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1、,根与系数关系,1.一元二次方程的一般形式是什么？,3.一元二次方程的根的情况怎样确定？,2.一元二次方程的求根公式是什么？,4、求一个一元二次方程，使它的两个 根分别为2和3;-4和7;3和-8;-5和-2,x2-5x+6=0,x2-3x-28=0,(x-3)(x+8)=0,x2+5x-24=0,(x+5)(x+2)=0,(x+4)(x-7)=0,(x-2)(x-3)=0,x2+7x+10=0,问题1：从求这些方程的过程中你发现根 与各项系数之间有什么关系？,新课讲解,如果方程x2+px+q=0有两个根是x1,x2 那么有x1+x2=-p,x1 x2=q,猜想：2x2-5x+3=0,这个方程
2、的两根之和，两根之积是与各项系数之间有什么关系？,问题2；对于一元二次方程的一般式是否也具备这个特征？,所以得到,x1+x2=,x1 x2=,填写下表：,猜想：,如果一元二次方程 的两个根分别是、，那么，你可以发现什么结论？,已知：如果一元二次方程 的两个根分别是、。,求证：,推导:,如果一元二次方程 的两个根分别是、，那么：,这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理。,一元二次方程的根与系数的关系,16世纪法国最杰出的数学家韦达发现 代数方程的根与系数之间有这种关系，因此,人们把这个关系称为韦达定理。数学原本只是韦达的业余爱好，但就是这个业余爱好，使他取得了伟大的成就。韦达是第一个有意
3、识地和系统地使用字母表示数的人，并且对数学符号进行了很多改进。是他确定了符号代数的原理与方法，使当时的代数学系统化并且把代数学作为解析的方法使用。因此，他获得了“代数学之父”之称。,1.,3.,2.,4.,5.,口答下列方程的两根之和与两根之积。,练习：下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？,返回,的值。,解：,根据根与系数的关系:,例2、利用根与系数的关系，求一元二次方程 两个根的；（1）平方和；（2）倒数和,解：设方程的两个根是x1 x2，那么,返回,例1.不解方程，求方程 的两根的平方和、倒数和。（解法如上）,运用根与系数的关系解题类型,用根与系数的关系，不解方程，几种常见的求值,求与
4、方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.,例如：已知方程 x22x1的两根为x1,x2，不解方程，求下列各式的值。（1）（x1x2）2（2）x13x2x1x23（3）,1、如果-1是方程2X2X+m=0的一个根，则另 一个根是_，m=_。2、设 X1、X2是方程X24X+1=0的两个根，则 X1+X2=_,X1X2=_，X12+X22=(X1+X2)2-_=_(X1-X2)2=(_)2-4X1X2=_ 3、判断正误：以2和-3为根的方程是X2X-6=0（）4、已知两个数的和是1，积是-2，则这两个数是 _。,X1+X2,2X1X2,-3,4,
5、1,14,12,2和-1,基础练习,（还有其他解法吗？）,例2：已知方程 的一个根是2，求它的另一个根及k的值.,解：设方程 的两个根 分别是、，其中。所以：即：由于 得：k=-7 答：方程的另一个根是，k=-7,练习：（1）若关于x的方程2x25xn0的一个根是2，求它的另一个根及n的值。（2）若关于x的方程x2kx60的一个根是2，求它的另一个根及k的值。,（3）、已知一元二次方程的 的一个根为1，则方程的另一根为_，m=_：,（4）、已知方程 的一个根是 1，求它的另一个根和m的值。,例3：已知方程的两个实数根 是且 求k的值。,解：由根与系数的关系得 X1+X2=-k，X1X2=k+2
6、 又 X12+X2 2=4 即(X1+X2)2-2X1X2=4 K2-2(k+2）=4 K2-2k-8=0,=K2-4k-8当k=4时，0当k=-2时，0 k=-2,解得：k=4 或k=2,练习：（1）已知方程 的两根为、，且，求k的值。,练习（2）：,已知关于x的方程x2+(2k+1)+k2-2=0 的两根的平方和比两根之积的3倍少 10，求k的值.,例4：方程 有一个正根，一个负根，求m的取值范围。,解:由已知,=,即,m0m-10,0m1,总结规律：,两根均为负的条件：X1+X2 且X1X2。,两根均为正的条件：X1+X2 且X1X2。,两根一正一负的条件：X1+X2 且X1X2。当然，
7、以上还必须满足一元二次方程有根的条件：b2-4ac0。即：,练习：方程x2(m1)x2m10求m满足什么条件时,方程的两根互为相反数？方程的两根互为倒数？方程的一根为零？解:(m1)24(2m1)m26m5两根互为相反数 两根之和m10,m1,且0 m1时,方程的两根互为相反数.,两根互为倒数 m26m5,两根之积2m11 m1且0,m1时,方程的两根互为倒数.方程一根为0,两根之积2m10 且0,时,方程有一根为零.,引申:1、若ax2bxc0(a0 0)（1）若两根互为相反数,则b0;（2）若两根互为倒数,则ac;（3）若一根为0,则c0;（4）若一根为1,则abc0;（5）若一根为1,则abc0;（6）若a、c异号,方程一定有两个实数根.,2.应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把已知方程化成一般形式.,3.应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，方程有实根的条件，即在初中代数里，当且仅当 时，才能应用根与系数的关系.,1.一元二次方程根与系数的关系是什么?,总结归纳,以 为两根的一元二次方程(二次项系数为1)为:,4、已知两根求作新的方程,请同学们在课后通过以下几道题检测自己对本节知识的掌握情况：P36 第6题 P38 第11、12题,本堂课结束了，望同学们勤于思考，学有所获。,Goodbye!See you next time!,
