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1、性质,判定定理,性质,三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。,三垂线定理,三垂线定理解题的关键：找三垂！,怎么找？,一找直线和平面垂直,二找平面的斜线在平面 内的射影和平面内的 一条直线垂直,注意：由一垂、二垂直接得出第三垂 并不是三垂都作为已知条件,解题回顾,三垂线定理包含几种垂直关系？,线射垂直,线面垂直,线斜垂直,直 线 AP 和平面垂直,平面内的直线a和平面一条斜线的射影AO垂直,平面内的直线a和平面的一条斜线OP垂直,线射垂直,线斜垂直,平面内的一条直线和平面的一条斜线在平面内的射影垂直,平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直,三垂
2、线定理的逆定理,？,在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。,三垂线定理的逆定理,例1.PA正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点，求证：POBD,证明:,ABCD为正方形 O为BD的中点,AOBD,由三垂线定理：,二、三垂线定理的应用,应用1.证明线线垂直,例3、如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，连结BD1，AC，CB1，B1A，求证：BD1平面AB1C,BD1AC,BD1平面AB1C,证明：连结BD，,连结A1B,三垂线定理,ABCD是正方形，ACBD,又DD1平面ABCD,BD是斜线BD1在平面ABCD上的射影,而A1B是BD1在
3、平面 ABB1A1内的射影 BD1AB1,例2.已知：在正方体AC1中，求证：A1CB1D1，A1CBC1,B,Ex：(1)P是ABC所在平面外一点，若P点到ABC各顶点的距离都相等，则P点在平面ABC内的射影是ABC的()(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心(2)P是ABC所在平面外一点，若P点到ABC各边的距离都相等，且P点在平面ABC内的射影在ABC的内部，则射影是ABC的()(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心(3)P是ABC所在平面外一点，连结PA、PB、PC，若PABC，PBAC，则P点在平面ABC内的射影是ABC的(）(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心,射影定位（三
4、棱锥定位）,A,B,D,用三垂线定理及逆定理求二面角,1三垂线定理及逆定理,A,O,a,定理：平面内一条直线，如果和这个平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么这条直线就和这条斜线垂直。,b,三垂线定理及逆定理包含四线一面以后称这个平面为基面,一、复习导入,逆定理：平面内一条直线，如果和这个平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么这条直线就和这条斜线垂直。,2什么是二面角的平面角？,以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角,P,A,B,3作二面角的平面角主要有哪几种方法？,“定义法”,a,b,“垂面法”,A,H,B,“三垂线法”,以后我
5、们还将学习“投影法”、“空间向量法”和“异面直线距离法”等方法，今天我们主要学习用三垂线定理求二面角的大小。,二、新课学习 实例分析,例1.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=2，BC=BB1=1，E为D1C1的中点，求二面角EBDC的大小,思路分析：?,定基面,平面BCD,定垂线,过E作EFCD于F,F,找斜线or射影,作FGBD于G,G,解：过E作EFCD于F，过F作FGBD,EGF为二面角EBDC的平面角,BC=1，CD=2，,而EF=1，在EFG中,所求二面角大小为,ABCDA1B1C1D1是长方体，EFCD，EF平面BCD，且F为CD中点，又 FGBD，EGBD,于G，连
6、结EG，则EGBD,M,射影or斜线自现 连结EG,小结：,-垂面内,垂线在哪儿?,取AB 的中点为E，连PE，OE,O为 AC 中点，ABC=90,OEBC且 OE BC,例2如图，三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影是底面RtABC斜边AC的中点O，若PB=AB=1，BC=，求二面角P-AB-C的正切值。,PEO为二面角P-AB-C 的平面角,OEAB，因此 PEAB,解：,实例分析,.E,在RtPBE中，BE,PB=1，PE,在RtPOE中，OE,PO,所求的二面角P-AB-C 的正切值为,小结：,一定?,二定?,三找?,?自现,L随便,垂线在-?,课堂练习,练习1如图，M是正方
7、体ABCDA1B1C1D1的棱AB的中点，求二面 角A1MCA的大小,N,H,思路分析：,找基面,找基面的垂线,AA1,作平面角,作AHCM交CM的延长线于H,平面ABCD,解：作AHCM交CM的延长线于H，连 结A1HA1A平面AC，AH是A1H 在平面AC内的射影，A1HCM，,A1HA为二面角A1CMA的平面角,设正方体的棱长为1M是AB的中点，且AMCD，则在直角AMN中，AM=0.5，AN=1，MN=,连结A1H,二面角A1CMA的大小为,练习2.(2012南宁市第1次适应测试题)如图，在多面体ABCDE中，DB平面ABC，AE/DB，且ABC 是边长为2的等边三角形，AE1，CD与
8、平面ABDE所成角的正弦值为,(1).在线段DC上是否存在一点F，使得EF平面DBC？若存在，求线段DF的长度，若不存在，说明理由；(2).求二面角DECB的平面角的余弦值.,课堂练习,解答过程（略）,课堂练习,练习3(考越试卷2)在如图所示的空间几何体中,平面ACD平面ABC,AB=BC=CA=DA=DC=BE=2,BE和平面ABC所成的角为60度,且点E在平面ABC上的射影落在ABC的平分线上.,第(2)问思路分析：,定基面:,找基面的垂线:,平面ABC,取AC的中点O，连结DOBO,过点E作EFBO,垂足为F,找射影:过点F作FGBC,垂足为G,解答过程（略）,斜线自现:连结EG,(1)
9、.求证:DE/平面ABC；(2).求二面角EBCA的余弦值.,三、课时小结,求二面角的大小关键是选取恰当的位置作出二面角的平面角，而用三垂线定理求作二面角的平面角是最常用和最有效的方法之一，要求切实掌握。让我们再来回味用三垂线定理作二面角的平面角的步骤：,（1）一定基面，二定垂线，三找斜线或射影，射影或斜线自现，L随便；,（2）垂线在垂面内,四、课后作业,2已知ABC,AB=10,BC=6,P是平面ABC 外一点,且PA=PB=PC=AC=8,求二面角PACB的平面角的正切值.,3已知C是以AB为直径的圆周上一点，ABC=30，PA平面ABC，PBA=45，求二面角APBC的平 面角的正弦值。,1如图，直角三角形ABC的斜边AB在平面 内，AC、BC 与平面 所成角分别为 和，求ABC所在平面与 所成的二面角的大小,1题图,2题图,3题图,谢谢各位同学！,再见！,
