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1、初中生平面几何,知识点及例题解答,目录,一、图形的认知及简单图形,几何图形的定义,立体图形和平面图形,展开图、多面体以及旋转体,直线、射线、线段,线段的中点,角,角的分类,平角：把一条射线，绕着它的端点顺着一个方向旋转，当终止位置和起始位置成一条直线时，所成的角叫做平角锐角：小于直角的角叫做锐角直角：平角的一半叫做直角钝角：大于直角而小于平角的角周角：把一条射线绕着它的端点顺着一个方向旋转，当终边和始边重合时，所成的角叫做周角周角、平角、直角的关系：1周角=2平角=4直角=360,余角、补角,示例,如右图，1+2=90，1+3=180，1=4，则：1与2互为余角，即1是2的余角，2也是1的余角
2、；1与3互为补角，即1是3的补角，3也是1的补角。因为1=4，则4与2互为余角；4与3互为补角；,1,2,3,4,直线的相交,一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这两个角是对顶角；两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做互为对顶角；对顶角的性质：对顶角相等。两条直线相交所形成的角为90度，则这两条直线垂直，那么一条直线就叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足；如图，AB与CD垂直相交，交点为O，则COB=90，直线CD就是AB的垂线（AB也是CD的垂线），点O就叫做垂足；过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；两条直线相交不成垂角时，其中一条直
3、线叫做另一条直线的斜线，它们的交点叫斜足；直线外一点到它与这条直线垂足的连线，叫做垂线段；连接直线外一点与直线上各点所有线段中，垂线段最短，我们把垂线段的长度，叫点到直线的距离；,O,平行线定义、性质,定义：同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线。性质：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；如果a/b，b/c，则b/c；两直线平行，同位角相等、内错角相等，同旁内角互补；同位角、内错角、同旁内角、对顶角：右图中，1与2的位置关系称为同位角，1=2；2与4的位置关系称为内错角，2=4；3与4的位置关系称为同旁内角，3+4=180；1与4的位置关系称为对顶角，1=4；,1,2,3,4,例题,
4、如图，直线l1，l2，l3交于一点，直线l4l1，若1=124，2=88，则3的度数为（）A26B36C46D56,如图，直线l4l1，1+AOB=180，而1=124，AOB=56，3=1802AOB=1808856=36，故选B,4,二、平面直角坐标系,定义以及知识点,平面直角坐标系：我们可以在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系；水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；垂直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点；象限：坐标轴上的点不属于任何象限；坐标系内的点坐标写作（x，y）；第一象限：x0,y0第二象限：x0第三象限：
5、x0,y0横坐标上的点坐标（x，0），纵坐标上的点坐标（0，y）距离问题：点（x,y）距x轴的距离为y的绝对值，距y轴的距离为x的绝对值；坐标轴上两点间距离：点A（a,0）点B（b,0）,则AB距离为a-b的绝对值；点A（0,a）点B（0，b），则AB距离为a-b的绝对值；,X轴,Y轴,定义及知识点,角平分线上的点：若（x,y）为第一、三象限角平分线上的点，则x=y；若（x,y）为第二、四象限角平分线上的点，则x+y=0；两个数的绝对值相等，则这两个数相等或者互为相反数；若直线l与x轴平行，则直线l上的点纵坐标值相等；若直线l与y轴平行，则直线l上点横坐标值相等；对称问题：一点关于x轴对称，则
6、x同y反；一点关于y轴对称，则y同x反；一点关于原点对称，则x反y反；,坐标点（x,y）的平移,三、三角形,定义、性质、知识点、全等三角形、相似三角形及勾股定理,三角形-定义,与三角形有关的线段,三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。依据：两点之间，线段最短。在实际运用中，只需检验最短的两边之和大于第三边，则可说明能组成三角形；在实际运用中，已经两边，则第三边的取值范围为：两边之差第三边两边之和；所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，注意检查每个答案能否组成三角形；三角形的高：从ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做ABC的边BC上的高（如
7、图1）；三角形的中线：连接ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做ABC的边BC上的中线（如图2）；三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分；三角形的平分线：画A的平分线AD，交A所对的边BC于D，所得线段AD叫做ABC的角平分线（如图3）；三角形的中线、角平分线、高均为线段；三角形具有稳定性，四边形没有稳定性；,1,2,3,三角形的高不一定在三角形内部,角平分线与中线都在三角形内部,角平分线,中线,与三角形有关的角,三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180度；三角形最多只有一个直角或者钝角，最少有两个锐角；三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的
8、外角；结合内角和可知：三角形的外角最少两个钝角；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角；三角形的外角和为360度；等腰三角形两个底角相等，等边三角形三个内角相等；A+B=C或者A-B=C等相似形式，均可推出三角形为直角三角形；A+BC等相似形式，均可推出三角形为钝角三角形；,三角形的角平分线,例题,如图，在ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BEAC于点E求证：CBE=BAD,证明：AB=AC，AD是BC边上的中线，BEAC，CBE+C=CAD+C=90，CAD=BAD，CBE=BAD,全等三角形,全等三角形的定义和性质,全等三角形的
