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1、4.5 两角和与差的正弦、余弦和正切要点梳理1.cos（-）=cos cos+sin sin(C-)cos(+)=(C+)sin(-)=sin cos-cos sin(S-)sin(+)=(S+),cos cos-sin sin,sin cos+cos sin,基础知识 自主学习,前面4个公式对任意的，都成立，而后面两个公式成立的条件是(T+需满足),(T-需满足)kZ时成立，否则是不成立的.当tan、tan 或tan（）的值不存在时，不能使用公式T,处理有关问题，应改用诱导公式或其它方法来解.,2.要辩证地看待和角与差角，根据需要，可以进 行适当的变换：=(+)-,=(-)+，2=（+）+（
2、-），2=（+）-（-）等等.3.二倍角公式 sin 2=;cos 2=;tan 2=.,2sin cos,cos2-sin2,2cos2-1,1-2sin2,4.在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用 公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用 等.如T可变形为：tan tan=,tan tan=5.函数f（）=acos+bsin(a,b为常数)，可以 化为f（）=或f（）=，其中可由a，b的值唯一 确定.,tan()(1tan tan),=,.,基础自测1.cos 43cos 77+sin 43cos 167的值为（）A.B.C.D.解析 原式=cos 43cos(90-13)+sin 4
3、3cos(180-13)=cos 43sin 13-sin 43cos 13=sin(13-43)=-sin 30=,B,2.()解析 由已知可得,C,3.（2009陕西理，5）若3sin+cos=0,则 的值为（）A.B.C.D.-2 解析 3sin+cos=0,则,A,4.已知tan(+)=3，tan(-)=5，则tan 2 等于（）A.B.C.D.解析 tan 2=tan(+)+(-),D,5.（2009上海理，6）函数y=2cos2x+sin 2x的最 小值是.解析 y=2cos2x+sin 2x=1+cos 2x+sin 2x y最小值=1-.,题型一 三角函数式的化简、求值(1)从
4、把角变为 入手,合理使用 公式.(2)应用公式把非10角转化为10的角,切 化弦.,题型分类 深度剖析,解（1）原式,（1）三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征.（2）对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有：化为特殊角的三角函数值；化为正、负相消的项，消去求值；化分子、分母出现公约数进行约分求值.,知能迁移1 解,题型二 三角函数的给值求值 角的变换：所求角分拆成已知角的 和、差、倍角等，综合上述公式及平方关系.解,角的变换：转化为同角、特殊角、已知角或它们的和、差、两倍、一半等；如=(+)-=(-)+,2=(+)+(-)等；函数变
5、换：弦切互化，化异名为同名.综合运用和、差、倍角与平方关系时注意角的范围对函数值的影响.当出现互余、互补关系，利用诱导公式转化.,知能迁移2 已知,(),解析,答案 A,题型三 三角函数的给值求角 已知tan(-)=,tan=,且,(0,),求2-的值.对角2-拆分为+(-);拆 分为(-)+,先求tan,再求tan(2-).解,2-=+(-)(-,0).tan(2-)=tan+(-),(1)通过求角的某种三角函数值来求角,在选取函数时,遵照以下原则:已知正切函数值,选正切函数;已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是（0，），选余弦较好；若角的范围为，
6、选正弦较好.（2）解这类问题的一般步骤为：求角的某一个三角函数值；确定角的范围；根据角的范围写出所求的角.,知能迁移3 已知(1)求sin 的值；(2)求的值.解,题型四 三角函数的综合应用（12分）已知、为锐角，向量a=(cos,sin),b=(cos,sin),c(1)若ab=,ac=,求角2-的值;(2)若a=b+c，求tan 的值.（1）由 及a,b,c的坐标，可求出关于、的三角函数值，进 而求出角.（2）由a=b+c可求出关于、的三角恒等式，利用方程的思想解决问题.,解（1）ab=（cos，sin）（cos，sin）=cos cos+sin sin,2分,4分,6分,8分,10分,（
7、1）已知三角函数值求角，一定要注意角的范围.（2）求有关角的三角函数问题，有时构造等式，用方程的思想解决更简单、实用.,12分,知能迁移4（2009广东理，16）已知向量a=(sin,-2)与b=(1,cos)互相垂直,其中(1)求sin 和cos 的值;,解,方法与技巧1.巧用公式变形：和差角公式变形：tan xtan y=tan(xy)(1tan xtan y);倍角公式变形:降幂公式 配方变形：,思想方法 感悟提高,2.利用辅助角公式求最值、单调区间、周期.y=asin+bcos=(+)(其 中tan=)有:3.重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变 角、变名、变式”；变角为：对角的分
8、拆要尽 可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能 减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可 能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时,一般是观察角度、函数名、所求（或所证明）问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形.,4.已知和角函数值，求单角或和角的三角函数值 的技巧：把已知条件的和角进行加减或2倍角后 再加减，观察是不是常数角，只要是常数角，就可以从此入手，给这个等式两边求某一函 数值，可使所求的复杂问题简化！5.熟悉三角公式的整体结构，灵活变换.本节要重 视公式的推导，既要熟悉三角公式的代数结构,更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会 公式间的联系，掌握常
9、见的公式变形，倍角公 式应用是重点，涉及倍角或半角的都可以利用 倍角公式及其变形.,失误与防范1.运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注 意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次 的灵活运用，要注意“1”的各种变通.2.在(0,)范围内，sin(+)=所对应的 角+不是唯一的.3.在三角求值时，往往要估计角的范围后求值.,一、选择题1.sin 45cos 15+cos 225sin 15的值 为（）A.B.C.D.解析 原式=sin 45cos 15-cos 45 sin 15,C,定时检测,2.,（）,解析,B,3.,（）,解析,A,4.已知向量,(),解析,B,5.,（）,解析,A,6.
10、在ABC中,角C=120,tan A+tan B=，则 tan Atan B的值为()A.B.C.D.解析 tan(A+B)=-tan C=-tan 120=,B,二、填空题7.解析,8.解析,2,9.已知,.,解析,三、解答题10.化简：,解,11.已知函数(1)求f(x)的周期和单调递增区间；(2)若关于x的方程f(x)-m=2在 上有解,求实数m的取值范围.解,12.已知向量a=(3sin,cos),b=(2sin,5sin-4cos),(1)求tan 的值；解（1）ab，ab=0.而a=(3sin,cos),b=(2sin,5sin-4cos),故ab=6sin2+5sin cos-4cos2=0.由于cos 0,6tan2+5tan-4=0.,且ab.,返回,
