定量资料的统计描述.docx

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1、第四章定量资料的统计描述通过调查或实验收集到资料之后，需要对资料进行统计分析。统计分析包括 统计描述和统计推断两个方面的内容。统计描述就是对数据包含的信息加以整 理、概括和浓缩，用适当的统计图表和统计指标来表达资料的特征或规律，统计 描述也是统计推断的基础。本章介绍定量资料(quantitative data)的统计描述。第一节频数分布表与频数分布图一、频数分布表从医学实践中收集到的大量资料，如果只是简单地罗列一连串的数据，不容 易看出其中蕴涵的信息和规律，所以需要进行分组整理，以便能用简明扼要的形 式来全面反映资料的特点。分组整理就是根据研究的目的，将数据按照某种标准 (标志)划分成不同的组

2、别，统计不同组别内的观察值个数。不同组别的观察值个 数就称为频数(frequence)，表示观察值在各组出现的频繁程度。将分组的标志和 相应的频数列表，即为频数分布表，简称频数表(frequency table)。不同类型的定 量变量可以制作不同分组形式的频数表。(一) 离散型定量变量的频数表例4.1某市2005年进行学生体质评价，抽样调查了 102名高中男生引体向 上完成次数的情况，根据该资料制作频数表。本次调查资料“引体向上完成次数”是离散型定量变量，所以按变量的取值 (次数)为单位分组，再列出各组的频数，如表4.1的第(1)，(2)栏，就能得到相应 的频数表。将各组的频数除以总频数所得的

3、值称为频率，见第(3)栏。某组的累 计频数是该组与前面各组频数之和，见第(4)栏。显然，第一组的累计频数等于 其频数，最后一组的累计频数等于总例数；累计频数除以总频数所得的值称为累 计频率，见第(5)栏。表4.1 2005年某市102名高中男生引体向上完成次数的频数分布完成次数(1)频数f(2)频率()(3)累计频数(4)累计频率()(5)232.9432.94376.86109.8041615.692625.4953332.355957.8462423.538381.3771413.739795.10843.9210199.02910.98102100.00合计102100.00(二) 连续

4、型定量变量的频数表例4.2在某市2005年进行的小学生体质评价研究中，测定了 12 0名9岁男孩 的肺活量(L),资料如下，根据该资料制作频数表。1.7061.3261.6321.8762.1611.6841.5331.1751.8671.6762.0911.8471.2131.2770.9892.2351.6651.2891.7241.5481.6081.8901.7331.7961.2031.7361.4501.6331.5551.3521.8321.4441.7371.4591.4501.7821.5551.6341.5082.3431.5091.7451.9531.7441.6951.

5、7071.9011.8251.5972.3381.7081.7111.8561.6441.7161.9781.5341.9001.5951.6461.9051.6101.6141.4222.3012.1271.3481.3171.0621.8301.9801.5701.4951.8642.1702.0001.7051.8631.4242.0222.0681.5761.8331.6592.2121.3992.1281.5431.5621.3821.2911.7961.6471.4151.8730.9961.9361.5261.4241.5891.6701.0561.9691.4812.4062.

6、1231.9881.5121.0301.8861.9301.7251.3741.6541.6631.4381.6451.2141.1841.735“肺活量”是连续型定量变量，需要按变量的取值范围划分成几个区间，每个区间称为一个组段，用各组段与对应的频数列表，即得到频数表。编制连续型定量变量频数表的过程为：1.求全距(range):全距又称为极差，是全部数据中最大值与最小值之差，用符号A表示，本例的全距R = 2.406 - 0.989 = 1.417(L)2.划分组段确定组数：分组的目的是反映数据分布的特征，因此组数应适中。若组数 太多，数据的分布过于分散，难以显示出频数分布的规律性，并有可能

7、出现某 些组内频数为0的情况；若组数过少，可能丢失重要的细节信息，不能充分体 现资料的分布特征。组数的多少与观察值的个数有关，一般当观察值的个数 在50以下时可分5到8组，在50以上时可分9到15组，实际运用时应根据分析的 要求，灵活确定组数。本例n为120，拟分11组。确定组距：等距分组时，组距=R/组数，为便于计算，组距可适当取整。 本例组距=1.417/11 = 0.129，故可取0.130为组距。确定各组段的上下限：确定组数和组距后，要使每一个观察值都有组可归， 同时又要使每一个观察值只能归属于某一组，这就要求合理地设置各组段的上 下限。每个组段的起点称为该组的下限(lower lim

