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1、数学建模培训,一阶偏微分方程模型,2,偏微分方程的相关概念,偏微分方程：一个包含有多元未知函数及其偏导数的等式。方程中所含未知函数偏导数的最高阶数称为该方程的阶。如：,等。,如果方程关于未知函数及其各阶偏导数是线性的，则称它是线性的；如果它关于所有最高阶偏导数是线性的，则称它是拟线性的。,3,定解问题：定解条件通常包括边界条件和初始条件两种。含有定解条件的方程求解问题称为定解问题，包括初值问题（Cauchy问题）、边值问题和混合问题。,方程的解：若函数u连续并具有方程所涉及的连续的各阶偏导数，且该函数代入方程使得方程在某区域内成为恒等式，则称该函数为方程在该区域内的解（古典解）。满足某些特定条
2、件的解称为特解，这些条件称为定解条件。一般情况下，一个具有n个自变量的m阶方程的解可以含有m个n-1元任意函数，这样的解称为通解。,4,一阶线性偏微分方程,一阶齐次线性偏微分方程,(1),显然方程有平凡解u=常数。一般求其非平凡解。,以下以含有3个自变量的方程为例，一般形式为,(2),5,常微分方程组,(3),称为方程(2)的特征方程组，每一条积分曲线,称为方程(2)的特征线。,6,若由特征方程组(3)推出函数 恒为常数，则称该函数为方程组(3)的一个首次积分。,若特征方程组(3)的3个独立的首次积分为,则特征方程组(3)的通解为,7,例1.求解方程组,解：由,得,，因此得到一个首次,积分为,
3、再由,得,，因此得到另一个首次积分为,于是原方程的隐式通解为,8,由(3)可得,(4),若(4)的一个首次积分为,的一个首次积分。,于是得到方程组(3)的一个等价形式：,，则它也称为(3),9,对于一阶齐次线性偏微分方程(2)与它的特征方程组(3)或(4)，我们有以下结论：,证明从略。,定理1：连续可微函数 是(2)的解的充分必要条件是 是(4)的首次积分。,定理2：如果 是(4)的两个独立的首次积分，则它们的任意连续可微函数 是(2)的通解。,10,例2.求解方程,解：特征方程组为,或,首次积分为,于是原方程的隐式通解为,，其中,为任意二元连续可微函数。,11,齐次线性偏微分方程的Cauch
4、y问题,(5),其中 f 为已知函数。,例3.求解Cauchy问题,12,解：特征方程组为,首次积分为,于是原方程的通解为,，其中,为任意二元连续可微函数。,将该解代入初始条件，得,13,于是,从而原Cauchy问题的解为,14,非齐次线性偏微分方程,(6),其中 f,g为已知函数。,其特征方程组为,将前面两个等式解出后代入最后一个条件即可求出三个首次积分，从而得到通解。,15,一阶拟线性偏微分方程,(7),其特征方程组为,(8),以两个自变量的方程为例。,设其首次积分为,，则(7)的隐式,通解为,16,例4.求解方程,解：特征方程组为,首次积分为,于是原方程的隐式通解为,其中 为任意二元连续
5、可微函数。,17,例5.求解Cauchy问题,解：特征方程组为,首次积分为,于是原方程的隐式通解为,其中 为任意二元连续可微函数。,将该解代入初始条件，得,于是有,，解得,再由初始条件得Cauchy问题的解为,18,带年龄结构的线性人口发展模型,线性模型的建立,考虑一个稳定社会的人口发展过程。设人口数量不仅和时间 t 有关，还和年龄 a 有关。若人口数量很大，假设按年龄连续分布。以函数 p(a,t)表示人口在任意时刻 t 按年龄 a 的分布密度，则在时刻 t，年龄在区间a,a+da中的人口数量为 p(a,t)da，因此在时刻 t 的人口总数为,19,若不考虑死亡，则在时刻 t+t，年龄在a,a
6、+a中的人口数量 p(a,t+t)a，应等于在时刻 t，年龄在区间at,a+at中的人口数量p(at,t)a，即,令t0，有,因此 p(a,t)应满足,20,但实际上必须考虑死亡的影响。设(a)是单位时间内年龄在a,a+da中的人口死亡概率，则在时间段t,t+dt内，从年龄在区间adt,a中的人口成长为年龄在区间a,a+dt中的人口的过程中死亡人数为,于是,或,将两端同时Taylor展开，并舍去高阶项，有,21,这就是描述人口发展的一阶双曲型偏微分方程。,(1),方程(1)对应的初始条件为，这里p0(a)表示初始人口分布密度。,要给出方程(1)所对应的边界条件 p(0,t)，就需要考虑人口的出
7、生情况了。假设男女比例基本平衡，生育率为(a)，则在时间段t,t+dt内出生的婴儿总数为,22,另一方面，在时间段t,t+dt内出生的婴儿总数应等于时刻 t+dt 在年龄区间0,dt中的人数p(0,t+dt)dt，即,或,令dt0，则得到边界条件,方程(1)与初始条件、边界条件一起便构成了人口发展的偏微分方程模型：,23,(2),同样，可建立带迁移的人口模型：,(3),其中 f(a,t)为迁移率。,24,利用特征线法结合积分变换法，可以得出模型(2)及模型(3)的解。,25,非线性模型的建立,我们再考虑环境对人口的影响。设,表示 t 时刻的社会总人口数。考虑到人口的生存与其总容量有关，一般可用
8、(a,t,N(t)表示死亡率，用(a,t,N(t)表示年龄为 a 的社会人口在 t 时刻平均单位时间内的平均生育率，即生育率。我们再考虑人口迁移因素，设 f(a,t)表示 t 时刻年龄为 a 的社会人口在单位时间、单位年龄内的迁移人数，则有更一般的非线性人口发展系统：,26,(4),27,精神病用药问题的方程模型,问题的提出,精神病药物研究需测定新药的效果，例如治疗帕金森症的多巴胺的脑部注射效果。为了精确估计药物影响的脑部区域，我们必须估计注射后药物在空间的分布形状和尺寸。,研究的数据包括50根圆柱组织样本中每一根所含药物的测量值(见表1、表2及图1)。每一圆柱的长度为0.76mm，直径为0.
