3)照相物镜的分辨本领 照相物镜一般都是用于对较远物体的成
10、像，感光底片大致与其焦平面重合。若照相物镜孔径为D，相应第一极小的衍射角为0，则底片上恰能分辨的两条直线的间距 为：,习惯上，照相物镜的分辨本领用底片上每毫米内能成多少条恰能分开的线条数 N 表示：,式中，D/f 是照相物镜的相对孔径,可见，照相物镜的相对孔径愈大，分辨本领愈高。例如，对于 D/f=1:3.5 的常用照相物镜，若=0.55m，则N=14901/3.5=425(条/mm)。作为照相系统总分辨本领的要求来说，感光底片的分辨本领应大于或等于物镜的分辨本领。对于上面的例子，应选择分辨本领大于425 条/mm的底片。,(4)显微镜的分辨本领 显微镜由物镜和目镜组成，一般情况下系统成像孔径
11、为物镜框，因此限制显微镜分辨本领的是物镜框(孔径光阑)。,点物S1和S2位于物镜前焦点外附近，由于物镜焦距很短，所以S1和S2发出的光波以很大的孔径角入射到物镜，其像S1和S2离物镜较远。虽然S1和S2离物镜很近，它们的像也是物镜边缘(孔径光阑)的夫朗和费衍射图样，其爱里斑的半径为：,其中，l 是像距；D是物镜直径。如果=0，则按照瑞利判据，两衍射图样刚好可以分辨，此时的二点物间距 就是物镜的最小分辨距离。,由于显微镜物镜的成像满足阿贝(Abbe)正弦条件：,n 和 n 分别是物方和像方折射率，在 n=1 时，l D。,所以，能分辨两点物的最小距离为：,式中，NA=n sinu 为物镜的数值孔径。,由此可见，提高显微镜分辨本领的途径：增大物镜的数值孔径；减小波长。例如，电子显微镜利用电子束的波动性成像，由于其波长可达10-3nm，因而分辨本领将比可见光显微镜提高几十万倍，只是由于电子显微镜的数值孔径较小，其分辨本领实际上仅提高千倍以上。,作 业,3，5，8，12,