8、it)，终点称为该组的上限 (upper limit)，上限=下限+组距。在确定第一个组段时，其下限可取一个小于 最小观察值的数，例如，本例取0.980为第一组下限，加上组距0.13 0即为第二 组下限，依次类推，直到最末一组。为表示各组段均为半开半闭区间(下限为 闭区间，上限为开区间)，除最末一组外，一般只写出下限。3.统计各组段频数：采用计算机汇总或用手工划记法，得到各组段内的 观察值个数即频数，划记时为避免重复计数，对于刚好等于某一组段上限的观 察值要算在下一组段内。将各组段与相应频数列表，如表4.2的第(1)、(2)栏， 即得到频数表。表4.2 2005年某市120名9岁男孩肺活量(L

9、)频数分布组段(1)频数(f)(2)频率()(3)累计频数(4)累计频率()(5)0.98054.1754.171.11054.17108.331.24075.831714.171.3701411.673125.831.5001915.835041.671.6302924.177965.831.7601512.509478.331.8901210.0010688.332.02065.0011293.332.15043.3311696.672.2802.41043.33120100.00合计120100.00一般采用等距分组，但某些情况下，采用不等距分组更能反映现象的本质和特点。例如，进行人群疾

10、病研究的年龄分组，为客观反映婴儿、幼儿和成年人疾 病发生情况的特点，应采用不等距分组，可采取1岁以下按月分组，19岁按岁 分组，10岁以后按每5岁或10岁分组等。二、频数分布图用图形的方法能够直观形象地表达频数分布的信息，并可与频数表互为补 充。连续型定量变量的频数表可绘制成直方图。一般情况下，绘图时以横轴表示 观察变量(组距)，以纵轴表示频数。用表4.2资料绘制的直方图如图4.1所示。图4.1 2005年某市120名9岁男孩肺活量频数分布频数分布表和频数分布图的主要用途是：1. 揭示频数分布的特征 从频数分布表和频数分布图可以看出频数分布的两 个重要特征：集中趋势(central tende

11、ncy)和离散趋势(dispersion tendency)。集中趋 势是指一组数据向某一个位置聚集或集中的倾向，离散程度则反映的是一组数据 的分散性或变异度，即各个数据离开集中位置的程度。如从表4.2和图4.1可见120 名9岁男孩的肺活量大多数集中在中央部分，即中等肺活量者居多；从中央部分 到两侧的频数分布逐渐减少，即少数人具有较大或较小的肺活量，则表现了肺活 量分布的离散趋势。2. 揭示频数分布的类型根据频数分布的特征可以将资料的分布分成对称型 和不对称型两种类型。对称型的分布是指集中位置在中间，左右两侧的频数大致 对称的分布，如表4.2和图4.1所示。不对称型的分布是指频数分布不对称，

12、集中 位置偏向一侧，有时也称之为偏态分布。若集中位置偏向数值小的一侧(左侧)， 称为正偏态(positive skew)，如图4.2所示；若集中位置偏向数值大的一侧(右侧)， 称为负偏态(negative skew)，如图4.3所示。用频数分布表和频数分布图揭示频数 分布的类型和特征，便于选用适当的统计方法。图4.2 2004年我国麻疹患者的年龄分布第二节集中位置的描述利用频数分布表和频数分布图，可以使我们对数据的分布有一个直观的认 识，为了进一步掌握数据分布的规律，还需要用统计指标从数量上准确地反映数 据分布的特征。平均数(average)是描述定量变量集中为使的特征值，用来说明数 据的平均

13、水平，它反映了一组资料的“一般”、“大多数”、“平常”等情况。 平均数是一类统计指标的统称，在医学领域中常用的平均数有均数、几何均数和 中位数。一、均数均数(mean)是算术均数(arithmetic mean)的简称，用于描述一组同质定量资料 的平均水平。统计学中常用希腊字母表示总体均数，用r表示样本均数。（一）样本均数的计算1. 直接法将所有的原始观察值直接相加后，再除以观察值的个数乃，即又=X + + Xn _Z Xnn(4.1)式中，为求和符号。例4.3利用例4.2的120名9岁男孩的肺活量资料，用直接法计算平均肺活量。-1.706 + 2.091 + +1.735200.683120

