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1、第九章 立体几何,本章主要学习空间直线、平面及简单几何体的概念、位置关系及相关的计算.,9.1 平面的基本性质,教学目标（1）借助生活中的实物，学生对平面产生感性的认识；（2）掌握平面的表示法，认识水平放置的直观图；（3）掌握平面的基本性质及作用；（4）培养学生的空间想象能力.,问题一：你能过任意一点引三条互相垂直的直线吗？,墙角,问题二：能用六根等长的火柴棍，搭出四个三角形吗？,光滑的桌面、平静的湖面等都是我们熟悉的平面形象，数学中的平面概念是现实平面进行抽象。,一.平面的概念：,平坦、光滑并且可以无限延展的图形。,二.平面的画法：,（1）水平放置的平面：,（2）竖直放置的平面：,表示平面的
2、平行四边形的锐角画成450,平面ABCD,平面AC 或平面BD,平面，平面，平面,练 一练,长方体,1、口答：几个顶点？几条棱？几个面？,2、画一画为什么里面的三条棱要化成虚线？,3、写一写 表示长方体的6个面。,练 一练,1、下列各图中，有多少个平面？写出这些平面。,点、线、面关系的符号表示,Al,A,直线与平面都可以看做点的集合,关系如何？,观察下列问题，你能得到什么结论？,四.平面的性质,此时称直线l在平面内或平面经过直线l记作,画直线l在平面内的图形表示时，要将直线画在平行四边形的内部,直线与平面的位置关系,1、直线l上的所有点都在平面上，称直线l在平面内，或称平面通过直线l.记为：,
3、2、直线l与平面只有一个公共点A时，称直线l与平面相交。记为：lA,3、直线a与平面没有公共点时，称直线l与平面平行。记为：l 或 l.,把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？,思考,B,四.平面的性质,平面与平面相交，交线为l，记做,怎么画相交的平面？,观察下列问题，你能得到什么结论？,四.平面的性质,“确定一个平面”指的是“存在着一个平面，并且只存在着一个平面”,1直线与这条直线外的一点可以确定一个平面,2两条相交直线可以确定一个平面,3两条平行直线可以确定一个平面,1、下图中的平面中有无不正确的地方？应如何纠正？,学以致用,2、图中平面与平
4、面是否为同一平面？,不是,是,不是,2梯形是平面图形吗？为什么？,判断,不正确,是,是,4、如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系,解：,9.2直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质,教学目标（1）了解两条直线的位置关系；（2）掌握异面直线的概念与画法，直线与直线平行的判定与性质；直线与平面的位置关系，直线与平面平行的判定与性质；平面与平面的位置关系，平面与平面平行的判定与性质,创设情境兴趣导入,观察右图所示的正方体，可以发,交又不平行，它们不同在任何一个平,面内,动脑思考探索新知,在同一个平面内的直线，叫做共面直线，平行或相交的两条直线都是,共面直线不同在任何一个
5、平面内的两条直线叫做异面直线如图所示的,这样，空间两条直线就有三种位置关系：,平行、相交、异面,动脑思考探索新知,利用铅笔和书本，演示如图的异面直线位置关系,创设情境兴趣导入,我们知道，平面内平行于同一条直线的两条直线一定平行,那么空间中平行于同一条直线的两条直线是否一定平行呢？,观察教室内相邻两面墙的交线,动脑思考探索新知,平行于同一条直线的两条直线平行,平行线的性质：,我们经常利用这个性质来判断两条直线平行,创设情境兴趣导入,边AD与DC，沿着对角线AC向上折起，,内,巩固知识典型例题,的中点（如图）判断四边形,是否为平行四边形？,解联结BD因为E、H分别为AB、DA的中点，,故四边形EF
6、GH是平行四边形,运用知识强化练习,1结合教室及室内的物品，举出空间两条直线平行的例子.,2把一张矩形的纸对折两次，然后打开（如图），说明为什么,这些折痕是互相平行的？,创设情境兴趣导入,将铅笔放在桌面上，此时铅笔与桌面有无数多个公共点；,抬起铅笔的一端，此时铅笔与桌面只有1个公共点；把铅笔放到,文具盒(文具盒在桌面上)上面，铅笔与桌面就没有公共点了,动脑思考探索新知,如果一条直线与一个平面只有一个公共点，那么就称这条直线与这个平面相交，,画直线与平面相交的图形，要把直线延伸到平行四边形外（如图（2）.,如果一条直线与一个平面没有公共点，那么就称这条直线与这个平面平行直线,外，并与平行四边形的
