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1、中考数学 创新型、开放型问题 探究讲座,例1.比较下面的两列算式结果的大小：(在横线上填“”、“”、“=”)(1)42+32_243(2)(-2)2+12_2(-2)1(3)(4)22+22_222通过观察归纳，写出能反映这种规律的一般结论，并加以证明,(1)(2)(3)(4)=结论：对于任意两个实数a和b，一定有 a2+b22ab证明：(a-b)20，即a2-2ab+b20，a2+b22ab,例2.如图：已知ABC为O的内接三角形，O1过C点与AC交点E，与O交于点D，连结AD并延长与O1交于点F与BC的延长线交于点G，连结EF,要使EFCG，ABC应满足什么条件？请补充上你认为缺少的条件后
2、，证明EFGC(要求补充的条件要明确，但不能 多余),分析：要使EFGC，需知FEC=ACB，但从图中可知FEC=FDC，FDC=B，所以FEC=B，故当B=ACB时，可得证EFGC,要使EFGC，ABC应满足AB=AC或ABC=ACB证明：连结DC，则FDC=FEC，FDC=B，FEC=B，B=ACB，FEC=ACB，EFGC,例3.如图：已知O1与O2相交于A.B两点，经过A点的直线分别交O1.O2于C.D两点(D.C不与B重合).连结BD，过C点作BD的平行线交O1于点E，连结BE(1)求证：BE是O2的切线(2)如图2，若两圆圆心在公共弦AB的同侧，其他条件不变，判断BE与O2的位置关
3、系(不要求证明)(3)若点C为劣弧AB的中点，其他条件不变，连结AB.AE，AB与CE交于点F，如图3 写出图中所有的相似三角形(不另外连线，不要求证明),要证BE是O2的切线，需知EBO2=90，不妨过B点作O2的直径BF交O2于F点，则BAF=90，即F+ABF=90，F=ADB，EBO2=EBA+ABF，要知EBO2=90，需知ABE=ADB，但ABE=ACE，由ECBD，得ACE=ADB，故ABE=ADB得证，从而知EBO2=90，因此BE是O2的切线,证明：作直径BF交O2于F，连结AB、AF，则BAF=90，即F+ABF=90。F=ADB，ABF+ADB=90。ECBD，ACE=A
4、DB，又ACE=ABE，ABE=ADB，故ABF+ABE=90，即EBO2=90，EBBO2，EB是O2的切线,(2)分析：猜想EB与O2的关系是相切的仍作O2的直径BF，则FAB=90，同时FAD+FBD=180，BAC+FBD=90。现只需要得知FBE=90即可。由CEBD可知，CEB+DBE=180，又，CEB=BAC，BAC+EBD=180，EBD-FBD=90，即FBE=90，故EB与O2是相切的,证明：作O2的直径BF交O2于F，则FAB=90且FAD+FBD=180，BAD+FBD=90。但BAD=CEB，故CEB+FBD=90。CEDB，CEB+EBD=180，EBD-FBD=
5、90，即FBE=90，EB是O2的切线,证明ECDB，ACE=ADB，又ACE=ABE，ACE=ADB=ABE。C是劣弧AB的中点，BAC=BEC=AEC，AFCABDEACEFB,(3)若点C为劣弧AB的中点，其他条件不变，连结AB.AE，AB与CE交于点F，如图3 写出图中所有的相似三角形(不另外连线，不要求证明）,例4.如图直径为13的O1经过原点O，并且与x轴、y轴分别交于A、B两点，线段OA、OB(OAOB)的长分别 是方程x2+kx+60=0的两个根(1)求线段OA、OB的长(2)已知点C在劣弧OA上，连结BC交OA于D，当OC2=CDCB时，求C点的坐标(3)在O1上是否存在点P
6、，使SPOD=SABD？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由,(1)解：OA、OB是方程x2+kx+60=0的两个根，OA+OB=-k，OAOB=60OBOA，AB是O1的直径OA2+OB2=132，又OA2+OB2=(OA+OB)2-2OAOB，132=(-k)2-260 解 之得：,k=17 OA+OB0，k0故k=-17，于是方程为x2-17x+60=0,解方程得OA=12，OB=5,(2)已知点C在劣弧OA上，连结BC交OA于D，当OC2=CDCB时，求C点的坐标,解：连结O1C交OA于点E，OC2=CDCB，即OC/CB=CD/OC,又OCB=DCO，OCDBCO，COD=
