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1、第6章 中值定理、导数应用,定理1 设函数 满足下列条件,(3),(1)在闭区间 上连续；,(2)在开区间 内可导;,则在内至少存在一点，,6.1.1 罗尔定理,a,b,使得,几何解释如图,在直角坐标系Oxy中,曲线 两端点的连线 平行于 轴,其斜率为零,故在曲线弧上定有一点 使曲线在该点的切线平行于弦，即平行于 轴。,即,则在区间 内至少存在,(1)在闭区间 上连续；,(2)在开区间 内可导；,定理2 设函数 满足下列条件,一点，,使得,6.1.2 拉格朗日中值定理,曲线 处处有不垂直于 轴的切线,如图 在直角坐标系Oxy,端点连线AB的斜率为,所以定理实际是说存在点，使曲线在该点的切线T平
2、行于弦AB。,即,2.在开区间 内可导，,1.在闭区间 上连续；,定理3 Cauchy中值定理,则在区间 内定有点,使得,6.1.3 柯西中值定理,设函数 与 满足如下条件：,Rolle定理是Lagrange定理的特例:在Lagrange中值定理中如果 则Lagrange中值定理变成Rolle定理；Cauchy定量是Lagrange定理的推广 在Cauchy中值定理中如果，则Cauchy化为Lagrange中值定理。,三个中值定理的关系,如果在某极限过程下,函数f(x)与g(x)同时趋于零或者同时趋于无穷大，通常把 的极限称为未定式的极限，洛必达法则就是解决这类极限的工具。一般分为三种类型讨论
3、：,6.2 洛必达法则,定理1 设函数与在的某空心邻域内有定义，且满足如下条件：,1 型未定式,解,例2 求,解,例3 求,解,此定理的结论对于 时 型未定式同样适用。,例4 求,解,2型不定式,的某空心邻域内有定义，且满足如下条件,则,例5 求,解:,定理2的结论对于 时的 型未定式的极限问题同样适用。,例6求,解,则可继续使用洛必达法则。即有,如果反复使用洛必达法则也无法确定,则洛必达法则失效.,此时需用别的办法判断未定式,的极限。,例7 求,但分子分母分别,求导后得,此式振荡无极限，故洛必达法则失效，不能使用。但原极限是存在的，可用下法求得,3其它型不定式,未定式除,和,型外，还有,型、
4、,型、,等五种类型。,型、,型、,型、,型或者 型,型：,变为,例8 求,解,型:,通分相减变为 型,例9 求,（型）,解,型未定式:,由于它们是来源于幂指函数 的极限,因此通常可用取对数的方法或利用,即可化为 型未定式，再化为 型或 型求解。,例10 求,解,所以,例11 求,解 设,所以,（型）,例12 求,（型）,所以,解,6.3 函数的单调性与极值,定理1 设函数f(x)在闭区间a,b上连续，在开区,间(a,b)内可导，则：,1.若在(a,b)内,则f(x)在区间(a,b)内单调增加,2.若在(a,b)内,则f(x)在区间(a,b)内单调减少。,a,b,a,b,函数的单调性及判别法,例
5、2 确定函数 的单调区间.,可导，且等号只在 x=0 成立.,解 因为所给函数在区间 上连续，在 内,例1 判定函数 在区间 上的单调性.,解,所以当 x=-1,x=1时,反之，如果对此邻域内任一点，恒有 则称 为函数 的一个极小值，称为极小值点。,6.3.2 函数的极值,定义 设函数 在点 的某邻域内有定义，若对此邻域内每一点，恒有，则称 是函数 的一个极大值，称为函数 的一个极大值点；,函数的极大值极小值统称为极值，极大值点极小值点统称为极值点。,A,B,C,D,E,极值是局部的，只是与邻近点相比较而言。并非在整个区间上的最大最小。极大值点与极小值点也不是唯一的。如下图中A、B、C、D、E
