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1、第二十六讲与圆有关的位置关系,一、点与圆的位置关系1.设圆O的半径为r,点P到圆心的距离为OP=d.则:点P在圆外_;点P在圆上_;点P在圆内_.2.确定圆的条件:不在同一条直线上的三个点确定_圆.,dr,d=r,dr,一个,3.三角形的外心:三角形外接圆的圆心,是三角形三边的_的交点.外心到三角形三个顶点的距离相等.,垂直平分线,二、直线与圆的位置关系1.三种位置关系:_、_、_.2.切线的定义、性质与判定:(1)定义:和圆有_公共点的直线.(2)性质:圆的切线_过切点的直径.(3)判定:经过半径的外端,并且_于这条半径的直线是圆的切线.,相交,相切,相离,唯一,垂直于,垂直,3.切线长定理
2、:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长_,这一点和圆心的连线_两条切线的夹角.,相等,平分,三、三角形的内切圆1.定义:与三角形各边都_的圆.2.三角形的内心:三角形_的圆心,是三角形三条_的交点.内心到三角形三边的距离相等.,相切,内切圆,角平分线,【自我诊断】(打“”或“”)1.已知O的半径为r,点P到点O的距离大于r,那么点P的位置一定在O的外部.()2.经过三个点一定可以作圆.()3.如果圆心O到直线l上一点A的距离等于半径R,则直线l与圆的位置关系是相切.(),4.以等腰三角形顶角的顶点为圆心,底边上的高为半径的圆与底边相切.()5.三角形一定有内切圆.(),考点一 直线与圆位
3、置关系的判断【例1】(2016湘西中考)在RtABC中,C=90,BC=3cm,AC=4cm,以点C为圆心,以2.5cm为半径画圆,则C与直线AB的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.不能确定,【思路点拨】过点C作CDAB于点D,求出CD的长和C的半径比较,得出结论.,【自主解答】选A.过C作CDAB于点D,如图所示.在RtABC中,ACB=90,AC=4cm,BC=3cm,AB=5cm,ABC的面积=ACBC=ABCD,43=5CD,CD=2.4cm2.5cm,即dr,以2.5cm为半径的C与直线AB的关系是相交.,【名师点津】判断直线与圆位置关系的两种方法1.用直线与圆交点的个数来判
4、断.2.用圆心到直线的距离与半径的大小来判断.,【备选例题】(2015烟台中考)如图,直线l:y=-x+1与坐标轴交于A,B两点,点M(m,0)是x轴上一动点,以点M为圆心,2个单位长度为半径作M,当M与直线l相切时,m的值为_.,【解析】直线l:y=-x+1与坐标轴交于A,B两点,A(0,1),B(2,0).AB=M与直线l相切,M的半径为2,sinABO=解得m=2-2 或2+2.答案:2-2 或2+2,【题组过关】1.(2016梧州中考)已知半径为5的圆,其圆心到直线的距离是3,此时直线和圆的位置关系为()A.相离B.相切C.相交D.无法确定,【解析】选C.半径r=5,圆心到直线的距离d
5、=3,53,即rd,直线和圆相交.,2.(2016台州中考)如图,在ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,以边AB的中点O为圆心,作半圆与AC相切,点P,Q分别是边BC和半圆上的动点,连接PQ,则PQ长的最大值与最小值的和是()世纪金榜导学号16104401,【解析】选C.AB2=AC2+BC2,ABC是直角三角形,C=90,设AC切O于点D,连接OD,ODAC,ADO=C=90,ODBC.又O是AB中点,AD=CD=4,DO=BC=3.OE=OF=3.当Q在E处,P在B处时,PQ最大,即PQ=AB-AE=10-(AO-OE)=10-(5-3)=8,过O作OMBC交O于点N,当Q在N处,P
6、在M处时,PQ最小,此时OM=AC=4,MN=4-3=1,故PQ最大值与最小值和为8+1=9.,3.(2016无锡中考)如图,AOB中,O=90,AO=8cm,BO=6cm,点C从A点出发,在边AO上以2cm/s的速度向O点运动,与此同时,点D从点B出发,在边BO上以1.5cm/s的速度向O点运动,过OC的中点E作CD的垂线EF,则当点C运动了_s时,以C点为圆心,1.5cm为半径的圆与直线EF相切.,【解析】当以点C为圆心,1.5cm为半径的圆与直线EF相切时,CF=1.5,AC=2t,BD=t,OC=8-2t,OD=6-t,点E是OC的中点,CE=OC=4-t,EFC=O=90,FCE=D
