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1、,第十章 弯曲变形,10-1 梁变形的基本概念 挠度和转角10-2 挠曲线近似微分方程10-3 积分法计算梁的变形10-4 叠加法计算梁的变形1-05 简单超静定梁,-弯曲刚度的计算,梁弯曲变形的计算,目的：要控制梁的最大变形在一定的限度内。,工程中对梁的设计，除了必须满足强度条件外，还必须限制梁的变形，使其变形在容许的范围之内。,梁的挠度，横截面的转角。,度量梁变形的参数-,二、挠度：横截面形心沿垂直于 轴线方向的位移。,一、挠曲线：梁变形后的轴线。,性质：连续、光滑、弹性、极其平坦的平面曲线。,三、转角：横截面绕中性轴转过的角度。用“”表示。,q,用“y”表示。,q,10-1 梁变形的基本
2、概念 挠度和转角,y=y（x）挠曲线方程。挠度向下为正；向上为负。,=(x)转角方程。由变形前的横截面转到变形后，顺时针为正；逆时针为负。,四、挠度和转角的关系,(挠曲线为一条平坦的曲线),x,一、曲率与弯矩的关系：,二、曲率与挠曲线的关系（数学表达式),三、挠曲线与弯矩的关系：联立（1）、（2）两式得,10-2 梁的挠曲线近似微分方程,q,q,挠曲线近似微分方程的近似性忽略了“Fs”以及 对变形的影响,使用条件：弹性范围内工作的细长梁。,结论：挠曲线近似微分方程,10-3 积分法计算梁的变形,步骤：（EI为常量）,1、根据载荷分段列出弯矩方程 M（x）。,2、根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分
3、方程并进行积分,3、根据弯曲梁变形的边界条件和连续条件确定积分常数。,连续条件：,边界条件：,（1）、固定端处：挠度等于零、转角等于零。,（2）、固定铰支座处；可动铰支座处：挠度等于零。,（3）、在弯矩方程分段处：一般情况下左、右的两个截面挠度相等、转角相等。,4、确定挠曲线方程和转角方程,5、计算任意截面的挠度、转角；挠度的最大值、转角的最大值。,1、根据荷载分段列出弯矩方程 M（x）。,2、根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分方程并进行积分,3、根据弯曲梁变形的边界条件和连续条件确定积分常数。,积分法计算梁变形的步骤,边界条件：,连续性条件：,解：a)建立坐标系并写出弯矩方程,例：求图示悬臂梁
4、自由端的挠度及转角(EI=常数）。,b)写出微分方程并积分,c)应用位移边界条件求积分常数,d)确定挠曲线、转角方程,e)自由端的挠度及转角,y,L,解：a)建立坐标系并写出弯矩方程,b)写出挠曲线近似微分方程并积分,c)应用位移边界条件求积分常数,d)确定挠曲线和转角方程,e)最大挠度及最大转角,x=0：y=0;x=l：y=0.,例：求图示简支梁的最大挠度 和最大转角(EI=常数）,F,C,解：a)建立坐标系并写出弯矩方程,b)写出微分方程并积分,例：求图示梁的跨中的挠度和转角（EI=常数）,左侧段（0 x1 a）：,右侧段（a x2 L）：,AC段,CB段,F,C,左侧段（0 x1a）：,
5、右侧段（ax2L）：,c)应用位移边界条件和连续条件求积分常数,连续条件：y1(a)=y2(a),y1(a)=y2(a);边界条件：y1(0)=0,y2(L)=0,b)写出微分方程并积分,F,C,左侧段（0 x1a）：,右侧段（ax2L）：,d)确定挠曲线和转角方程,e)跨中点挠度及两端端截面的转角,d)确定挠曲线和转角方程,两端支座处的转角,F,C,跨中点挠度,讨论：1、此梁的最大转角。,当 a b 时,讨论：2、此梁的最大挠度,当 a b 时最大挠度发生在AC段,当载荷接近于右支座，即b很小时，由上式可得：,而此时梁跨中截面处的挠度为：,两者相差也不超过中点挠度的3%。,因此，在简支梁中，
6、只要挠曲线无拐点，即可用中点挠度来代替最大挠度。,3、a=b 时此梁的最大挠度和最大转角。,F,C,写出下列各梁变形的边界条件和连续条件,1C截面左侧2C截面右侧,1、梁在简单载荷作用下挠度、转角应为已知或有变形表可查；2、叠加法适用于求梁个别截面的挠度或转角值。,一、前提条件：弹性、小变形。,二、叠加原理：各载荷同时作用下，梁任一截面的挠度或转角，等于各载荷分别单独作用下同一梁同一截面挠度或转角的代数和。,三、叠加法的特征：,10-4 叠加法计算梁的变形,=,+,例：叠加法求A截面的转角和C截面 的挠度.,解:a)载荷分解如图,b)由梁的简单载荷变形表，查简单载荷引起的变形。,=,+,例：叠
7、加法求A截面的转角和C截面 的挠度.,c)叠加,=,+,例：确定图示梁C截面的挠度和转角。,解：1、载荷分解如图,2、查梁的简单载荷变形表,由F引起的C点位移：,3、叠加,=,+,例：求图示梁C截面的挠度。,解：1、载荷分解如图,2、查梁的简单载荷变形表,3、叠加,=,+,例：求图示梁B截面的挠度（EI 已知）。,解：1)结构分解如图,2)查梁的简单载荷变形表,3)叠加,例：求图示梁C截面的挠度。,解：1、结构分解如图,2、查梁的简单载荷变形表,=,+,3、叠加,例：拐杆如图，A处为一轴承，允许杆在轴承内自由转动，但不能上下移动，已知：E=210 Gpa，G=0.4 E，求 B 截面的垂直位移。,分析：B点的垂直位移由：AB段弯曲和CA杆扭转而引起。,F,例、用叠加法求图示等截面直梁A、D、E（BC之中点）点的挠度。,解：结构和载荷分解如图。,E,（1）,（2）,F,（4）,