7、CBO，=O1COA且平分OA，OE=1/2OA=6，O1E=1/2AB=5/2，CE=O1C-O1E=4，C的坐标为(6，-4),(3)在O1上是否存在点P，使SPOD=SABD？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由,第一类：找规律问题 这类问题要求大家通过观察,分析,比较,概括,总结出题设反映的某种规律,进而利用这个规律解决相关问题,例1：观察下列算式：21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=64 27=128 28=256通过观察，用你所发现的规律写出89的末位数字是。,8,例1：观察下列算式：21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=64
8、 27=128 28=256通过观察，用你所发现的规律写出89的末位数字是。,第二类:探求条件问题 这种问题是指所给问题结论明确,而寻求使结论成立的条件.大致有三种类型(1)条件未知需探求(2)条件不足需补充条件(3)条件多余或有错,需排除条件或修正错误条件,例2:已知:如图,AB、AC 分别是O 的直径和弦，D为劣弧 AC上一点，DEAB于点H，交O于点E，交AC于点F，P为ED的延长线上一点，（1）当PCF满足什么条件时，PC与O相切，为什么？2）当点D在劣弧AC的什么位置时，才能使AD2=DE DF.为什么?,分析：要知PC与0相切，需知PCOC，即PCO=90，CAB+AFH=90，而
9、CAB=OCA，AFH=PFC，PFC+OCA=90，当PFC=PCF时，PCO=90.,解:(1)当PC=PF(或PCF=PFC,或PCF为等边三角形)时,PC与 O相切.连结OC,则OCA=FAH.PC=PF PCF=PFC=AFHDE AB OCA+PCF=FAH+AFH=900即OC PC,PC与O相切.,（2）当点D在劣弧AC的什么位置时，才能使AD2=DE DF.为什么?,分析:要使AD2=DE DF需知ADFEDA证以上两三角形相似,除公共角外,还需证DAC=DEA故应知AD=CD,解：（2）当点D是AC的中点时，AD2=DE DF.连结AE.AD=CD DAF=DEA 又ADF
10、=EDA DAFDEA,即AD2=DE DF,第三类:探求结论问题 这类问题是指题目中的结论不确定,不惟一,或结论需要通过类比,引申,推广或由已知特殊结论,归纳出一般结论,例3：已知，O1经过O2的圆心O2，且与O2相交于A、B两点，点C为AO2B上的一动点（不运动至A、B）连结AC，并延长交O2于点P，连结BP、BC.(1)先按题意将图1补完整,然后操作,观察.图1供操作观察用,操作时可使用量角器与刻度尺.当点C在AO2B 上运动时,图中有哪些角的大小没有变化;(2)请猜想BCP的形状,并证明你的猜想(图2供证明用)(3)如图3,当PA经过点O2时,AB=4,BP交O1于D,且PB、DB的长
11、是方程x2+kx+10=0的两个根，求O1的半径.,例3：已知，O1经过O2的圆心O2，且与O2相交于A、B两点，点C为AO2B上的一动点（不运动至A、B）连结AC，并延长交O2于点P，连结BP、BC.(1)先按题意将图1补完整,然后操作,观察.图1供操作观察用,操作时可使用量角器与刻度尺.当点C在AO2B 上运动时,图中有哪些角的大小没有变化;,(2)请猜想BCP的形状,并证明你的猜想(图2供证明用),（2）证明：连结O2A、O2B，则BO2A=ACB BO2A=2PACB=2PACB=P+PBCP=PBCBCP为等腰三角形.,(3)如图3,当PA经过点O2时,AB=4,BP交O1于D,且P
