完整版“多次相遇问题”解题技巧.docx

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1、“多次相遇问题”解题技巧“多次相遇”问题有直线型和环型两种模型。相对来讲，直线型更加复杂。环型可是 单纯的周期问题。一、直线型直线型多次相遇问题宏观上分“两岸型”和“单岸型”两种。“两岸型”是指甲、乙两人 从路的两端同时出发相向而行；“单岸型”是指甲、乙两人从路的一端同时出发同向而行。（一）两岸型两岸型甲、乙两人相遇分两种情况，能够是迎面碰头相遇，也能够是反面追及相遇。 题意若是没有明确说明是哪一种相遇，对两种情况均应做出思虑。1、迎面碰头相遇：以以下图，甲、乙两人从A、B两地同时相向而行，第一次迎面相遇在a处，（为清楚表 示两人走的行程，将两人的路线分开画出）则共走了 1个全程，到达对岸b后

2、两人转向第二 次迎面相遇在c处，共走了3个全程，则从第一次相遇到第二次相遇走过的行程是第一次相遇 的2倍。此后的每次相遇都多走了 2个全程。所以第三次相遇共走了 5个全程，依次类推得出: 第n次相遇两人走的行程和为（2n-1）S，S为全程。而第二次相遇多走的行程是第一次相遇的 2倍，分开看每个人都是2倍关系，经常能够 用这个2倍关系解题。即对于甲和乙而言从 a到c走过的行程是从起点到a的2倍。相遇次数全程个数再走全程数1 112 323 524 72n 2n-122、反面追及相遇与迎面相遇似，反面相遇同是甲、乙两人从A、B两地同出，以下，此可假全程4份，甲1分走1份，乙1分走5份。第一次反面追

3、及相遇在a，再1分，两人在b迎面相遇，到第3分，甲走3份，乙走15份，两人在c相遇。我能够察，第 一次反面相遇，两人的行程差是1个全程，第二次反面相遇，两人的行程差3个全程。同第二次相遇多走的行程是第一次相遇的2倍，看每个人多走的路程也是第一次的2倍。依次推，得：第n次反面追及相遇两人的行程差（2n-1）S。（二）岸型岸型是两人同从一端出，与两岸型相似，岸型也有迎面碰相遇和反面追及相遇两种 情况。1、迎面碰头相遇:以以下图，假设甲、乙两人同时从A端出发，假设全程为3份，甲每分钟走2份，乙每分 钟走4份，则甲乙第一次迎面相遇在a处，此时甲走了2份，乙走了 4份，再过1分钟，甲共 走了 4份，乙共

4、走了 8份，在b处迎面相遇，则第二次相遇多走的跟第一次相遇同样，依次 类推，可得出：当第n次碰头相遇时，两人的行程和为2ns。2、反面追及相遇与迎面相遇相似，假设全程为3份，甲每分钟走1份，乙每分钟走7份，则第一次反面相 遇在a处，2分钟后甲走了 2份，乙走了 14份，两人在b处相遇。第一次相遇，两人走的行 程差为2S，第二次相遇两人走的行程差为4S，依次类推，能够得出：当第n次追及相遇时， 两人的行程差为2ns。甲1I“直线型”总结（熟记） 两岸型：第n次迎面碰头相遇，两人的行程和是（2n-1）S。第n次反面追及相遇，两人的行程差是（2n-1）S。 单岸型：第n次迎面碰头相遇，两人的行程和为

5、2ns。第n次反面追及相遇，两人的行程差为2ns。下面列出几种今后可能会考到的直线型多次相遇问题常有的模型：模型一 :依照2倍关系求AB两地的距离。【例1】甲、乙两人在A、B两地间往返闲步，甲从 A，乙从B同时出发，第一次相遇点距B60米，当乙从A处返回时走了 10米第二次与甲相遇。A、B相距多少米？A、150 B 、170 C 、180 D 、200【答案及剖析】B。以以下图，第一次相遇在a处，第二次相遇在b处，aB的距离为60，Ab 的距离为10。以乙为研究对象，依照2倍关系，乙从a到A，再到b共走了第一次相遇的2倍， 即为60 X2=120米，Ab为10，则Aa的距离为120-10=11

6、0米，则AB距离为110+60=170 米。模型二:告诉两人的速度和给准时间，求相遇次数。【例2】甲、乙两人在长30米的泳池内游泳，甲每分钟游37.5米，乙每分钟游52.5米。两人同时分别从泳池的两端出发，触壁后原路返回，如是往返。若是不计转向的时间，则从出发开始计算的1分50秒内两人共相遇多少次？A 、2B 、3 C 、4D 、5【答案及剖析】B。目没是迎面是反面所以两种相遇的次数都算。分开，如是是迎面相遇，走的全程的个数n次，走的全程110* 37.5+52.56C2n-1=5，求得n=3 ；若是是反面相遇，走的全程数二个，依照迎面相遇110-30_，故在1分50秒内525-37 尸60不