7、一边平行（如图919（3）,动脑思考探索新知,直线与平面的位置关系有三种：直线在平面内、直线与平面相交、,直线与平面平行直线与平面相交及直线与平面平行统称为直线在平,面外,创设情境兴趣导入,在桌面上放一张白纸，在白纸上画出两条平行直线，沿着其中的一条,直线将纸折起（如图）观察发现：在折起的各个位置上，另一条直线始,终与桌面保持平行,动脑思考探索新知,如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么,判定直线与平面平行的方法：,这条直线与这个平面平行.,巩固知识典型例题,所以DD1CC1,又因为CC1在平面BCC1B1内，DD1在平面BCC1B1外，,创设情境兴趣导入,将铅笔放到与桌面平行的位置
8、，用矩形,紧贴桌面(如图)，观察铅笔及硬纸片与桌面,硬纸片的面紧贴铅笔，矩形硬纸片的一边,的交线，发现它们是平行的,铅笔,创设情境兴趣导入,直线与平面的三种位置关系,动脑思考探索新知,如果一条直线与一个平面平行，并且经过这条直线的一个平面,直线与平面平行的性质：,和这个平面相交，那么这条直线与交线平行.,巩固知识典型例题,解画线的方法是：,过点P作直线B1C1的平行线EF，,分别交直线A1B1及直线D1C1与点E、F，,连接EB和FC,在平面A1B1C1D1内，,运用知识强化练习,1试举出一个直线和平面平行的例子,2请在黑板上画一条直线与地面平行，并说出所画的直线与地面,平行的理由,3如果一条
9、直线平行于一个平面，那么这条直线是不是和这个平,面内所有的直线都平行？,4说明长方体的上底面各条边与下底面平行的理由,创设情境兴趣导入,教室中的墙壁与地面相交于一条直线，而天花板与地面，没有公共点,动脑思考探索新知,如果两个平面没有公共点，那么称这两个平面互相平行平面,画两个互相平行平面的图形时，要使两个平行四边形的对应边,分别平行（如图）,空间两个平面就有两种位置关,系：平行与相交,创设情境兴趣导入,进行乒乓球或台球比赛时，必需要保证台面与地面平行技术人员利用水准器来进行检测水准器内的玻璃管装有水，管内的水柱相当于一条直线，水准器内的水泡在中央，表示水准器所在的直线与地平面平行把水准器在平板
10、上交叉放置两次（如图），如果两次检测，水准器内的水泡都在中央，就表示台面与地面平行，可以进行比赛，否则就需要进行调整,动脑思考探索新知,判定平面与平面平行的方法：,如果一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，,那么这两个平面平行,如果一个平面内的一条直线平行于另一个平面内的一条直线,那么这两个平面是否一定平行？,巩固知识典型例题,所以，直线m平面,同理可得 直线n平面,直线k，l（如图），试判断平面，是否平行？,例4设平面内的两条相交直线m，n分别平行于另一个平面内的两条,创设情境兴趣导入,将一本书放在与桌面平行的位置，,用作业本靠紧书一边，绕着这条边移,动作业本，观察作业本和书的交线与,
11、作业本和桌面的交线之间的关系,动脑思考探索新知,如果一个平面与两个平行平面相交，,两个平面平行的性质：,那么它们的交线平行,都相交，交线分别为m、n，那么,mn,运用知识强化练习,画出下列各图形：,（1）两个水平放置的互相平行的平面,（2）两个竖直放置的互相平行的平面,（3）与两个平行的平面相交的平面,不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.,.,理论升华整体建构,自我反思目标检测,自我反思目标检测,设空间中四条直线a、b、c、d，满足a/b，b/c，c/d，,试判断a与d的关系,9.3直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质,教学目标(1)了解空间两条直线垂直的概念；(2)掌握
12、与平面垂直的判定方法与性质，平面与平面垂直的判定方法与性质;(3)培养学生的空间想象能力和数学思维能力,创设情境兴趣导入,演示并画出两条相交直线垂直与两条异面直线垂直的位置,关系，并回答：经过空间任意一点作与已知直线垂直的直线，,能作几条？,巩固知识典型例题,例1 如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，判断直线AB和DD1是否垂直,解 AB和DD1是异面直线，而BB1DD1，ABBB1，,根据异面直线所成的角的定义，,可知AB与DD1成直角,因此,运用知识强化练习,1垂直于同一条直线的两条直线是否平行？,2在正方体中，找出与直线,垂直的棱，并指出它们与直线,的位置关系,创设情境兴趣导入,如