9、判定,普通全等三角形的判定方法：三条边对应相等的两个三角形全等；（边边边）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；（边角边）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等；（角边角）两个角和其中一个角所对的边对应相等的两个三角形全等；（角角边）直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；（斜边直角边）角平分线性质及判定：性质：角的平分线上的点到角的两边距离相等；判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上；,例题,已知，AB、CD相交于点O，AC/DB，OC=OD，E、F为AB上两点，且AE=BF，求证：CE=DF。,证明：由AC/DB，可得A=B，ACO=BOD，又
10、1=2，所以AOCBOD，AC=BDAE=BF，则AEC与BFD中，两边及夹角相等，AECBFDCE=DF,例题,在ABC中，AB=AC，作ADAB交BC的延长线于点D，作AE/BD，CEAC，且AE，CE相交于点E，求证：AD=CE,证明：AE/BD，EAC=ACB，AB=AC，B=ACB，B=EAC，在ABD和CAE中，B=EAC，AB=AC，BAD=ACE，ABDCAE，AD=CE,相似三角形,相似三角形的定义,相似图形：形状相同的图形叫做相似图形；相似多边形对边角相等，对应边的比相等；相似多边形对应边的比称为相似比；相似三角形形状相同的三角形叫相似三角形；,相似三角形的判定,相似三角形
11、的性质,相似图形的周长与面积,例题,如图，ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，DE/AC，若BD=4，DA=2，BE=3，则EC=_.,A,B,C,D,E,3,2,4,？,勾股定理,勾股定理与直角三角形,例题,如右图，直角三角形的两个直角边长度分别为5、12，那么根据勾股定理，求出斜边长度。,直角三角形中锐角的三角函数,注意这里的邻边不包括斜边,锐角三角函数的性质,锐角三角函数不能取负值；0sinAl；0cosAl；锐角的正弦和余弦之间的关系：任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值；sinAcos（90一A）cosB；cosAsin（90一A）sinB锐
12、角的正切和余切之间的关系：任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值；tanAcot（90一A）cotB；cotAtan（90A）tanB注：A+B=90,三角函数的变化规律,角度在0-90变化时,角度在0-90变化时,同角三角函数关系式及特殊角的三角函数值,利用三角函数解直角三角形,例如一杆AB直立地面，从D点看杆顶A，仰角为60，从C点看杆顶A，仰角为30，若CD长为10米，求杆AB的高。,四、多边形与轴对称图形,定义、性质,多边形的定义,多边形的性质,内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角；外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角；对角
13、线：连接多边形不相邻两个顶点的线段，叫做多边形的对角线；多边形的内角和：N边形内角和=（n-2)*180度；多边形的外角和=360度；对于N边形，最多只能有三个外角为钝角，最多只能有三个内角为钝角；对于N边形，最多只能有四个外角为直角，最多有四个内角为直角，此时N=4；对于N4的N边形，最多只能有三个外角为直角，最多有三个内角为直角；从N边形的一个顶点出发，可以引N-3条对角线，它们将N边形分成N-2个三角形；从N边形的一个顶点出发，可以引N-3条对角线，N边形共有对角线N*(N-3)/2个；,正多边形,轴对称,如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，
14、这条直线就是它的对称轴。注意：线段不能称为对称轴。把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点；经过线段中点且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线；如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线的垂直平分线；类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；,性质与判定,五、四边形,平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形,平行四边形,定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形；性质：对边相等夹在平行线间的平行线段相等对角相等对角线互相平分判定：两组
15、对边分别相等的四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形两组对角分别相等的四边形是平行四边形-平行线间的距离：两平行线间最短的线段（垂直）,矩形,定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；性质：矩形的四个角都是直角矩形的对角线相等引申：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半判定：对角线相等的平行四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形有一个角是直角的平行四边形是矩形,判定四边形是矩形的方法,例题,在平行四边形ABCD中，过点D作DEAB于点E，点F在边CD上，DF=BE，连接AF，BF.求证：（1）四边形BFDE是矩形；（2）若CF=3，BF=4，
16、DF=5，求证：AF平分DAB；,答案,证明：（1）四边形ABCD为平行四边形，DC/AB即DF/BE又DF=BE，四边形DEBF为平行四边形，又DEAB，即DEB=90，四边形DEBF为矩形,菱形,定义：有一邻边相等的平行四边形叫做菱形性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；判定：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四边相等的四边形是菱形；有一邻边相等的平行四边形是菱形；,菱形的判定方法,正方形,定义：四条边都相等，四个角都是直角的平行四边形叫做正方形；性质：既是矩形，又是菱形；具有矩形的性质，也有菱形的性质；四个角都是直角，四条边都相等；两条对角线相