14、X = 1.672(L)1202.加权法（weight method）当资料中相同观察值较多时，将各相同观察值的个数（即频数*）与该观察值乂的乘积相加，以代替原始观察值相加，再除以观察值 的总个数，即(4.2)X fX + + fX基 fX 一 f1+广一在式（4.2）中，如果某个观察值的频数愈大，则该观察值对X的影响愈大，因 此频数又称为权数，计算出来的均数又称加权均数。如果只有频数表资料，因为不知道组段内的每个实际观察值，可以用组中值 作为该组段观察值的代表值，再用加权法求均数，组中值_ （下限+上限）/2。例 如，对2005年某市120名9岁男孩的肺活量资料，利用表4.2求均数为:-5

15、x 1.045 + . . . + 4 x 2.345 200.800X _ 1.673(L)5 + . + 4120结果与直接法计算结果很接近。频数表资料使用组中值代替实际观察值的条 件是假定各组数据在组内是均匀取值的，如不符合此条件，其误差会较大。（二）均数的特性1.各观察值与均数之差（离均差）的总和等于零。即 （X - X） _ 0。2.各观察值的离均差平方和最小。即 （X - X ）2 0，计算出结果后再还原，即G = G- k。3. 观察值若同时有正、负值，可将所有观察值加上一个常数k，使x + k 0， 计算出结果后再还原，即G = G- - k。观察值若全是负值，计算时可先将负号

16、去 掉，得出结果后再加上负号。三、中位数中位数(median )是一个位置指标，它是将一组观察值按大小顺序排列后位次 居中的数值，因此，在全部观察值中，大于和小于中位数的观察值个数相等。样 本中位数用M表示。(一) 中位数的计算1 .直接法M = X心 ，当n为奇数时(4.6)(4.7)M = (X + X )/2 ，当为偶数时勺(2+1)式中，X 、X 、X为有序数列中相应位次上的观察值。一+1nn(2 )W(2+1)例4.6为研究燃煤型砷中毒患者体内砷负荷状况，某医学院对17名燃煤型 砷中毒患者进行了发砷含量(曜/g)测定，结果为：1.61、1.91、2.24、2.24、2.30、2.60

17、、2.84、3.15、3.33、3.75、3.75、3.75、3.81、4.42、6.42、6.42、14.76，试 求其平均含量。为避免数据中极端值的影响，应计算中位数。本例2为奇数，按式(4.6)：M = X = X = 3.33(pg/g)胃)9例4.7在前述17名燃煤型砷中毒患者发砷含量的基础上，又测得1名燃煤型 砷中毒患者的发砷含量为15.39曜/g，求这18名燃煤型砷中毒患者发砷含量的中 位数。本例2为偶数，按式(4.7)：18(2)2.频数表法(4.8)M = L +上(2 x 50% Z f )M式中，Lm为中位数所在组段下限；i为组距；fM为中位数所在组段的频数；Z fL 为

18、中位数所在组段前一组的累计频数。由于中位数的位次居中，故累计频率刚好 大于50%的组即为中位数所在组。例4.8为研究乳腺癌患者术后康复期生存质量的状况，某医院对219名术后 康复期乳腺癌患者进行了生存质量测定，结果如表4.4，求平均评分。由表4.4可见资料呈负偏态分布，不宜使用均数，可用中位数求其平均评分。表4.4 219名乳腺癌患者康复期生存质量评分评分频数累计频数累计频率()0220.9130-241.8340-373.205011188.2260304821.9270-6311150.68806017178.089010048219100.00M = L +上（n x 50%-I f ）

19、 = 70 + 10（219 x 50% - 48） = 79.76（分） m fML 63（二）中位数的应用1. 中位数可用于各种分布的资料，在正态分布资料中，中位数等于均数， 在对数正态分布资料中，中位数等于几何均数。2. 中位数不受极端值的影响，因此，实际工作中主要用于不对称分布类型 的资料、两端无确切值或分布不明确的资料。第三节离散程度的描述集中位置只反映了分布的一个特征，各观察值之间的变异程度（离散程度）如 何也必须了解，只有将两者结合起来才能全面反映资料的分布规律。例4.9某医学院用自编生存质量量表测得三组同年龄、同性别中年知识分子的躯体功能维度得分，资料如下：甲组88910111