6、都是极值点。,从图中可看出,极小值不一定小于极大值，如图中D点是极小值，A点是极大值。,定理3（极值第一判别法）：,设函数 在点 的某邻域内连续，且在此邻域内（可除外）可导,（1）如果当 时，而当 时，则 在 取得极大值。,（,）,如图所示：,在，,在，,在 取得极大值。,（2）如果当 时，而当 时，则 在 取得极小值。,（,）,如图所示：,在，,在，,在 取得极小值。,（3）如果在 两侧 的符号不变，则 不是 的极值点，如图示,(4)利用定理3,判断(2)中的点是否为极值点,如果是,求极值点的步骤：,(1)求函数的定义域(有时是给定的区间);,(3)用(2)中的点将定义域(或区间)分成若干个
7、子区间,进一步判定是极大值点还是极小值点.,(2)求出,求出使 的点及 不存在的点;,讨论在每个区间 的符号;,(5)求出各极值点处的函数值,得函数的全部极值.,例4 求函数 的单调区间和极值.,解 函数的定义域为,这三个点将定义域分成四个部分区间，列表如下,极大值,极小值,令 得,由于,定理4(极值的第二判别法)设函数 在点 处具有,二阶导数，且，；,（1）若，则 是函数 的极小值点；,（2）若，则 是函数 的极大值点；,例5 求函数 的极值.,解 函数的定义域为,所以 为极大值,为极小值.,6.3.3 函数的最大值与最小值,是函数在所考察的区间上全部函数值中最大者和最小者,最小的就是函数在
8、区间,上的最小值。,连续函数在区间,上的最大值与最小值可通过比较,端点处的函数值 和;,1.区间,如下几类点的函数值得到：,上的最大值和最小值。,在驻点处函数值分别为,在端点的函数值为,最大值为,最小值为,解,令,，得驻点,比较上述5个点的函数值，即可得 在区间,上的,M1,x,y,o,M2,M1,x,y,o,M2,3.4.1 曲线的凹凸与拐点,定义1：如果在某区间内，曲线弧总是位于其切线的上方，则称曲线在这个区间上是凸的。,如图所示,6.4 函数图形的描绘,如果曲线弧总是位于其切线的下方，则称曲线在这个区间上是凹的。如下图：,当曲线为凸时，曲线 的切线斜率 随着 的增加而增加，即 是增函数；
9、反之，当曲线为凹时，曲线 的切线斜率 随着 的增加而减少，即 是减函数。,M1,x,M2,y,o,M1,x,y,o,M2,定理1 设函数 在区间 内具有二阶导数（1）如果 时，恒有，则曲线 在 内为凸的；（2）如果 时，恒有，则曲线 在 内为凹的。定义2 曲线上凹与凸的部分的分界点称为曲线的拐点。拐点既然是凹与凸的分界点，所以在拐点的某邻域内 必然异号，因而在拐点处 或 不存在。,例1 求曲线 的凹凸区间与拐点。解 令，得，,列表如下,有拐点,有拐点,可见,曲线在区间 内为凸的，在区间 内为凹的，曲线的拐点是 和.,如果函数 在 的某邻域内连续，当在点 的二阶导数不存在时，如果在点 某空心邻域
10、内二阶导数存在且在 的两侧符号相反，则点 是拐点；如果两侧二阶导数符号相同，则点 不是拐点.,综上所述，判定曲线的凹凸与拐点的步骤可归纳如下：（1）求一阶及二阶导数，；（2）求出 及 不存在的点；,（3）以（2）中找出的全部点，把函数的定义域分成若干部分区间，列表考察 在各区间的符号，从而可判定曲线在各部分区间的凹凸与拐点。,例2 求曲线 的凹凸区间与拐点。,解 函数的定义域为,当 时，故以 将定义域分成三个区间，列表如下：,在 处，曲线上对应的点 与 为拐点。,泰勒(Taylor)中值定理,泰勒(Taylor)中值定理,x0的某个开区间(a,b)内具有直到(n+1)阶的导数,则当x在(a,b)内时,f(x)可以表示为(x-x0)的一个,n次多项式与一个余项Rn(x)之和:,如果函数f(x)在含有,其中,(4),注3：当n=0时,泰勒公式即为拉格朗日中值定理.,泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广.,麦克劳林(Maclaurin)公式:,除了上面 5 个公式外，还有下面常用的公式.,