17、等，且互相垂直平分；每条对角线平分一组对角；判定：两条对角线互相垂直的矩形是正方形；两条对角线相等的菱形是正方形；,判定四边形是正方形的方法,梯形,定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形；两腰相等的梯形叫做等腰梯形；有一个角是直角的梯形叫做直角梯形；等腰梯形的性质：等腰梯形同一底边上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等；等腰梯形的判定：同一个底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；两腰相等的梯形是等腰梯形；,中位线,三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线（三角形的中位线与中线不同）梯形的中位线：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形中位线三角形中位线定理：三角形的中位线平
18、行于第三边，并且等于第三边的一半梯形中位线定理：梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半,各类图形的面积,六、圆,定义、定理、性质、知识点,圆的定义和性质,定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是一个圆里最长的弦；性质：圆上各点到定点的距离都等于定长；到定点的距离等于定长的点都在同一平面上；圆心为O、半径为r的圆可以看成所有到定点O距离等于定长r的点的集合；圆的面积公式：S=r圆的周长公式：C=2r垂直于弦的直径平分弦，平且平分弦所对的两条弧；平
19、分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；,弧、圆心角、圆周角,弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧；圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角；圆是轴对称图形：任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴；圆是中心对称图形：圆心O是它的对称中心；三个相等：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们对应的圆心角相等，所对的弦相等；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对应的圆心角相等，所对的弧相等；圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周
20、角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90圆周角所对应的弦是直径；圆的内接四边形对角之和为180；（内接四边形4个顶点都在圆上）,点和圆的位置关系,直线和圆的位置关系,切线,判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；性质：圆的切线垂直于过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；经过切点且垂直于切线的直线必过圆心；切线长：经过圆外一点作过圆的切线，这点和切点之间的线段长，就叫做这点到圆的切线长；切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角；,例题,O,O,B,C,A,D,E,AOC=80
21、，OB=OC，根据等腰三角形性质，则B=OCB=40；AE为切线，则BAE=90ADB+B=90ADB=50答案：B,弦切角,顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角。弦切角定理：弦切角等于它所对应的弧的圆周角。推理：如果两个弦切角所对应的弧相等，那么这两个弦切角也相等，如右图，FAE=ACE=ADE如图，AB为切线，则有C=BAE，BAE=DC=D,F,圆与三角形,不在同一直线上的三个点确定一个圆；经过三角形的三个顶点可以做一个圆，则个圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心；特殊情况：直角三角形的外心在斜边上的中点；三角形的内心：
22、与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心；三角形面积=内切圆半径r*三角形周长L/2；,例题,如图，AB是O的弦，AB=6，点C是O上的一个动点，且ACB=45若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是_.,圆与圆的位置关系,圆O1与圆O2半径分别为R、r，O1与O2之间的距离为d；圆与圆相交：两个交点，R-rR+r；圆与圆内含：没有交点，dR-r；同心圆：圆心重合，d=0；-相切的两个圆，不论内切还是外切，切点和两个圆心应该在同一直线上；,两圆的公切线,和两个圆都相切的直线叫两圆的公切线，两圆在公切线同旁时，叫外公切线，在公切线两旁
23、时，叫内公切线，公切线上两个切点的距离叫公切线的长如图，若A、B、C、D为切点，则AB为内公切线长，CD为外公切线长,扇形的弧长及面积,圆柱体,圆柱可以看作是由一个矩形旋转得到的，如把矩形ABCD绕边AB旋转一周得到的图形是一个圆柱AB叫圆柱的轴，圆柱侧面上平行轴的线段CD，CD,都叫圆柱的母线圆柱的母线长都相等，等于圆柱的高。圆柱的两个底面是平行的;圆柱的侧面展开图是一个长方形,其中AB=高，AC=底面圆周长,S侧面=2rh(圆柱的轴截面是长方形，一边长为h，一边长为2r，r是圆柱底半径，h是圆柱的高),圆锥体,圆锥可以看作由一个直角三角形旋转得到把RtOAS绕直线SO旋转一周得到的图形就是
24、圆锥旋转轴SO叫圆锥的轴，通过底面圆的圆心，且垂直底面。连结圆锥顶点和底面圆的任意一点的SA、SA,都叫圆锥的母线，母线长都相等圆锥的侧面展开图是一个扇形SAB,半径是母线长，AB是2r。（底面的周长），所以圆锥侧面积为S侧面=rL（L为母线长）,A,例题,如图，在每一个四边形ABCD中，均有ADBC，CDBC，ABC=60，AD=8，BC=12（1）如图，点M是四边形ABCD边AD上的一点，则BMC的面积为_（2）如图，点N是四边形ABCD边AD上的任意一点，请你求出BNC周长的最小值；（3）如图，在四边形ABCD的边AD上，是否存在一点P，使得cosBPC的值最小？若存在，求出此时cosBPC的值；若不存在，请说明理由,答案,
