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1、一元线性回归模型及其参数估计,一、一元线性回归模型的参数估计二、最小二乘参数估计量的统计性质三、最小二乘参数估计量的概率分布,一、一元线性回归模型的参数估计,一元线性回归模型的一般形式,模型参数估计的任务,模型参数估计的任务为两项：,1、普通最小二乘法（Ordinary Least Square,OLS）,给定一组样本观测值（Xi,Yi），i=1,2,n，假如模型参数估计量已经求得，并且是最合理的参数估计量，那么样本回归函数应该能够最好地拟合样本数据，即样本回归线上的点与真实观测点的“总体误差”应该尽可能地小。,最小二乘法给出的判断标准是：二者之差的平方和最小，即,解得：,最小二乘参数估计量的
2、离差形式(deviation form),注：在计量经济学中，往往以大写字母表示原始数据（观测值），而以小写字母表示对均值的离差（deviation)。,随机误差项方差的估计量,1.用原始数据（观测值）Xi，Yi计算,简捷公式为,2.用离差形式的数据xi，yi计算,其中,简捷公式为,2、最大似然法（Maximum Likelihood,ML）,最大或然法，也称最大似然法，是不同于最小二乘法的另一种参数估计方法，是从最大或然原理出发发展起来的其它估计方法的基础。基本原理：对于最大或然法，当从模型总体随机抽取n组样本观测值后，最合理的参数估计量应该使得从模型总体中抽取该n组样本观测值的联合概率最大
3、。,将该或然函数极大化，即可求得到模型参数的极大或然估计量。,由于或然函数的极大化与或然函数的对数的极大化是等价的，所以，取对数或然函数如下：,可见，在满足一系列基本假设的情况下，模型结构参数的最大或然估计量与普通最小二乘估计量是相同的。,但是，随机误差项的方差的估计量是不同的。,3、样本回归线的数值性质(numerical properties),样本回归线通过Y和X的样本均值；Y估计值的均值等于观测值的均值；残差的均值为0。,二、最小二乘参数估计量的统计性质高斯-马尔可夫定理,当模型参数估计完成后，需考虑参数估计值的精度，即是否能代表总体参数的真值，或者说需考察参数估计量的统计性质。,高斯
4、马尔可夫定理(Gauss-Markov theorem)在给定经典线性回归的假定下，最小二乘参数估计量是具有最小方差的线性无偏估计量。,1、线性性：最小二乘参数估计量是Y的线性函数。,2、无偏性：最小二乘参数估计量的均值等于总体回归参数真值。,3、有效性：在所有线性无偏估计量中，最小二乘参数估计量具有最小方差。,（2）证明最小方差性,4、结论 普通最小二乘参数估计量具有线性性、无偏性、最小方差性等优良性质。具有这些优良性质的估计量又称为最佳线性无偏估计量，即BLUE估计量（the Best Linear Unbiased Estimators）。显然这些优良的性质依赖于对模型的基本假设。,三、最小二乘参数估计量的概率分布,可以证明，随机误差项方差的无偏估计量为：,例：已知收入X和消费支出Y的如下数据，试估计Y对X的一元线性回归方程，并计算参数估计量的标准差。,解：,其中，,