20、212乙组56810121415丙组125101518193组的例数都是7例，均数和中位数都是10分，但凭直观就可以发现三组数据 变异的程度是不相同的，这在分析资料时须加以考虑。描述离散程度的常用指标有极差、四分位数间距、方差、标准差和变异系数。一、极差和四分位数间距（一）极差极差（range）也称全距，即全部数据中最大值与最小值之差，用符号R表示。 极差大，说明变异程度大；反之说明变异程度小。例4.10计算例4.9中三组中年知识分子躯体功能维度得分的极差：甲组R = 12 8 = 4（分）乙组R = 15 - 5 = 10（分）丙组R = 19 -1 = 18（分）甲组数据的离散程度最小，丙

21、组数据的离散程度最大，乙组居中。极差是最简单但又较粗略的变异指标，可用于各种分布的资料，但它只涉及两个极端值，没有利用全部数据的信息，不能反映组内其他观察值的变异。同时 由于样本含量较大时抽到极大值或极小值的可能性较大，人也可能较大，故极差 一般常用于描述单峰对称分布小样本资料的离散程度，或用于初步了解资料的变 异程度；当样本含量相差较大时，不宜用极差来比较资料的离散程度。(二)四分位数间距尤尤中位数。百分位数的计算方法有：1.百分位数(percentile)是指将观察值从小到大排列后处于第x百分位置上 的数值，用符号表示为Px。百分位数将全部数据分成两部分，有x%的数据小 于p，有(100-

22、x)%的数据大于P，因此百分位数是一个位置指标，其中P50为(1)直接法(4.9)(4.10)当 nx% = INT(nx%) 时，P = 气叩 淋 )+ *int(淋 )+ix2当 nx% INT(nx%)时，P = %( %) i 式中，INT(nx%) 为n与x%乘积的整数部分。例4.11根据下列资料求某市102名高中男生引体向上次数的第80%位数P (数据已排序)。80244556677244556678245556678345556678345556678345556679345556673455566734555667345556674455566744556677本例 n=102

23、，102x80% = 81.6，nx% INT(nx%)，按式(4.10)得，% = x81 1 = x82 = 6(次)(2)频数表法iPx=L+f (nxfL)(4.11)x式中，、为第工百分位数所在组段下限；i为第工百分位数所在组段的组距；人为 第工百分位数所在组段的频数；】f为第工百分位数所在组段前一组的累计频数。L累计频率刚好大于工的组即为第工百分位数所在组。例4.12用例4.8的资料求219名乳腺癌患者术后康复期生存质量评分的第25%位数P和第75%位数P。1）由表4.4的累计频率可见，第25百分位数所在组为“70”组：P25 = 70 + 63（219 x 25% - 48） =

24、 71.07（分）2）由表4.4的累计频率可见，第75百分位数所在组为“80”组：P75 = 80 + 60（219 x 75% -111） = 88.88（分）2. 四分位数间距 通过P25, P50，P75这3个点将全部观察值等分为四部分，处 于P25和P75分位点上的数值就是四分位数（quartile，简记为Q）。下四分位数即第25 百分位数，用Ql表示，上四分位数即第75百分位数，用Qu表示。四分位数间距 （inter-quartile range）为上、下四分位数之间的差值，即Q - Q。例4.13用例4.8的资料求219名乳腺癌患者术后康复期生存质量评分的四分 位数间距。四分位数间

25、距=Qu -Ql = 88.88-71.07 = 17.81（分）四分位数间距是去除两端各四分之一数据后中间一半观察值的变动范围，其 数值越大，说明观察值分布的离散程度越大。四分位数间距常用于描述偏态分布 资料、两端无确切值或分布不明确资料的离散程度。二、方差与标准差对于单峰对称分布资料，为了全面反映一组资料中每个观察值的变异情况， 需要先寻找一个可供比较的标准，由于均数具有的优良性质（见本章第二节），所 以选择均数作为一组单峰对称分布观察值的代表值，然后衡量每个观察值相对均 数的偏差，构造出综合描述资料离散程度的指标。（一）方差以离均差（X-2表示总体中各观察值的变异，因为】（X 一目）=0

