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1、11-6 两个自由度体系的自由振动,在实际工程中，很多问题都是简化为多自由度体系来计算。多自由度体系在强迫振动时的动力反应与体系的动力特性(自振频率、主振型等)有密切关系。分析多自由度体系自由振动的目的是确定体系的自振频率和相应的主振型。,在单自由度体系自由振动的分析中已经看到，阻尼对自振频率的影响很小，在多自由度体系中也是如此。另外，在分析多自由度体系强迫振动的动力反应时，常要用到不考虑阻尼情况下体系的主振型。所以在分析多自由度体系的自由振动时，不考虑阻尼的影响。,本节先讨论两个自由度体系，下节再推广到n个自由度体系。与单自由度体系一样，两个自由度体系建立运动方程也有柔度法和刚度法，分别讨论
2、如下。,一、柔度法,1.运动方程的建立,按动静法，将惯性力 和 分别作用在质点m1和m2上(图11-34b)，则质点位移y1(t)、y2(t)应等于这两个惯性力共同作用所产生的静力位移。根据叠加原理可得,或,式中，的物理意义如图11-34c、d所示，它们是结构的柔度系数。根据位移互等定理，.,2.频率和振型的计算,注意到单自由度体系的自由振动为简谐振动，假定微分方程组的特解为两个质点作同频率、同相位的简谐振动，,即,二阶导数为,将上面式子代入运动方程，消去公因子sin(t+)，经整理后得,右式是以质点振幅A1和A2为未知量的齐次线性代数方程组。其中零解对应于无振动的情况，不是所要求的解答。为使
3、方程组具有非零解，则其系数行列式必须等于零，即,上式称为频率方程，用它可求出体系的自振频率。,令=，并将上式展开得,由此可解出 的两个正实根(大值)和(小值)如下：,于是求得频率的两个值为,两个自由度体系有两个自振频率，其中较小的一个用1表示，称为第一频率或基本频率；另一个用2表示，称为第二频率。相应的两个自振周期分别为:,将1、2分别代入下式可求相应的A1和A2,当=1或=2使方程组(11-46)的系数行列式等于零，因此它的两个方程不是独立的，只能由其中的任一方程求出A1与A2的比值。,当=1时,此时A1用 表示，A2 用 表示，则由式(11-46)的第一式得,相应地，得到质点位移y1(t)
4、、y2(t)的一个特解,由此可知。它表明：在自由振动过程中，两质点位移的比值保持为常数，也就是说在任何时刻体系的振动都保持同一形状。这种相对位移保持不变的振动形式称为主振型，简称振型。,同理，对于 的情况，有,当体系按 振动时，质点位移y1(t)与y2(t)之比为1:，称为第一振型或基本振型。当体系按 振动时，质点位移y1(t)与y2(t)之比为1:，称为第二振型。当多自由度体系按某个主振型作自由振动时，由于振动形式不变，只需一个几何坐标即能确定全部质点的位置，因此它实际上如同一个单自由度体系那样在振动。,要使体系按其某一主振型作简谐自由振动，只有在特定的初始条件下才能出现。例如，对应于第一振
5、型，应有,这表明只有当质点2的初位移和初速度均分别为质点1的初位移和初速度的 倍时，体系才会按第一振型作自由振动。这种在特定初始条件下出现的运动形式在数学上称为微分方程组的特解。,3.运动方程的通解,将两个特解进行线性组合就得到通解：,式中有四个独立的待定常数，它们可由四个初始条件来确定。所以，给定任意四个初始条件后，即可完全确定体系的自由振动。由上式可知，在一般初始条件下，质点的位移是由具有不同频率的简谐振动叠加而成的，它不再是简谐振动。不同质点的位移的比值也不再是常数，而是随时间变化。,需要指出，体系能否按某个主振型作自由振动由初始条件决定，但由式(11-47)(11-50)可以看出，体系
6、的自振频率和主振型则完全取决于体系的质量和柔度系数，而与初始条件无关。,例11-9 试求图a所示等截面简支梁的自振频率和主振型。,解：(1)求柔度系数体系有两个自由度。作 图，如图b、c所示。由图乘法求得柔度系数,(2)求自振频率将柔度系数及m1=m2=m代入式(11-48)求得,于是得到两个自振频率,(3)求主振型由式(11-49)求得第一振型为,由式(11-50)求得第二振型为,这表明体系按第一频率振动时，两质点保持同向且相等的位移，其振型是对称的;按第二频率振动时，两质点的位移是等值而反向的，振型为反对称形状,由此例可以看出，若结构本身及质量分布都是对称的，则其主振型不是对称的便是反对称