7、能够反面相遇。所以共相遇3次。模型三:告两人的速度和任意两次迎面相遇的距离求AB两地的距离。【例3】甲、乙两分从A、B两地同出，在A、B不断往返行。甲每小行20千米，乙每小行50千米，已知两第10次与第18次迎面相遇的地点相距60千米，A、B相距多少千米？A、95 B 、100 C 、105D 、110【答案及剖析】C。走同样 内，甲乙走的行程比20 : 50=2 : 5。将全程看作7份，第一次相遇走1个全程，甲走2份，乙走5份。以甲研究 象（也能够以乙），第10次迎面相遇走 的全程数2 X 10-1=19个，甲走1个全程走2份，走19个全程可走19 X 2=38份。7份是一个 全程，38份共

8、有38 ：7=5T份（当商是偶数从甲的一端数，0也是偶数;当商是奇数 从乙的一 端数，比方第1个全程在乙的一端，第2个全程在甲的一端）从乙端数3份。同应该第18次相遇，甲走的份数（2 X18-1）X 2=70份。共有70 ：7=10个全程，10偶数在甲的端点。以下：甲乙A !j111B13W千米。第10次相遇与第18次相遇共有4份60千米，所以AB 2., / - u4点：于定任意两次的距离，主若是依照速度化全程的份数，找一个研究象，看在相遇次数内走的全程数，从而化份数，尔后依照一个全程的份数，将研究象走的份数 去掉全程的个数看节余的份数，注意由全程的个数决定节余的份数从哪一端数。【例4】甲、

9、乙两分从A、B两地同出，在 A、B不断往返行。甲每小行45千米，乙每小行 36千米，已知两第 2次与第3次迎面相遇的地点相距 40千米，A、B相距多少千米？A、90 B 、180 C 、270D 、110【答案及剖析】A。法一：同上。同样，甲、乙行程比45 ：36=5 ：4，将全程分成9份。一个全程 甲走5份，乙走4份。以甲研究 象，第2次相遇，走的全程数2 X 2-1=3个，甲走的份数3 X 5=15份，一个全程9份，第2次相遇甲走的份数化全程的个数15 : 9=1 -6份，从乙端数6份。第3次相遇走的份数（2 X3-1）X 5=25份，化 全程的个数25 ：9=27,从甲端数7份。以下：甲

10、a|_LJ1I白由第2次和第3次相遇之共有 4份40千米，AB相距 , =90千米。法二：在此引入“沙漏模型”。利用沙漏模型解的前提是干中已知两人的速度。将速度化同样行程的条件下两人的比，以刻度，画出两人到达岸的路，两人走的路订 交的点即两人相遇的地点。s-t中的路因像古代 的沙漏故称“沙漏模型”。本中，甲、乙走到端点用的 比36 ：45=4 ：5。以下：(sj 2 a B 8 IC 121416S-t依照路线图看出甲乙第2次相遇和第3次相遇的交点E和O,依照三角形相似，可得CE:EG=3:6=1:2，则求得第2次相遇距A地的比率为S/3，同理DO:ON=7 : 2，则第3次相遇 距A地的比率

11、为7S/9，则两次相遇比率为 为4。-千米则S=90千米。939谈论：考生若是能掌握“沙漏”模型，则会直观快速的提高解题速度。用交点判断是迎面相遇还是反面相遇的技巧：看订交的两条线是由同一岸引出还是两岸，同一岸则说明是反 面相遇，不同样岸则说明是迎面相遇。用时注意：一般题干涉及到的相遇次数较少时可画，相遇次数太多，则会开销大量时间， 不利于提高速度；画时的单位刻度要看时间比，若是时间比中的数据较大可把刻度画大。（模型四:告诉两人的速度，相遇次数较少时，利用s-t图形成“沙漏”模型速解。【例5】A、B两地相距950米。甲、乙两人同时由A地出发往返锻炼半小时。甲步行，每分钟走40米；乙跑步，每分钟

12、行150米。则甲、乙二人第几次迎面相遇时距 B地近来。A、1 B 、2 C 、3D 、4【答案及剖析】B。利用“沙漏模型”。甲乙走到端点用的时间比为150 : 40=15 : 4，半小时两人共走的全程数为1- !个。对于单岸型，相遇6个全程，则是迎面40+150第三次相遇（由前边公式推出）画出 s-t图：3E（甲为安蛛，乙为虚就）25_L时5） 源10151Q 15A 、48B 、50、52D 、54S-t观察上图可知，可第3次迎面相遇的过程中，甲乙有一次反面相遇（交点由同一点引出）。而在三次迎面相遇中第2次相遇离B地近来，并且可依照三角形相似求出离 B地的距离。【例6】河流赛道长120米，水

