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1、线段的垂直平分线,问题:如图,A、B、C三个村庄合建一所学校,要求校址P点距离三个村庄都相等.请你帮助确定校址.,A,B,C,A,B,A,B,A,B,C,线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.,定理,(线段垂直平分线的性质定理),线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.,定理,线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.,定理,线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.,定理,线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.,定理,直线MNAB，垂足是C，且AC=CB.点P在MN上.,已知：,PA=PB,求证：,证明:,MNAB（已知）,PCA=PCB(垂
2、直的定义),在PCA和PCB中,PCA PCB(SAS),PA=PB(全等三角形的对应边相等),当点P与点C重合时,上述证明有什么缺陷?,PCA与PCB将不存在.,PA与PB还相等吗?,相等!,此时,PA=CA,PB=CB已知AC=CB PA=PB,已知线段AB,有一点P,并且PA=PB.那么,点P是否一定在AB的垂直平分线上?,P,A,B,这样的点P/不存在,A,B,P,已知:,线段AB,且PA=PB,求证:,点P在线段AB的垂直平分线MN上.,过点P作PCAB垂足为C.,PA=PB(已知)PAB是等腰三角形(等腰三角 形的定义),AC=BC(等腰三角形底边上的高是底边上的中线),PC是线段
3、AB的垂直平分线.即点P在线段AB的垂直平分线MN上.,证明:,和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.,逆定理,小结:,1.线段的垂直平分线上的点,和这条线段两个端点的距离相等.,2.和一条线段两个端点距离相等的 点,在这条线段的垂直平分线上.,和线段两个端点距离相等的所有点的集合.,线段的垂直平分线可以看作是,例 已知:如图ABC中,边AB、BC的垂直平分线相交于点P.求证:PA=PB=PC.,PA=PB(线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点距离相等),证明:点A在线段AB的垂直平分线上(已知),同理 PB=PC,PA=PB=PC.,问题:如图,A、B、C三个村庄合建一
4、所学校,要求校址P点距离三个村庄都相等.请你帮助确定校址.,A,B,C,点P为校址,作图题:如图,在直线 l 上求一点P,使PA=PB,l,B,A,P,点P为所求作的点,填空：1.已知:如图,AD是ABC的高,E为AD上一点,且BE=CE,则ABC为 三角形.,1题图,等腰,填空：1.已知:如图,AD是ABC的高,E为AD上一点,且BE=CE,则ABC为 三角形.2.已知:等腰ABC,AB=AC,AD为BC边上的高,E为AD上一点,则BE EC.(填、或=号),1题图,2题图,等腰,=,3.已知:如图,AB=AC,A=30o,AB的垂直平分线MN交AC于D,则 1=,2=.,30o,1,2,7
5、5o,30o,60o,45o,填空：4.已知:如图,在ABC中,DE是AC的垂直平分线,AE=3cm,ABD的周长为13cm,则ABC 的周长为 cm,A,B,D,C,E,3cm,19,13cm,5.如图,CD、EF分别是AB、BC的垂直平分线.请你指出图中相等的线段有哪些?,AD=BD,CF=BF,AC=BC,CE=BE,1,2,3,CF=DF,即:BF=CF=DF,证明题:1.已知:ABC中,C=90,A=30o,BD平分ABC交AC于D.求证:D点在AB的垂直平分线上.,证明:,30o,C=90o,A=30o(已知)ABC=60o(三角形内角和定理),A=ABD(等量代换),D点在AB的
6、垂直平分线上.(和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.),AD=BD(等角对等边),证明题:2.已知:如图,线段CD垂直平分AB,AB平分CAD.求证:ADBC.,证明:,线段CD垂直平分AB(已知),CA=CB(线段垂直平分线的性质定理),1=3(等边对等角),又 AB平分CAD(已知)1=2(角平分线的定义),2=3(等量代换),AD BC(内错角相等,两直线平行),证明题:3.已知:如图,在ABC中,AB=AC,A=120o,AB的垂直平分线交AB于E,交BC于F.求证:CF=2BF.,300,CF=2AF,AF=BF,CF=2BF,线段垂直平分线上的点和这条线段 两
7、个端点的距离相等.,和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.,线段的垂直平分线可以看作是和线 段两个端点距离相等的所有点的集合.,小结：,作业:P95 2.3.4,证明题:4.已知:如图,AD平分BAC,EF垂直平分AD交BC的延长线于F,连结AF.求证:CAF=B.,1+2=4(等边对等角),又 4=B+3(三角形的一个外角等于与它 不相邻的两个内角的和),1+2=B+3,AD平分BAC(已知)2=3(角平分线的定义),1=B 即 CAF=B.,证明:EF垂直平分AD(已知),AF=DF(线段垂直平分线的性质定理),如图,已知:AOB,点M、N.求作:一点P,使点P到AOB两边的距离相等,并且满足PM=PN.,点P为所求作的点,
