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1、射影面积法（cos9 = -S影） 原凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积 的都可利用射影面积公式（cos。= 射）求出二面角的大小。S斜例1、如图，在底面是一直角梯形的四棱锥S-ABCD中，ADBC,匕ABC=90, SA平面 ABC, SA=AB=BC=1, 1AD=2 .求面SCD与面SAB所成的角的大小。解法1：可用射影面积法来求，这里只要求出S WD与S sab即可， SCDSAB故所求的二面角。应满足cos 0 =鸟竺2 x *1 匹1 x、Z 32 2例2. （2008北京理）如图，在三棱锥P- ABC中，AC = BC = 2，ZACB =
2、90，AP = BP = AB，PC AC .(I) 求证：PC AB ；(II) 求二面角B - AP - C的大小;解：(I)证略(II). AC = BC , AP = BP, . APC 竺 qPC .又 PC 1 AC , PC 1 BC .又 ZACB = 90，即 AC 1 BC，且 APC = C,. BC 1 平面 PAC .取AP中点E.连结BE, CE .-,-AB = BP , BE 1 AP .EC是BE在平面PAC内的射影，CE 1 AP .ACE是ABE在平面ACP内的射影，于是可求得:AB = BP = AP = -：AC2 + CB2 = 2 巨,BE = A
3、B2 - AE2 = v;6 ,AE = EC = -J2 则 S 射=S = 2 AE CE = 2 v2 /2 = 1,S = S 二一 AE EB 二一 v 2 y 6 =、c3S射S原原mbe 22设二面角B 一 AP 一 C的大小为9 ,则cos9 =二面角B AP C的大小为9 = arccos 练习1：如图5, E为正方体ABCDA1B1C1D1的棱CC1的中点，求平面AB1E和底面A1B1C1D1所成锐角的余弦值.2（答案：所求二面角的余弦值为cos9=w ）.图52.如图一，在四棱锥P- ABCD中，底面ABCD是矩形，PA 1平面ABCD ,AP = AB = 2, BC
4、= 2*2, E, F 分别是 AD, PC 的中点.（1）证明：PC 1平面BEF ； （2）求平面BEF与平面BAP夹角的大小.题（1）解略；题（2）中平面BEF与平面BAP夹角即为平面BEF与平面F BAP所成的锐二面角.a 7 E D方法_:垂面法/在图中找到或作出一个与二面角的两个半平面均垂直的平面，此平面截得的图形便是二面角的平面角.图一-如图一：.PA 1平面ABCD，BC U平面ABCDPA 1 BC.又、BC 1 AB, APA = A BC 1 平面 BAP.又.BC u平面PBC, .平面PBC1平面BAP.由题（1），PC 1平面BEF，PC u平面BEF，平面PBC
5、1平面BEF.所以ZPBF是所求二面角的平面角. PB = PA2 + AB2 = 22, PF =1 PC = AB2 + BC2 + PA222sin ZPBF =史 二笠,ZPBF =-.PB 24一 兀即平面BEF与平面BAP夹角为了.4方法二：平移平面法如果两平行平面同时与第三个平面相交，那么这两个平行平面与第三个平面所成的二面 角相等或互补.利用此结论可以平移某一平面到合适的位置以便作出二面角的平面角.如图二：取BC的中点G，连接FG,EG .E, F 分别是AD, PC 的中点，. EG H AB,FG J PB .卜：E .D又、FEG = G, APB = B ,L图二平面E
6、FG -平面BAP.二二面角B - EF - G的大小就是平面BEF与平面BAP夹角的大小.兀可以证明ZBFG为二面角B - EF -G的平面角，并求出其大小为一. 4方法三：射影法S一利用公式cos。=，其中S表示二面角的一个半平面内某个多边形的面积，S表示 S此多边形在另一个半平面射影的面积，e表示原图形与射影图形所成的二面角.如图三：取PB的中点H，连接FH, AH ,-F 为 PC 中点，FH HBC, AE II BC .由解法一知，BC 1平面BAP,:.FH 1 平面 BAP，AE1 平面 BAP,.点F、E在平面BAP内的射影分别为H、A.：4BEF在平面BAP上的射影为ABA
7、H.可以证明ABEF和ABAH均为直角三角形. HF - BC, AE II BC, HF = BC = 1BC 2四边形HFEA为平行四边形，EF = AE.记平面BEF与平面BAP夹角为。，则cos 0 = mbah =S海F2所以0 = V，即平面BEF与平面BAP夹角为:.443.巳知AABC是正三角形，PA1平面ABC且PA=AB=a，求二面角A-PC-B的大小。思维二面角的大小是由二面角的平面角来度量的，本题可利用三垂线定理（逆）来作 平面角，还可以用射影面积公式或异面直线上两点 间距离公式求二面角的平面角。解1：（三垂线定理法）取AC的中点，连接8，过E做EF?。,连接BF. p
8、a 平面 ABC，PAu 平面 PAC.平面PAC平面ABC,平面PACn平面ABC=AC-BE 1 平面 PAC图1由三垂线定理知BF 1 PCZBFE为二面角A-PC-B的平面角设 PA=1,E为 AC 的中点，BE=m,EF=2i224tan zbfe=竺=*6EF:.ZBFE =argtan 拓解2：（三垂线定理法）取BC的中点E,连接AE，PE过A做AFiPE, FMpPC,连接 FMV. AB=AC,PB=PCXfC. AE i BC,PE i BCAmX 一 冬 CBC i 平面 PAE,BCu 平面 PBC,如 *EB平面PAEi平面PBC,平面PAEn平面PBC=PE由三垂线
9、定理知AM i PC图2/. ZFMA为二面角A-PC-B的平面角设 PA=1, AM=22 ,AF=人富=号Sin 心=加于. zfma =argsil427解3：（投影法）过B作BE AC于E,连结PEpa 1 平面 ABC, PAu 平面 PAC平面PAC 1平面ABC,平面PACn平面ABC=ACBE 1 平面 PACAPEC 是 APBC 在平面PAC上的射影设 PA=1则 PB=PC= 2 ,AB=1APEC4APBC4由射影面积公式得， COSQ = apec =L ,.0 = arg cos S 77APBC4.在单位正方体 ABCD - ABCD 中，1111求二面角 A -
10、 AC-B 的度数。A.一、三垂线法利用三垂线定理或逆定理构造出二面 角的平面角，进而求解。解法一.作AO 1 AC,取AB的中点M ,1连结OM.AM .AM 1 AB1AM 1BCn AM 1 平面ABCiABBC=B1由三垂线逆定理知OM1AC.OM为所求二面角A - A1C -B的平面角在RUAAC中1AO - B .生-国AC AC 3i i:.sinAOM =鲍=AO二射影法利用斜面面积和射影面积的关系:S S- cose斜面平面角)直接求解。解法二、取AC的中点G，连结BGBG1 ACBG1AA1n BG 1 平面徵。AAAi = A1AAi鬼在平面AiAC上的射影为 AiCS一互SRAC2(e为斜面与射影所成二面角的aAGCRA-jAG244由%gc= Sr.* - *1. . cos 2从而二面角A - AC - B的大小为60