9、66mm。这些平行圆柱的中心位于1mm0.76mm1mm的网格点上。因此，圆,28,表1 后方垂直截面,表2 前方垂直截面,柱在底面相互接触，侧面互不接触。,注：一个计量单位表示4.7531013 mol/l 的多巴胺，表中的数字如28353表示中间后部圆柱含有28353个单位的药物。,试估计药物在它影响区域中的分布。,29,图1 药物含量分布图,30,假设,忽略样本组织中多巴胺的原始含量；假设样本组织的大小与其余脑组织的大小相比可以忽略，且样本组织不靠近脑边界；假设大脑是均匀的，扩散和衰减决定了多巴胺在大脑中迁移过程，忽略对流过程的影响；假设仅进行一次多巴胺注射，注射位于原点；假设注射和取样
10、之间有较长时间间隔，可以忽略注射过程和各个柱体取样时间的差别。,31,在假设中，我们认为分子扩散和成分衰减是主要的迁移方式。成分的衰减显然可看作是与多巴胺的含量密度(浓度)C(x,y,z,t)(剂量单位/mm3)成正比的。设该比例系数(即成分衰减系数)为 k。下面来考虑分子的扩散。,先考虑物质仅沿 x 轴方向的扩散。如图2，垂直于 x 轴任作柱体，截面为 A。,方程模型的建立,图2,32,一方面，该柱体中物质扩散时位于区间段x,x+x的物质在时间段t,t+dt内的增量为,另一方面，扩散理论中的涅恩斯特实验定律告诉我们，在时间t内，物质沿 x 轴正向流过 x 处截面(面积为A)的质量为(其中 E
11、x 0 称为 x 方向的扩散系数)：,33,同理，在时间t内，物质沿 x 轴正向流过 x+x 处截面的质量为：,于是在时间t内，流入微元体x,x+x内的物质质量为：,34,显然,，即,由于大脑是均匀的，显然沿各方向的扩散是一致的，且扩散系数 Ex(Ey,Ez)均为常数，再考虑到成分的衰减，应有,(5),35,又设 t=0 时瞬时点源的剂量为M，则,其中,(6),(6),(6)式为方程(5)的初始条件。(5)(6)即构成了用药问题的方程模型。利用积分变换法可求得其解。,36,偏微分方程的傅里叶变换解法,傅里叶变换及其基本性质,若 f(x)在-l,l分段连续可导(逐段光滑)，则 f(x)在(-l,
12、l)可以展开为Fourier级数：,其中,37,将系数代入，并设 f(x)在(,)内绝对可积，则整理可得,令,则,称 g()为 f(x)的傅里叶变换，记为Ff；称f(x)为g()的傅里叶逆变换，记为F1f。,38,性质1,性质2,性质3,性质4,其中定义卷积,性质5,39,例 求解定解问题,关于x进行傅里叶变换，记Fu=U，F=，则有,其解为,傅里叶变换法求解偏微分方程,40,于是原问题的解为,而,故,41,偏微分方程的分离变量解法,下面来求解定解问题：,(1)(2)(3),42,作具有分离变量形式的试解 u(x,t)=X(x)T(t)，代入方程(1)，得,(4)(5),即有,从而得到两个常微
13、分方程,43,再将试解 u(x,t)=X(x)T(t)代入边界条件(2)，得,(6),即有,下面首先来求解本征值问题(5)(6)的非零解。,当0时，常微分方程(5)的通解为,由(6)得,44,当=0时，常微分方程(5)的通解为,由(6)得,当0时，常微分方程(5)的通解为,由(6)得,，欲求得非零解，必须有,于是只有,45,此时，常微分方程(5)的通解为,而常微分方程(4)变为,于是得到,其通解为,46,将上述所有uk(x,t)进行叠加，得到,(7),将(7)代入初始条件(3)，又可得到,由傅里叶级数理论可以得到待定系数Ak、Bk的积分表达式：,47,函数(7)、(8)、(9)就是定解问题(1)、(2)、(3)的级数解：,(8)(9),
