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1、第5讲,解直角三角形,1知道 30，45，60角的三角函数值2会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角3运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题,复习目标,考点 1,锐角三角函数的概念,在ABC 中，C90，设A，B，C 的对应边分别为 a，b，c.,考点2考点3,特殊角的三角函数值解直角三角形及其应用,1解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形,2解直角三角形的理论依据在 RtABC 中，C90，a，b，c 分别为A，B，,C 的对边,a2b2c2
2、,AB90,三边之间的关系：_；锐角之间的关系：_；,边角之间的关系：sinA_，cosA_，,tanA_.,3仰角、俯角、坡度、坡角和方向角,上方,下方,(1)仰角：视线在水平线_的角叫做仰角俯角：视线在水平线_的角叫做俯角(2)坡度：坡面的铅直高度和_的比叫做坡度(或者,叫做_)，用字母 i 表示,水平宽度,坡比,坡角：坡面与水平面的夹角叫做_，用表示，则,有 i_.,坡角,tan,水平线或铅垂线,(3)方向角：平面上，通过观察点作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点 O 出发的视线与_所夹的角，叫做观测的方向角,4解直角三角形实际应用的一般步骤,(1)弄清题中名词、
3、术语，根据题意画出图形，建立数学模,型；,(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，,把实际问题转化为解直角三角形问题；,(3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；,(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从,而得到问题的解,【学有奇招】,1解直角三角形技巧：要解直角三角形，角的关系有互余，边的关系有勾股；有斜边用正余弦，没有斜边用正切；计算过程有方法，选用乘法勿用除；采取原始避中间，结果准确不易错,2测量物体高度的方法：利用直角三角形的边角关系；,利用影长与物高成比例,1在 RtABC 中，各边的长度都扩大 2 倍，那么锐角 A,的正弦值(,),C,A扩大 2 倍
4、C没有变化,B扩大 4 倍D缩小一半,2小明沿着坡度为 12 的山坡向上走了 1000 m，则他升,高了(,),A,A200C500,mm,B500 mD1000 m,3如图6-5-1，在ABC中，A45，B30，CD,AB，垂足为 D，CD1，则 AB 的长为(,),D,A2,B2,C.,3,1,D.1,图 6-5-1,图 6-5-2,4计算：cos245tan30sin60_.,1,5如图6-5-2，P是的边OA上一点，点P的坐标为(12,5)，,则 tan_.,512,，则 cosA 的值是(,锐角三角函数的概念及求值1(2013 年江苏连云港)在 RtABC中，C90，若sinA,51
5、3,),D,A.,512,B.,813,C.,23,D.,1213,2(2013 年山东济南)已知直线 l1l2l3l4，相邻的两条平行直线间的距离均为 h，矩形 ABCD 的四个顶点分别在这四条直线上，放置方式如图 6-5-3，AB4，BC6，则 tan的值,等于(,),C,A.,23,B.,34,C.,43,D.,32,图 6-5-3,名师点评：求解锐角三角函数通常蕴含在一定的背景图形(网格、平行线、三角形、圆等)，通过相关角、线段的转移或构建到特殊的直角三角形中进行求解,特殊角的三角函数值的计算,D,号),名师点评：在锐角的条件下，特殊角的三角函数值可以正、反联用关键是要理解三角函数的概
6、念要领和熟记特殊角(30，45，60)的三角函数值,解直角三角形及其应用,例题：(2013年江苏南京)已知不等臂跷跷板AB 长4 m如图 6-5-4(1)，当 AB 的一端 A 碰到地面时，AB 与地面的夹角为；如图 6-5-4(2)，当 AB 的另一端 B碰到地面时，AB与地面的夹角为.求跷跷板 AB 的支撑点O到地面的高度 OH(用含，的式子表示),图6-5-4,1(2013 年广东佛山)如图6-5-6，若A60，AC20 m，,),B,则 BC 大约是(结果精确到 0.1 m)(A34.64 mB34.6 mC28.3 mD17.3 m,图 6-5-6,2(2013 年广东深圳)如图 6
7、-5-7，已知 l1l2l3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角三角形 ABC 的三个顶点,分别在这三条平行直线上，则 sin的值是(,),D,A.,13,B.,617,图 6-5-7,5(2013 年广东湛江)阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题：,观察上述等式，猜想：对任意锐角 A，都有 sin 2Acos 2A,_.,1,1,1,1,(2)已知：A为锐角(cosA0)，且sinA，求cosA.,(1)如图 6-5-9，在锐角三角形 ABC 中，利用三角函数的定,义及勾股定理对A 证明你的猜想；,35,图 6-5-9,图59,6(2013 年广东珠海)一测量爱好者，在海边测量
8、位于正东方向的小岛高度 AC.如图 6-5-10，他先在点 B 测得山顶点 A 的仰角是 30，然后沿正东方向前行 62 米到达 D 点，在点 D 测得山顶 A 点的仰角为 60(B，C，D 三点在同一水平面上，且测量仪的高度忽略不计)求小岛的高度 AC(结果精确到 1 米，参考数据：1.4，1.7),图 6-5-10,7(2013 年广东广州)如图 6-5-11，在东西方向的海岸线MN 上有 A，B 两艘船，均收到已触礁搁浅的船 P 的求救信号，已知船 P 在船 A 的北偏东 58方向，船 P 在船 B 的北偏西 35方向，AP 的距离为 30 海里(1)求船 P 到海岸线 MN 的距离(精
9、确到 0.1 海里);(2)若船 A、船 B 分别以 20 海里/时、15 海里/时的速度同时出发，匀速直线前往救援，试通过计算判断哪艘船先到达,船 P 处,图 6-5-11,，,解：(1)如图 60，过点 P 作 PDAB 于点 D.由题意，得PAB905832，PBD903555，AP30，,在RtADP 中，sinPAD,PDAP,得 PDAPsinPAD，,即PD30sin3215.9.,图 60,答：船 P 到海岸线 MN 的距离约为 15.9 海里,，,(2)在 RtBDP 中，sinPBD,PDBP,即 BP,PDsinPBD,19.4.,因为,30 19.420 15,，所以 B 船先到达 P 处,答：船 B 先到达船 P 处,