26、，不能达 到反映总离散程度的目的，所以采用离均差平方和（sum of squares）即】（X 一目）2表示总变异程度，如果数据相对于口较集中，则】(X- 口)2较小；如果数据相对于日较分散，则】(X- 口 )2较大。显然，观察值越多，】(X- 口 )2可能越大，为消除观察值个数的影响，对离均差平方和求平均值即得到方差(variance)。总体方 差用b 2表示：(4.12)E( X 一日)2 b 2 =N若方差较大，说明总体中观察值变异程度较大；反之，说明总体中观察值变异程 度较小。在实际工作中往往采用抽样研究，得到的是样本资料，总体均数口未知，可 用样本均数X作为日的估计值，因此样本方差为

27、:-尸X2 缶XS 2 = U X_X )2= Ef(4.13)一1一1式中的(n -1)称为自由度(degree of freedom)，采用自由度作为分母是为了避免用 样本方差估计总体方差时偏小。自由度是允许自由取值的变量值的个数，若在统计数据中受*个条件的限制， 其自由度即为(n - k )。在计算样本方差时，首先要计算离均差、离均差平方和。 一个样本有n个数据，就要有n个离均差，但受到】(X X ) = 0这一个条件的约 束，n个离均差中只有(n -1)个可以自由取值，最后一个离均差受到 E(X X) = 0的限制，不能自由取值，所以自由度为(n-1)。自由度的概念在 以后将经常用到。

28、例4.14用例4.2的资料计算某市120名9岁男孩肺活量的样本方差，已知X = 1.672L，按式(4.13)：=0.089(L2)(1.706 -1.672)2 + (2.091 -1.672)2 + + (1.735-1.672)2120 -1346.203 - 200.6832S 2 =120 = 0.089(L2)120 -1(二)标准差方差的单位是观察值单位的平方，在实际工作中使用不方便，为还原单位， 将方差开平方即得到标准差(standard deviation)o总体标准差用b表示，样本标准差用S表示。计算方法有:1.直接法(4.14)120 -1(4.15)(4.16)(XX)

29、2一1=例4.15用例4.2资料计算某市12 0名9岁男孩肺活量的样本标准差。(1.706-1.672)2 +(2.091-1.672)2 + +(1.735-1.672)21 0.298(L)200.6832346.203120 0.298(L)120 -12. 加权法用于频数表资料。fX 2-( f )2nn 1式中，X为各组段的组中值；/为各组段的频数。例4.16用加权法计算2005年某市120名9岁男孩肺活量的标准差，由表4.2 资料计算组中值X，可得 fX =200.800，2 fX2 346.495 :：346.495 S - 120 0.297(L)120 -1标准差是描述单峰对

30、称分布资料离散程度最常用的指标。标准差大，表示观 察值之间变异程度大，即一组观察值的分布较分散；标准差小，表示观察值之间 变异程度小，即一组观察值的分布较集中。对于经对数变换后呈正态分布或近似 正态分布的资料，应将原始观察值取对数值后计算几何标准差。三、变异系数采用不同计量单位的指标，不能直接用标准差比较其离散程度，有时即使计 量单位相同，在均数相差很大的情况下，数据分布的集中位置相差很远，标准差 的数值大小可能受到平均水平大小的影响，也不宜直接比较。因此，在这些情况 下，应采用变异系数(coefficient of variation)来比较其离散程度。计算方法为：CV = S X100%(

31、4.17)XC一个相对离散指标，由于分子分母单位相同，消掉了单位，同时由于 C计算相对于X的S的大小，从而消除了平均水平不同的影响。常用于：1.比较计量单位不同的几组资料的离散程度例4.17某年某市城区120名5岁女孩身高均数为110.10cm，标准差为5.90cm； 体重均数为17.71kg，标准差为1.44kg，比较身高与体重的离散程度。身高 CV = 9 x 100% = 5.36%110.101 44体重 CV = x 100% = 8.13%17.71可见，该市城区5岁女孩体重的变异大于身高的变异。2.比较均数相差悬殊的几组资料的离散程度例4.18某年某市城区120名5岁女孩体重均数