13、图所示，检验一根圆木柱和板面是否垂直工人师傅的做法是，,把直角尺的一条直角边放在板面上，看曲尺的另一条直角边是否和圆,木柱吻合，然后把直角尺换个位置，照样再检查一次（应当注意，直角,尺与板面的交线，在两次检查中不能为同一条,直线）如果两次检查，圆木柱都能和直角尺,的直角边完全吻合，就判定圆木柱和板面垂直,动脑思考探索新知,直线与平面垂直的判定方法：,如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那,么这条直线与这个平面垂直,巩固知识典型例题,例2 长方体ABCD-A1B1C1D1中（如图），直线AA1与平,面ABCD垂直吗？为什么？,解因为长方体ABCD-A1B1C1D1中，,侧面ABB1A1
14、、AA1D1D都是长方形，,所以AA1AB，AA1AD,且AB和AD是平面ABCD内的两条相交直线,由直线与平面垂直的判定定理知，,直线AA1平面ABCD,动脑思考探索新知,在实际生活中，我们采用如图所示的,“合页型折纸”检验直线与平面垂直，就是,直线与平面垂直方法的应用,创设情境兴趣导入,观察道路边的电线杆可以发现它们都垂直于地面，并且,这些电线杆是平行的这一事实启发我们得出直线与平面垂,直的性质,动脑思考探索新知,直线和平面垂直的性质：,垂直于同一个平面的两条直线互相平行,如果两条平行直线中的一条垂直于一个,平面，那么另一条也垂直于这个平面吗？为,什么？,巩固知识典型例题,直线AE与CD交
15、于点E,在直角三角形ACE中，因为AEBD5 cm，,CECDDECDAB8+4=12（cm），,所以 AC,运用知识强化练习,1一根旗杆AB高8 m，它的顶端A挂两条10 m的绳子，拉紧绳子并把它们的两个下端固定在地面上的C、D两点，并使点C、D与旗杆脚B不共线，如果C、D与B的距离都是6 m，那么是否可以判定旗杆AB与地面垂直，为什么？,创设情境兴趣导入,两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么称这两个平面,画表示两个互相垂直平面的图形时，一般将两个平行四边形的一组,对边画成垂直的位置，可以把直立的平面画成矩形（图（1），也可以,把直立的平面画成平行四边形（图（2）,创设情境兴趣导入
16、,建筑工人在砌墙时，把线的一端系一个铅锤，另一端用砖压在墙壁,面上（如图），观察系有铅锤的线与墙面是否紧贴（在铅锤处应有一空,隙），即判断所砌墙面是否经过地面的垂线，以此保证所砌的墙面与地,面垂直,动脑思考探索新知,平面与平面垂直的判定方法：,一个平面经过另一个平面的垂线则两个平面垂直,巩固知识典型例题,例4 在正方体ABCD-A1B1C1D1（如图）中，判断平面B1AC与,平面B1BDD1是否垂直,解 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，,B1B平面ABCD，所以BB1AC，,在底面正方形ABCD中，BDAC，,因此AC平面BB1D1D，,因为AC在平面 内，,所以平面 与平面 垂直,创设
17、情境兴趣导入,与底面ABCD的关系,动脑思考探索新知,平面与平面垂直的性质：,如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直,巩固知识典型例题,例5如图所示，平面平面，AC在平面内，,且ACAB，BD在平面内，且BDAB，AC12 cm，,AB3 cm，BD4 cm求CD的长,又由于BDAB，所以在直角三角形ABD中，,故 AD5（cm）,因此CAAD,在直角三角形ACD中，,故 CD13（cm）,运用知识强化练习,2如图所示，检查工件相邻的两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边,卡在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动一下，观察尺边是,否和这个面密合就可以了，为什么？,
18、直线与平面垂直的判定方法：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直 直线和平面垂直的性质：垂直于同一个平面的两条直线互相平行,.,理论升华整体建构,自我反思目标检测,9.4 圆柱、锥、球及其简单组合体,教学目标（1）了解圆柱、圆锥、球的结构特征；（2）掌握圆柱、圆锥、球的面积和体积计算；（3）培养学生的观察能力，数值计算能力及计算工具使用技能.,创设情境兴趣导入,以矩形的一边所在直线为旋转轴旋转，观察其余各边旋转一周所,形成的几何体,动脑思考探索新知,动脑思考探索新知,观察圆柱(图964)，可以得到圆柱的下列性质（证明略）：,(1)圆柱的两个底面是半径相等的圆，
