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1、,函数的奇偶性,授课人：王秀芹,观察函数g(x)=x2的图象，看看它具有怎样的对称性？,关于y轴成轴对称,o,x,y,关于原点成中心对称,观察函数f(x)=的图象，看看它具有怎样的对称性？,观察函数g(x)=x2的图象，看看它具有怎样的对称性？,关于y轴成轴对称,由g(x)=x2求g(-1)、g(1)、g(-2)、g(2)、g(-3)、g(3)的值，并思考g(-x)与g(x)有怎样的关系？,g(-1)=(-1)2=1,g(1)=12=1,g(-2)=(-2)2=4、,g(-3)=(-3)2=9、,g(3)=32=9、,g(-x)=(-x)2=x2=g(x),函数 g(x)=x2 为偶函数,g(
2、2)=22=4、,定义：如果对于函数f(x)定义域A中的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数,注意：(1)当XA时,-X A(定义域关于原点对称）,如果对于函数f(x)定义域A中的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。,(2)f(-x)=-f(x),注意：(1)当 XA时,-X A(定义域关于原点对称）,(2)f(-x)=f(x),函数是奇函数,结论：,函数是偶函数,函数图象关于坐标原点对称,函数图象关于y轴对称,例、判断下列函数的奇偶性：（1）f(x)=x+x3+x5；（2）f(x)=x2+1；（3）f(x)=x+1；（4）f(x
3、)=x2，x，（5）f(x)=0,解：（1）函数f(x)=x+x3+x5的定义域为，,又因为f(x)=（x）+（x）3+（x）5,当XR时,-X R,xx3x5,（x+x3+x5）,f(x),所以函数f(x)=x+x3+x5是奇函数。,所以，函数f(x)=x2+1是偶函数,又因为f(x)=（x）2+1,解：（）函数f(x)=x2+1的定义域为，,当XR时,-X R,=x2+1,f(x),例、判断下列函数的奇偶性：（1）f(x)=x+x3+x5；（2）f(x)=x2+1；（3）f(x)=x+1；（4）f(x)=x2，x，（5）f(x)=0,例、判断下列函数的奇偶性：（1）f(x)=x+x3+x5
4、；（2）f(x)=x2+1；（3）f(x)=x+1；（4）f(x)=x2，x，（5）f(x)=0,解：（3）函数f(x)=x+1的定义域为，,当XR时,-X R,又因为f(x)=（x）+1,（x1）,而f(x)=x 1,所以f(x)f(x)且f(x)f(x),因此 函数f(x)=x+1既不是奇函数也不是偶函数。,解4）因为，而，,所以函数f(x)=x2，x，既不是奇函数也不是偶函数。,例、判断下列函数的奇偶性：（1）f(x)=x+x3+x5；（2）f(x)=x2+1；（3）f(x)=x+1；（4）f(x)=x2，x，（5）f(x)=0,5）函数f(x)=0的定义域为，,当XR时,-X R,又因
5、为f(x)=0，f(x)=0,所以f(x)=f(x)且f(x)=f(x),因此 函数f(x)=0既是奇函数也是偶函数。,想一想：判断函数奇偶性的大体步骤分哪几步？,可分三步：1、写出函数的定义域；,2、判断定义域是否关于原点对称；,3、根据f(-x)与f(x)的关系判断 奇偶性。,1、口答下列各题：（1）函数f(x)=x是奇函数吗？（2）函数g(x)=2是奇函数还是偶函数？（3）如果y=h(x)是偶函数，当h(-1)=2时，h(1)的值是多少？,(1)、f(x)=x是奇函数,(2)、g(x)=2是偶函数,(3)、h(1)=h(-1)=2,课堂小结：,1、一般地，如果对于函数f(x)定义域中的任
6、意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数；如果对于函数定义域中的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。,2、一个函数是奇函数的充要条件是，它的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；一个函数是偶函数的充要条件是，它的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形。,作业：P60 2,4、根据定义判断函数奇偶性的方法和步骤：第一步，先写出函数的定义域；第二步，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则函数既不是奇函数也不是偶函数；若是对称，进行第三步；第三步，判断 f(-x)与f(x)的关系，若f(-x)=f(x)，则是奇函数，若f(-x)=f(x)，则是偶函数，若f(-x)=f(x)，且f(-x)=f(x)，则既是奇函数又是偶函数，若f(x)f(x)，且f(x)f(x)，则既不是奇函数也不是偶函数。,3、对于一个函数来说，它的奇偶性有四种可能：是奇函数但不是偶函数；是偶函数但不是奇函数；既是奇函数又是偶函数；既不是奇函数也不是偶函数。,课堂小结：,