13、流速度为2米/秒，甲船静水速度为6米/秒，乙船静水速度为4米/秒。比赛进行两次往返，甲、乙同时从起点出发，先顺水航行，问多少秒后甲、 乙船第二次迎面相遇？【答案及剖析】C。由题知，得出以下关系:顺水逆流甲8 (15)4 (30)乙6 (20 )2 (60 )注：（）中为走完好程的时间。假设A到B是顺水，由上表可知甲、乙两人第2次迎面相遇共有4个全程。由于甲的速 度快，则第2次相遇前甲已走了 2个全程。共15+30=45秒。当第45秒时乙走了一个顺水全程20秒和25秒的逆流，走的行程为25 X 2=50米，则在节余的70米内，甲乙分别以顺水和 逆流相遇时间为t,则有70= （8+2 ） X t,

14、求得t=7秒，则共用时间45+7=52秒。A#本题同样可用“沙漏模型”解决。依照上表中的速度关系，可得出一个全程时的时间 关系以下：顺水逆流甲36乙412依照时间的关系，得出s-t图像，以下:甲（击0 乙（12】6 8 J0 12 14 16 18 204m 6 8 10 114 16 1B 30甲口）a 如科（甲为实隙,乙为虚靖，观察上图，可看出第二次迎面相遇在 P点，以甲为研究对象计算时间，此时甲走了一个顺水，一个逆流，别的EP段为顺水，依照三角形相似可求出走EP用的时间EP:PN=EF:MN=7:8，由上表，求出走EP用的时间为.,，则甲共走的时间为15+30+7=52。7 + 8、环型

15、环型主要分两种情况，一种是甲、乙两人同地同时反向迎面相遇（不能能反面相遇）， 一种是甲、乙两人同地同时同向反面追及相遇（不能能迎面相遇）。分开谈论以下：（一）甲、乙两人从 A地同时反向出发：以以下图，一个周长分成4份，假设甲是顺时针每分钟走1份到B，乙是逆时针每分钟走3 份到B，则第一次相遇两人走了 1个周长，则再过1分仲，甲再走1份到C，同样乙走3份也到 C，则第二次相遇共走了 2个周长，依次类推，可得出：第n次迎面相遇共走了 n圈。乙&甲（二）甲、乙两人从A地同时同向出发：以以下图，全程分成4份。假设甲、乙两人都是顺时针同时出发，甲每分钟走1份，乙每 分钟走5份，则1分钟后两人在B处第一次

16、反面追及相遇，两人走的行程差为1个周长。再 过1分钟后，甲到C处，乙也到C处，两人第二次反面追及相遇，多走的行程差同样为一个 周长，依次类推，能够得出：第n次反面追及相遇，行程差为n圈。甲B环型多次相遇问题相比较较简单，当甲、乙不在同一地点出发时相对拥有难度。比方在直 径两端出发。考生可经过下面的例题掌握。【例1】老张和老王两个人在周长为 400米的圆形池塘边闲步。老张每分钟走 9米，老王每分钟走16米。现在两个人从同一点反方向行走，那么出发后多少分钟他们第三次相遇？A、33B、45C 、48D 、56【答案及剖析】C。第一次迎面相遇时间为400 ：( 9+16 ) =16，则第三次迎面相遇时

17、间为16 X 3=48。【例2】小明、小亮从400米环形跑道的同一点出发，背向而行。当他们第一次相遇时，小明转身往回跑；再次相遇时，小亮转身往回跑；今后的每次相遇分别是小明和小亮两人交替调转方向，小明速度3米/秒，小亮速度5米/秒，则在两人第30次相遇时小明共跑了多少米？A、11250 B 、11350 C 、11420 D 、11480【答案及剖析】A。由题意知，第1次是迎面相遇，第2次是反面追及相遇，此后都是迎面与 反面相遇交替。则在30次相遇中，迎面相遇15次，反面相遇15次。迎面相遇一次用时为 400 ：( 3+5 ) =50，反面相遇一次用时为400 ：( 5-3 ) =200，则3

18、0次相遇共用时为15 X( 50+200 ) =3750s，则小时在这段时间里跑的行程为 3750 X3=11250米。【例3】甲、乙两人分别从一圆形场所的直径两端点同时开始以匀速按相反方向绕此圆形路线运动，当乙走了 100米今后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处又第二次相遇，则这个圆形场所的周长为多少米？A 、320B 、360 C 、420 D 、480【答案及剖析】D。以以下图，假设甲、乙分别在直径A、B两端以顺时针和逆时针运动。第1 次相遇在C点距B点100米，第2次相遇在D点，距A点60甲A 耐针xfi Zi逆时针当在直径端点两岸行走时，可将环型转变成直线型，则第2次相遇每个人走的路都是第1次相遇的2倍。以乙为研究对象，则从 C到D走的路是B到C的2倍，即200米，因AD 为60米，则CA为200-60=140米，所以半个周长为100+140=240米，周长为240 X 2=480 米.总结对于多次相遇问题，要有意识的培养上述几种模型的解题技巧，特别是直线型的多次 相遇问题，对于给定两者速度的题目，且相遇次数较少时能熟练运用“沙漏模型”解题， 可直观有效地提高解题的速度。对于环型，不像直线型那么复杂，注意办理好相遇次数， 是迎面还是追及相遇，运用公式可快速解题。