19、且互相平行；,(2)圆柱的母线平行且相等，并且等于圆柱的高；,(3)平行于底面的截面是与底面半径相等的圆；,(4)轴截面是宽为底面的直径、长为圆柱的高的矩形,动脑思考探索新知,圆柱的侧面积、全面积（表面积）、及体积的计算公式如下：,其中r为底面半径，h为圆柱的高,巩固知识典型例题,解 由于底面半径为1cm，所以,解得圆柱的高为,（cm）,所以圆锥的全面积为,创设情境兴趣导入,以直角三角形的一条直角边为旋转轴进行旋转，观察旋转一周所形成的几何体,动脑思考探索新知,以直角三角形的一条直角边为旋转轴旋转一周，其余各边旋转而形成的曲面（或平面）所围成的几何体叫做圆锥(如图)旋转轴叫做圆锥的轴另一条直角
20、边旋转而成的圆面叫做底面斜边旋转而成的曲面叫做侧面，无论旋转到什么位置，斜边都叫做侧面的母线母线与轴的交点叫做顶点顶点到底面的距离叫做圆锥的高,圆锥用表示轴的字母表示如图所示的,圆锥表示为圆锥SO,动脑思考探索新知,观察圆锥，可以得到圆锥的下列性质(证明略)：,(1)平行于底面的截面是圆；,(2)顶点与底面圆周上任意一点的距离都相等，且等于母线的长度；,(3)轴截面为等腰三角形，其底边上的高等于圆锥的高,圆锥的侧面积、全面积（表面积）及体积的计算公式如下：,其中r为底面半径，l为母线长，h圆锥的高,巩固知识典型例题,例4 已知圆锥的母线的长为 2 cm，圆锥的高为 1 cm，求该圆锥的体积,解
21、 由图知,故圆锥的体积为,创设情境兴趣导入,半圆以其直径所在的直线为旋转轴进行旋转，观察旋转一周所,形成的几何体,动脑思考探索新知,以半圆的直径所在的直线为旋转轴旋转一周,所形成的曲面叫做球面（如图）球面围成的几何体叫做球体，简称球.半圆的圆心叫做球心，半圆的半径叫做球的半径经常用表示球心的字母来表示球，如图中所示的球记作球O,动脑思考探索新知,如图所示，用平面去截球，观察截面的图形,由实验可以得到球的如下性质（证明略）：,球的截面是圆面，并且球心与截面圆心的连线垂直于截面.,设球心到截面的距离为d，球的半径为R，截面上圆的半径为r（如图），则,经过球心的平面截球面所得的圆叫做球的大圆此时d=
22、0，r=R，截得的圆,半径最大不经过球心的平面截球面所得的圆叫做球的小圆,动脑思考探索新知,把地球近似地看作一个球时，经线就是球面上从北极到南极的半个大圆；,赤道是一个大圆，其余的纬线都是小圆如左图所示,经过球面上两点的大圆在这两点间的一段劣弧（指不超过半个大圆的弧）,的长度就是A、B,两点的球面距离.飞,的长度叫做两点的球,面距离它是球面上,这两点之间最短连线,的长度，右图的劣弧,机、轮船都是尽可能以大圆弧为两点间的航线航行的.,动脑思考探索新知,球的表面积与体积的计算公式如下：,其中，R为球的半径,巩固知识典型例题,例5 球的大圆周长是80 cm，求这个球的表面积与体积各为多,少？（保留4
23、个有效数字）,解 设球的半径为R，则大圆周长为,因为,所以,运用知识强化练习,的宽度作为水桶的高求这个水桶的容积（保留4个有效数字）,2已知圆锥的底面半径为 2 cm，高为 2 cm，求这个圆锥的体积（保,留4个有效数字）,巩固知识典型例题,例6一个金属屋分为上、下两部分，如图所示，下部分是一个柱体，高为2 m，底面为正方形，边长为5 m，上部分是一个锥体，它的底面与柱体的底面相同，高为3 m，金属屋的体积、屋顶的侧面积各为多少(精确到0.01m2)？,解金属顶的体积为,=75(m3).,金属屋顶的侧面积为,39.05(m2).,巩固知识典型例题,例 7如图所示，学生小王设计的邮筒是由直径为0
24、.6 m的半球与底面直径为0.6 m，高为1 m的圆柱组合成的几何体求邮筒的表面积（不含其底部，且投信口略计，精确到0.01m2),解邮筒顶部半球面的面积为,邮筒下部圆柱的侧面积为,所以邮筒的表面积约为,0.565+1.885=2.45(m2),运用知识强化练习,1.如图所示，混凝土桥桩是由正四棱柱与正四棱锥组合而成的几何体，已知正四棱柱的底面边长为5 m，高为10 m，正四棱锥的高为4 m求这根桥桩约需多少混凝土（精确到0.01 t）？（混凝土的密度为2.25 tm3）,2如图所示，一个铸铁零件，是由半个圆柱与一个正四棱柱组合成的几何体，圆柱的底面直径与高均为2 cm，正四棱柱底面边长为2 cm、侧棱为3 cm求该零件的重量（铁的比重约7.4 gcm3）（精确到0.1 g）,理论升华整体建构,自我反思目标检测,