12、B、DB的长是方程x2+kx+10=0的两个根，求O1的半径.,连结O2O1并延长交AB于E，交O1于F设O1、O2的半径分别为r、R，O2FAB，EB=1/2AB=2，PDB、PO2A是O1的割线，PDPB=PO2PA=2R2，PB、BD是方程x2+kx+10=0的两根，PBBD=10，,EFEO2=AEBE，EF=4/3，r=1/2（3+4/3）=13/6O1的半径为13/6,PDPB=（PBBD）PB=PB2PBBD=PB210PB210=2R2，AP是O2的直径，PBA=90，PB2=PA2AB2，PB2=4R216得R=在RtO2EB中，O2E=由相交弦定理得，,第四类：,存在性问题
13、,存在性问题是指在一定件下某数学对,象是否存在的问题,例,4,：抛物线,y=ax,2,+,bx,+c,（,a,0,）,过,P,（,1,，,-,2,），,Q,（,-,1,2,），,且与,X,轴交于,A,B,两点,(,A,在,B,的左,侧,),与,Y,轴交于,C,点，连结,AC,，,BC,1.,求,a,与,c,的关系式,2.,若,(,O,为坐标原点,),求抛物线的解析式,3.,是否存在满足条件,tan,CAB,穧,cot,CBA=1,的,抛物,线,?,若存在,请求出抛物线的解析式。若不存,在，请说明理由,。,解（1）将P（1，-2），Q（-1，2）代入解析式得 解方程组得a+c=0，b=2 a，c
14、的关系式是a+c=0或a=c,例4：抛物线y=ax2+bx+c（a0）过P（1，-2），Q（-1,2），且与X轴交于A,B两点(A在B的左侧),与Y轴交于C点，连结AC，BC求a与c的关系式若(O为坐标原点),求抛物线的解析式3.是否存在满足条件tanCABcotCBA=1的抛物线?若存在,请求出抛物线的解析式。若不存在，请说明理由。,（2）由（1）知b=2，所以y=ax22x+c设A（x1，0）B（x2，0）则x1x2=c/a，但a=c，所以x1x20这说明A，B在原点两侧（A在B的左侧）所以OA=x1，OB=x2，OC=|c|=|a|，已知 故有即 平方后得 而（x2-x1）2=（x1+x
15、2）24x1x2把x1+x2=2/a，x1x2=1代入上式中，得到关于a的方程，解方程求得a，c从而求出解析式,（2）设A，B的坐标分别为（x1，0）,（x2，0）,则x1，x2是方程 ax22x+c=0的两个根 x1+x2=2/a，x1x2=1因此A，B两点分别在原点两侧，因为A在B的左侧，所以x10，x20，故OA=x1，OB=x2，OC=|c|=|a|，由 得 即,平方后得 又 于是得4/a2+4=16/a2,解之得a=，c=所以解析式为,（x2-x1）2=（x1+x2）2 4x1x2,例4：抛物线y=ax2+bx+c（a0）过P（1，-2），Q（-1,2），且与X轴交于A,B两点,与Y
16、轴交于C点，连结AC，BC求a与c的关系式若(O为坐标原点),求抛物线的解析式3.是否存在满足条件tanCABcotCBA=1的抛物线?若存在,请求出抛物线的解析式。若不存在，请说明理由。,（3）假设满足条件的解析式存在 由tanCABcotCBA=1得(OC/OA)(OB/OC)=1，从而有OA=OB这说明A，B一定在原点两侧，所以x1=x2即x1+x2=0，所以b/a=0，因而b=0这与b=2相矛盾，故假设错误，所以不存在这样的抛物线。,创新型、开放型问题,3,例1：某种细菌在培养过程中，细菌每半小时分裂一次（由一个分裂为两个），经过两小时，这种细菌由一个可分裂繁殖成（）A：8个 B：16
17、个 C：4个 D：32个,例1：某种细菌在培养过程中，细菌每半小时分裂一次（由一个分裂为两个），经过两小时，这种细菌由一个可分裂繁殖成（）A：8个 B：16个 C：4个 D：32个,B,例2：如图，已知ABC，P为AB上一点，连结CP，要使ACPABC，只需添加条件_（只需写一种合适的条件）。,1=B,2=ACB,AC2=APAB,启示：若Q是AC上一点，连结PQ，APQ与ABC相似的条件应是什么？,例3：先根据条件要求编写应用题，再解答你所编写的应用题。编写要求：（1）：编写一道行程问题的应用题，使得根据其题意列出的方程为,（2）所编写应用题完整，题意清楚。联系生活实际且其解符合实际。,分析