7、CO,EFCDOC,由勾股定理可知:CE2=CF2+EF2,(4-t)2=解得:0t4,t=.答案:,考点二 切线的性质与判定【考情分析】切线的性质与判定是中考命题的热点,两者单独考查或者综合考查,常常结合直角三角形、勾股定理、相似三角形等进行命题,呈现形式多样化,有选择题、填空题和解答题.,命题角度1:切线的性质【例2】(2017南京中考)如图,PA,PB是O的切线,A,B为切点.连接AO并延长,交PB的延长线于点C,连接PO,交O于点D.世纪金榜导学号16104402(1)求证:PO平分APC.(2)连接DB,若C=30,求证DBAC.,【思路点拨】(1)连接OB,根据切线的性质和角平分线
8、的概念可证明.(2)根据角平分线的性质可证明ODB是等边三角形,然后根据平行线的判定得证.,【自主解答】(1)PA,PB是O的切线,PO平分APC.(2)如图,连接OB.AOAP,OBBP,CAP=OBP=90.C=30,APC=90-C=90-30=60.,PO平分APC,OPC=APC=60=30,POB=90-OPC=90-30=60.又OD=OB,ODB是等边三角形,OBD=60.DBP=OBP-OBD=90-60=30.DBP=C,DBAC.,命题角度2:切线的判定【例3】(2017怀化中考)如图,已知BC是O的直径,点D为BC延长线上的一点,点A为圆上一点,且AB=AD,AC=CD
9、.(1)求证:ACDBAD.(2)求证:AD是O的切线.,【思路点拨】(1)根据等腰三角形的性质得到CAD=B,由于D=D,于是得到ACDBAD.(2)连接OA,根据等腰三角形的性质得到B=OAB,得到OAB=CAD,由BC是O的直径,得到BAC=90即可得到结论.,【自主解答】(1)AB=AD,B=D,AC=CD,CAD=D,CAD=B,D=D,ACDBAD.,(2)连接OA,OA=OB,B=OAB,OAB=CAD,BC是O的直径,BAC=90,BAO+OAC=DAC+OAC=90,OAAD,AD是O的切线.,命题角度3:切线长定理【例4】(2016西宁中考)如图,D为O上一点,点C在直径B
10、A的延长线上,且CDA=CBD.世纪金榜导学号16104403,(1)求证:CD是O的切线.(2)过点B作O的切线交CD的延长线于点E,BC=6,.求BE的长.,【思路点拨】(1)求证CD是O的切线,先连接OD,证明ODC=90,本题利用等量代换即可求得ODC=90.(2)由CDA=CBD,C=C可知CDACBD,又因为,可求得CD的长.由切线长定理可得,ED=EB.在RtEBC中用勾股定理可求得EB的长度.,【自主解答】(1)连接OD,OB=OD,OBD=BDO,CDA=CBD,CDA=ODB,又AB是O的直径,ADB=90(直径所对的圆周角是直角),ADO+ODB=90,ADO+CDA=9
11、0,即CDO=90,ODCD,OD是O的半径,CD是O的切线(经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线).,(2)C=C,CDA=CBD,CDACBD,CE,BE是O的切线,BE=DE,BEBC,BE2+BC2=EC2,即BE2+62=(4+BE)2,解得BE=.,命题角度4:切线的性质和判定的综合应用【例5】(2017丽水中考)如图,在RtABC中,C=90,以BC为直径的O交AB于点D,切线DE交AC于点E.世纪金榜导学号16104404(1)求证:A=ADE.(2)若AD=16,DE=10,求BC的长.,【思路点拨】(1)只要证明A+B=90,ADE+B=90即可解决问题.(2)首
12、先证明AC=2DE=20,在RtADC中,DC=12,设BD=x,在RtBDC中,BC2=x2+122,在RtABC中,BC2=(x+16)2-202,可得x2+122=(x+16)2-202,解方程即可解决问题.,【自主解答】(1)连接OD,DE是O的切线,ODE=90,ADE+BDO=90.ACB=90,A+B=90.又OD=OB,B=BDO,A=ADE.,(2)连接CD,ADE=A,AE=DE.BC是O的直径,ACB=90,EC是O的切线,DE=EC,AE=EC.又DE=10,AC=2DE=20.在RtADC中,DC=12,设BD=x,在RtBDC中,BC2=x2+122,在RtABC中
13、,BC2=(x+16)2-202,x2+122=(x+16)2-202,解得x=9.BC=15.,【名师点津】1.若已知直线与圆的公共点,证该直线为圆的切线,则采用判定定理法,其基本思路是:当已知点在圆上时,连接过这点的半径,证明这条半径与直线垂直即可,可简述为:有切点,连半径,证垂直.,2.若未知直线与圆的交点,证该直线为圆的切线,则采用数量关系法,其基本思路是:过圆心作直线的垂线段,证明垂线段的长等于圆的半径,可简述为:无切点,作垂线,证半径.,【题组过关】1.(2017自贡中考)如图,AB是O的直径,PA切O于点A,PO交O于点C,连接BC,若P=40,则B等于()A.20B.25C.3
