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1、第二十二章 一元二次方程,22.1一元二次方程(1),什么是方程？什么是方程的解（或根）？,答：含有未知数的等式叫做方程。使方程两边成立的未知数的值叫做方程的解。,曾学过哪些方程？,分式方程，一元一次方程，二元一次方程。,什么叫做一元一次方程？,温故知新,?,问题情景(1),问题(1)有一块矩形铁皮,长100,宽50,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600平方厘米,那么铁皮各角应切去多大的正方形?,100,50,x,3600,分析:,设切去的正方形的边长为xcm,则盒底的长为,宽为.,(100-2x)cm,(50-2x)cm
2、,根据方盒的底面积为3600cm2,得,即,?,问题(2)要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?,问题情景(2),分析:,全部比赛共,47=28场,设应邀请x个队参赛,每个队要与其他 个队各赛1场,由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛,所以全部比赛共 场.,(x-1),即,一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的长为m，宽为m如果地毯中央长方形图案的面积为m2，则花边多宽?,你怎么解决这个问题？,问题情景(3),解：如果设花边的宽为xm,那么地毯中央长方形图案的长为 m,
3、宽为 m,根据题意,可得方程：,（82x）,（52x）,(8 2x)(5 2x)=18.,5,x,x,x,x,（82x）,（52x）,8,18m2,问题情景(3),x,8m,1,10m,7m,6m,解：由勾股定理可知，滑动前梯 子底端距墙m,如果设梯子底端滑动X m，那么滑 动后梯子底端距墙m,根据题意，可得方程：,72(X6)2102,6,X6,如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？,10m,问题情景(4),由上面四个问题，我们可以得到四个方程：,(8-2x)(5-2x)=18;,即 2x2 13x 11=0.
4、,(x)22102,即 x2 12 x 15 0.,上述四个方程有什么共同特点？与我们以前学过的一元一次方程和分式方程有什么区别？,特点:,都是整式方程;,只含一个未知数;,未知数的最高次数是2.,1、上面四个方程整理后含有 _未知数,它们的最高次数 是 _,等号两边是 _ 式。,2、和以前所学的方程比较它们叫什么方程？请定义。,一个,2,整,一元二次方程的概念,像这样的等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程。,都是整式方程;,只含一个未知数;,未知数的最高次数是2.,即：一元二次方程的共同特点:,一般地,任何一个关于x的一元二次方程
5、都可以化为,的形式,我们把ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a0）称为一元二次方程的一般形式.,其中ax2，bx,c分别称为二次项，一次项，常数项.,ax2+bx+c=0,注意:要确定一元二次方程的系数和常数项,必须先将方程化为一般形式,二次项系数,一次项系数,常数项,(a0),在写一元二次方程的一般形式时,通常按未知数的次数从高到低排列,即先写二次项,再写一次项,最后是常数项。,例1：,判断下列方程是否为一元二次方程？,(1)x2+x=36,(2)x3+x2=36,(3)x+3y=36,(5)x+1=0,下列方程哪些是一元二次方程?为什么？,(2)2x25xy6y0,(5)x22x31
6、x2,(1)7x26x0,解:(1)、(4),练习巩固,例1、把下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数,一次项系数和常数项.,1）移项，整理得9x2+4x-5=0 二次项系数是9，一次项系数是4，常数项是-5。,2）移项，整理得3y2 2 y+1=0二次项系数是3，一次项系数是-2，常数项是1。,3）移项，整理得4x2-5=0二次项系数是4，一次项系数是0，常数项是-5。,4）移项，整理得-3x2+2x+5=0二次项系数是3，一次项系数是2，常数项是5。,注意：1.要先化成 ax+bx+c=0 的一般形式。2.若方程中含有整式乘法，要先利用法则展开再进行等式变形。3.在写一元
7、二次方程一般式时，通常按未知数次数从高到低排列，即先写二次项，再写一次项，最后是常数项。写系数时，要带上前面的符号。,1、把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：,练一练,3x2-5x+1=0,x2+x-8=0,-7x2+4=0,3,-5,1,-8,4,1,1,-7,0,练一练,1.关于x的方程(k3)x2 2x10,当k时，是一元二次方程,2.关于x的方程(k21)x2 2(k1)x 2k 20,当k 时，是一元二次方程当k 时，是一元一次方程,3,1,1,3.m为何值时，方程（m-1）xm2+1+3x+2=0是关于x的一元二次方程？,4.若关于x的方程2
8、mx（x-1）-nx（x+1）=1，化成一般形式后为4x2-2x-1=0，求m、n的值。,练习巩固,一元二次方程的解：能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解或根。,判断:当未知数的值x=-1或x=0时，方程x-2=x的两边是否相等。,当x=0时，左边=0-2=-2 右边=0 因为：左边右边,解：当x=-1时，左边=（-1）-2=1-2=-1 右边=-1 因为：左边=右边,所以x=-1是方程的解。,所以x=0不是方程的解。,4.（1）下列哪些数是方程,的根？从中你能体会根的作用吗？4，3，2，1，0，1，2，3，4,活动1,（2）若x2是方程 的一个,根，你能求出a的值吗？,根的
9、作用：可以使等号成立.,?,例题讲解,例题讲解,A.1 B.-1 C.1或-1 D.0,B,解：设竹竿的长为x尺,则门的宽 度为 尺,长为 尺,依题意得方程：,例3.从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽尺，竖着比门框高尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程,(x4)2(x2)2 x2,即,x212 x 20 0,4尺,2尺,x,x4,x2,(x4),(x2),1.根据题意，列出方程：,（）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，这个正方形的边长
10、是多少？,解：设正方形的边长为xm，则原长方形的长为(x5)m,宽为(x2)m，依题意得方程：,(x5)(x2)54,即,x2 7x44 0,2,5,x,x,X5,X2,54m2,练习巩固,2.三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，这三个数分别是多少？,x(x1)x(x2)(x1)(x2)242.,x2 2x8 00.,即,解：设第一个数为x，则另两个数分别为x,x2，依题意得方程：,一元一次方程与一元二次方程有什么联系与区别？,ax+b=0(a0）,ax2+bx+c=0(a0）,整式方程，只含有一个未知数,未知数最高次数是1,未知数最高次数是2,?,1.本节学习的数学知识是：,2、学习的数学思想方法是,3、如何理解一元二次方程的一般形式,(a0)？,（1）,（2）,（1）,（2）,一元二次方程的概念,一元二次方程的一般形式,转化、建模思想。,(a0)是成为一元二次方程的必要条件,找一元二次方程的二次项、一次项系数及常数项要先化为一般式,