32、为17.71kg，标准差为1.44kg， 同年该地120名5个月女孩体重均数为7.37kg，标准差为0.77kg，比较其离散程度。1 445岁女孩体重CV = x 100% = 8.13%17.710 775个月女孩体重CV = x 100% = 10.45%7.37可见，该市城区5个月女孩体重的变异大于5岁女孩体重的变异。第四节正态分布及其应用一、正态分布的概念和特征(一)连续型随机变量及其概率分布医学领域中观察或试验的各种可能结果为随机变量，记为X，其特点是每次 试验之前，不能事先确定取什么数值，反复大量观察后，可以发现取值又有一定 的规律性。要全面认识一个随机变量，除了要知道它的可能取值

33、外，还应该知道 它以多大的概率取这些值。随机变量X取各种值的概率的规律称为概率分布规 律，简称分布，是研究随机事物的工具和统计分析的理论基础。正态分布(normal distribution)就是一种重要的连续型随机变量的分布类型。连续型随机变量的取值充满某一区间，无法一一列出它的每一个可能取值，但在某一区间内随机变量取值的概率可通过计算积分获得，被积函数则称为连续 型随机变量的密度函数。如果x为连续型随机变量，其密度函数为f 3），则其分布函数为F （尤）=f （尤）dx，它表示随机变量X取值小于或等于x的概率，3即 P（X x） = F（x）。（二）正态分布的图形正态分布曲线呈对称的钟形，

34、在均数处最高，两侧不断降低，逐渐与横轴接 近，但不会与横轴相交，即以横轴为渐近线。在医学卫生领域中，有许多变量的频数分布是中间频数多，两边频数少，且 左右对称。例如，对本章例4.2所述9岁男孩的肺活量作图，以横轴表示观察变 量，以纵轴表示频率密度（频率密度=频率/组距），即可得到肺活量的频率密度直 方图，其形状与前述的频数分布直方图相似，即高峰位于中部，左右两侧基本对 称。观察的9岁男孩人数逐渐增多，组段不断分细，则频率分布图中的直条逐渐 变窄，就会逐渐形成一条高峰位于中央（均数所在处）、两侧逐渐降低且左右对称、 不与横轴相交的光滑曲线，近似于数学上的正态分布曲线。若变量X的频率曲线 逼近数学

35、上的正态分布曲线，则称该变量服从正态分布（见图4.4）。XX图4.4概率密度曲线示意图（三）正态分布的特征正态分布曲线的密度函数为：=（ x- ）2f （x） = e 2。2一3 x R与X VR范围内曲线下的面积相等，各占50%；曲线 下，区间(R 1.96b, r + 1.96b)内的面积为 95.00%，区间(R 2.58b, r + 2.58b)内 的面积为99.00%，如图4.6所示：图4.6正态曲线下面积的分布规律二、标准正态分布正态分布是一个分布族，对应于不同的参数日和。会产生不同位置、不同形 状的正态分布，不同正态分布的(, x2)范围内的面积也就不同。例如当 卜=0, b=1

36、时，正态曲线下在(1.96, +1.96)范围内的面积为 95%。而当 卜=0, b=1.96时，正态曲线下在(1.96, +1.96)范围内的面积为68.27%。为了 方便应用，进行标准化变换：Z = (4.20)b若X服从正态分布N(jb2)，经此变换后，则Z就服从均数为0，标准差 为1的正态分布N(0, 1)，称为标准正态分布(standard normal distribution)或Z分 布，其密度函数为：3 V z V +3(4.21)1= z2中(z) = = e 2v2k对上式求积分即可得到标准正态变量Z的分布函数1项2(4.22)中(z) = Iz 2= e 2 dz由于积分

37、计算繁琐，统计学家制定了标准正态分布曲线下的面积分布表(附 表2)，查表即可得到正态曲线下(, Z2)范围内的面积，如图4.7所示。Z1 Z 0图4.7查表法求标准正态曲线下面积示意图例4.19 已知七=-1.76，% =-0.25，求标准正态曲线下(1.76, 0.25)范围 内的面积。查附表2,得(8, 1.76)范围内面积以z ) = 0.0392，(8,0.25)范围内1面积Q(z2) = 0.4013，因此(-1.76, -0.25)范围内的面积为：D =(z )(z ) = 0.4013 0.0392 = 0.3621在附表2中仅列出曲线下从-8到z(z 0时，可 利用正态分布的对称性，即中(z) = 1-(z)可求得曲线下任意范围内的面积。例