14、0D.40,【解析】选B.PA切O于点A,PAB=90,P=40,POA=90-40=50,OC=OB,B=BCO=AOC=25.,2.(2017泰安中考)如图,圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O,过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M,若ABC=55,则ACD等于()A.20B.35C.40D.55,【解析】选A.圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O,ADC+ABC=180,ACB=90,ADC=180-ABC=125,BAC=90-ABC=35,过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M,MCA=ABC=55,AMC=90,ADC=AMC+DCM,DCM=ADC-AMC=35,ACD=MCA
15、-DCM=55-35=20.,3.(2017镇江中考)如图,AB是O的直径,AC与O相切,CO交O于点D.若CAD=30,则BOD=_.世纪金榜导学号16104405,【解析】由AC与O相切可得CAO=90,而CAD=30,故OAD=60;由OA=OD,可得OAD=ODA=60;而BOD=OAD+ODA=60+60=120.答案:120,4.(2017攀枝花中考)如图,ABC中,以BC为直径的O交AB于点D,AE平分BAC交BC于点E,交CD于点F,且CE=CF.(1)求证:直线CA是O的切线.(2)若BD=DC,求 的值.,【解析】(1)CF=CE,CEF=CFE,即CEF=AFD.BC是直
16、径,DCAB,即ADC=90,DAF+AFD=90.AE平分BAC,BAE=EAC,EAC+AEC=90,ACB=90,即ACBC,AC为O的切线.,(2)作FGAC于点G.在RtBCD中,B+BCD=90,又BCD+ACD=90,ACD=B.AE平分BAC,FG=DF,BD=DC,在RtCFG和RtBCD中,sinGCF=sinB=,考点三 三角形的外接圆和内切圆【例6】(2017达州中考)如图,ABC内接于O,CD平分ACB交O于D,过点D作PQAB分别交CA,CB延长线于P,Q,连接BD.世纪金榜导学号16104406,(1)求证:PQ是O的切线.(2)求证:BD2=ACBQ.(3)若A
17、C,BQ的长是关于x的方程x+=m的两实根,且tanPCD=求O的半径.,【思路点拨】(1)连接OD,用垂径定理的推论证明ODAB,再由ABPQ,得出ODPQ即可.(2)连接AD,证明DACQBD,利用相似三角形的对应边成比例可得BD2=ACBQ.(3)由方程根与系数的关系得AD=2,过A点作直径,利用解直角三角形即可得O的半径.,【自主解答】(1)连接OD,CD平分ACB,ODAB,PQAB,ODPQ,PQ是O的切线.,(2)连接AD,AD=BD,ABPQ,BDQ=ABD=ACD,ADC=ABC=Q,DBQCAD,ADBD=ACBQ,BD2=ACBQ.,(3)过点A作O的直径AE,连接DE,
18、则有ADE=90,E=ACD,AC,BQ的长是关于x的方程x+=m的两实根,x+=m可化为x2-mx+4=0,ACBQ=4=BD2,AD=BD=2,在RtADE中,tanE=tanPCD=DE=6,O的半径为.,【名师点津】三角形外心的性质(1)三角形的外心是外接圆的圆心,它是三角形三边垂直平分线的交点,它到三角形三个顶点的距离相等.(2)三角形的外接圆有且只有一个,即对于给定的三角形,其外心是唯一的,但一个圆的内接三角形却有无数个,这些三角形的外心重合.,【题组过关】1.(2017武汉中考)已知一个三角形的三边长分别为5,7,8,则其内切圆的半径为(),【解析】选C.如图,AB=7,BC=5
19、,AC=8,内切圆的半径为r,切点为G,E,F,作ADBC于点D,设BD=x,则CD=5-x.,由勾股定理可知:AD2=AB2-BD2=AC2-CD2,即72-x2=82-(5-x)2,解得x=1,AD=4,BCAD=(AB+BC+AC)r,54=20r,r=.,2.(2016株洲中考)ABC的内切圆的三个切点分别为D,E,F,A=75,B=45,则圆心角EOF=_度.世纪金榜导学号16104407,【解析】A=75,B=45,C=180-75-45=105-45=60,ABC的内切圆的三个切点分别为D,E,F,OEC=OFC=90,四边形OECF的内角和等于360,EOF=360-(90+90+60)=120.答案:120,