7、的。因此，在求自振频率和振型时，可以分别就对称和反对称两种情况取半结构来进行计算。例如图11-36a所示的对称刚架，质量分布也是对称的。其一个主振型必是对称的，另一个主振型必是反对称的(图11-36b、c)。分别取半结构(图11-36d、e)，从而变成两个单自由度体系来求自振频率。,例11-10 试求图11-37a所示刚架的自振频率和主振型。EI=常数。,解：这是两个自由度体系。设质点的水平位移为y1(t)，向右为正；质点的竖向位移为y2(t)，向下为正。则沿y1(t)方向的质量m1=2m，沿y2(t)方向的质量m2=m,(1)求柔度系数,作 图，如图11-37b、c所示。由图乘法，可得,(2
8、)求自振频率,将柔度系数及m1=2m、m2=m代入式(11-48)求得,两个自振频率为,(3)求主振型由式(11-49)求得第一振型为,由式(11-50)求得第二振型为,两个主振型的形状如图11-37d、e所示,二.刚度法,1.运动方程的建立,刚度法是列动力平衡方程来建立运动方程，列动力平衡方程时，可以取质点为隔离体用平衡条件建立运动方程，也可以不将质点分离，而按第八章位移法的步骤来处理。即先在m1、m2处沿位移方向加入附加链杆阻止质点的位移(图11-38b)，然后施加质点的惯性力，这时两链杆的反力分别为；其次，令两链杆发生与两质点实际位置相同的位移y1(t)、y2(t)(图11-38c)，此
9、时两链杆上所需施加的力为S1(t)、S2(t)：,式中k11、k21、k12、k22的物理意义如图11-38d、e所示，它们是结构的刚度系数。,图11-38b、c两种情况的叠加，使体系恢复到图11-38a的实际运动位置而处于瞬时平衡，附加链杆上的总反力应等于零(本来没有附加链杆)。即,将 代入上式得两个自由度体系自由振动的运动方程为,仍设其特解为以下形式：,将上式代入运动方程式，消去公因子sin(t+)后，经整理得,上式是以质点振幅A1、A2为未知量的齐次线性代数方程组，称为振型方程。有非零解的充要条件是方程组的系数行列式等于零，即,上式可用来确定频率值，称为频率方程。将其展开得,由此解得 的
10、两个根为,由式(11-53)的第一式可求得两个主振型为,例11-11 试求图a所示体系的自振频率和主振型。已知梁的EI=常数，质点m1=m，m2=2m，弹簧的刚度系数。,解：设质点m1、m2的竖向位移分别为y1(t)、y2(t),向下为正,(1)求刚度系数,分别令质点m1、m2沿振动正方向发生单位位移，作 图 如图b、c所示。取质点为隔离体，利用平衡条件求得刚度系数：,k12=k21=-k,(2)求自振频率,将刚度系数及m1=m、m2=2m代入式(11-55)，求得,两个自振频率,(3)求主振型 由式(11-56)求得两个主振型为,作振型图如图11-39d、e所示:,11-7 一般多自由度体系
11、的自由振动,本节讨论n个自由度体系的自由振动，并采用矩阵表示形式。,一、柔度法,1.运动方程的建立,的图11-40a所示为n个自由度体系，在自由振动的任一时刻t，质点mi的位移为yi(t)，此位移可看作是由各质点的惯性力 共同作用产生的静力位移。采用图11-40b所示的柔度系数，仿照两个自由度体系的情形，可写出n个自由度体系自由振动n个位移方程,上式用矩阵形式表示如下,上式可简写为,式中，和M分别是柔度矩阵和质量矩阵：,由位移互等定理，故 是对称矩阵。对于质点体系，M是对角矩阵。,2.频率和振型的计算,设其特解为,yi(t)=Aisin(t+)(i=1,2,n),即各质点的振动频率和相位相同。
12、上式写成矩阵形式,式中 为振幅列阵，即,将特解代入运动方程,并令 得,上式称为振型方程，它是位移幅值的齐次线性代数方程组，欲使具有非零解，则方程组的系数行列式必须等于零，即,=0,上式就是n个自由度体系的频率方程，其展开形式如下：,由此得到关于的n次代数方程，可解出n个根。因此，可求出n个频率，它们按数值由小到大依次排列，分别称为第一、第二、第n频率，总称为频率谱。,为了求得主振型，将所求得的k(k=1,2,n)代入振型方程，即得,(K=1,2,n),由于上式的系数行列式等于零，故其n个方程中只有(n-1)个是独立的，不能求得 的确定值，但可求出各质点振幅间的相对比值。通常令 中的一个元素为1，其余的元素则可从上式中的(n-1)个方程解得。这样就确定了主振型。上式中的,称为振型列阵。将所求得的各振型列阵对应于频率依次排列，称为第一、第二、第n振型。,3.方程的通解,n个自由度体系有n个自振频率和相应的n个主振型，它们都是振动微分方程的特解。这些特解的线性组合，就构成振动微分方程的通解：,(i=1,2,n),