18、：题目中要求编“行程问题”故应联想到行程问题中三个量的关系（即路程，速度，时间）路程=速度时间或时间=路程速度、速度=路程 时间因所给方程为那么上述关系式应该用：时间=路程 速度 故路程=120 方程的含义可理解为以两种不同的速度行走120的路程，时间差1。,所编方程为：A，B两地相距120千米，甲乙两汽车同时从A地出发去B地，甲 比乙每小时多走10千米，因而比乙早到达1小时求甲乙两汽车的速度？解：设乙的速度为x千米/时，根据题意得方程：解之得：x=30经检验x=30是方程的根 这时x+10=40答：甲 乙两车的速度分别为40千米/时，30千米/时,例4 已知关于x的一元二次方程 x2+2x+
19、2-m=0（1）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围？（2）请你利用（1）所得的结论，任取m的一个数值代入方程，并用配方法求出方程的两个实数根？,分析：一元二次方程根与判别式的关系 0 方程有两个不相等的实数根，于是有：22-4(2-m)0,解之得m的取值范围；(2)中要求m任取一个值，故同学们可在m允许的范围内取一个即可，但尽量取的m的值使解方程容易些。而且解方程要求用配方法，这就更体现了m取值的重要性，否则配方法较为困难。,解（1）方程有两个不相等的实数根 0，即4-4（2-m)0 m1（2）不妨取 m=2代入方程中得：x2+2x=0配方得：x2+2x+12=12 即（x+1)2
20、=1x+1=1 解之得：x1=0 x2=2,例5 在一服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角布料（如图）现找出其中一种，测得C=90，AC=BC=4，今要从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状的玩具，使扇形的边缘半径恰好都在ABC的边上，且扇形的弧与 ABC的其他边相切，请设计出所有可能符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径（只要画出图形，并直接写出扇形半径）。,C,A,B,分析：扇形要求弧线与三角形的边相切，半径都在三角形边上相切的情况有两种（1）与其中一边相切（直角边相切、斜边相切）（2）与其中两边相切（两直角边相切、一直角边和一斜边相切）并且尽量能使用边角料（即找最大的扇形）（1）与
21、一直角边相切可如图所示（2）与一斜边相切如图所示（3）与两直角边相切如图所示（4）与一直角边和一斜边相切如图所示,解：可以设计如下图四种方案：r1=4 r2=2 r3=2 r4=4-4,例6：一单杠高2.2米,两立柱之间的距离为1.6米,将一根绳子的两端栓于立柱与铁杠结合处,绳 子自然下垂呈抛物线状.(1)一身高0.7米的小孩子站在离立柱0.4米处,其头部刚好触上绳子,求绳子最低点到地面的距离;(2)为供孩子们打秋千,把绳子剪断后,中间系一块长为0.4米的木板,除掉系木板用去的绳子后,两边的绳子正好各为2米,木板与地面平行,求这时木板到地面的距离(供选用数据:),分析：由于绳子是抛物线型，故求
22、绳子最低点到地面的距离就是求抛物线的最小值问题，因而必须知抛物线的解析式，由于抛物线的对称轴是y轴，故可设解析式为：y=ax2+c的形式，而此人所站位置的坐标为（0.4,0.7),绳子系的坐标为（0.8,2.2)，将其代入解析式得a,c,分析：求EF离地面的距离，实际上是求PO的长度，也就是求GH的长度，而GH=BHBG，BG正好在RtBFG中，可根据勾股定理求出。,解：如图，根据建立的直角坐标系，设二次函数解析式为y=ax2+c，C（.，.）（.，.）,绳子最低点到地面距离为米（）作，交于，（）（）0在中，,.(米)故木板到地面的距离约为.米,绳子最低点到地面距离为米（）作，交于，（）（）0在中，,
