工程力学课程第6章.docx

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1、第6章教学方案拉伸、压缩与剪切轴向拉伸、压缩的概念和内力分析轴向拉伸和压缩时横截面上的应力基材料拉伸和压缩时的力学性能本失效、安全因数和强度计算内轴向拉伸和压缩时的变形容拉伸和压缩的简单静不定问题剪切与挤压的实用计算1、掌握用截面法计算拉、压杆的内力，画内力图。2、掌握拉、压杆的截面上应力分析。教3、理解材料在拉压时的变形、应力、破坏等的特性。子 曰4、熟练掌握拉、压杆的的强度计算。曰5、熟练掌握拉、压杆的的变形计算及胡克定律。的6、了解拉、压杆的简单静不定问题。7、掌握剪切和挤压的实用计算。重点拉、压杆的强度计算；拉、压杆的的变形计算。难点第6章拉伸、压缩与剪切6.1轴向拉伸、压缩的概念和内

2、力分析6.1.1轴向拉伸和压缩的工程实例在生产实践中经常遇到承受拉伸或压缩的杆件。例如，图6.1（a）所示的简单吊物装 置的两根杆件，图6.2（b）所示的螺杆等。图6.16.1.2轴向拉伸和压缩的特点轴向拉伸和压缩杆件的计算简图如图6.2所示，从图中可看出当一个杆件发生轴向拉伸 和压缩变形时具有如下特点：图6.2受力特点：外力作用线沿杆轴线方向且与轴线重合。变形特点：杆件变形是沿轴线的方向伸长或缩短，横向的缩短或伸长。6.1.3轴向拉伸和压缩时横截面上的内力截面法求内力：图6.3（a）所示为一受轴向拉伸的直杆，在横 截面m-m处将杆截为两段，取 左段为研究对象，如图6.3（b）所 示。由左段的

3、平衡条件可知，该截 面上分布内力的合力必为一个与 杆件轴线重合的轴向力Fn，且有Fn = F，七称为轴力。若取右图6.3段部分研究，如图6.3 （c）,则由作用力与反作用力原理知，右段截面的轴力与左段的轴力 大小相等，方向相反。符号规定：为了使取左段和右段所得同一截面上的轴力不但数值相等，而且具有相 同的正、负号，对轴力F正负号做如下规定：当轴力沿横截面外法线方向时，杆件的变形 N为轴向伸长，轴力F为正，称为拉力；当轴力沿横截面内法线方向时，杆件的变形为轴向 N压缩，轴力fn为负，称为压力。轴力图：当杆件受到多个轴向外力作用时，在不同的横截面上，轴力将不相同。为 了较直观地表示各横截面上的轴力

4、，常用轴力图来表示。即用平行于杆件轴线的坐标表示横 截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上轴力的数值，从而绘出表示轴力与截面位 置关系的图线，称为轴力图。画轴力图时，有时不需要画出坐标轴，只需标明正、负号即可。 【例6-1】试画出图6.4（a）所示杆的轴力图。已知F1 = 80kN,F2 = 50kN, F3 = 30kN。Q I - 图6.4解：（1）先求约束反力FA。以整个杆研究，受力如图6.4（a），列平静方程Z X = 0,-FA + F - F + F3 = 0得FA = F- F2 + F3 = 80 - 50 + 30 = 60kN（2）以力作用点作为分界点，将杆分为AB、

5、BC和CD三段，逐段计算轴力。先将杆沿横截面1-1截开，取左段（图6.4（b）列平衡方程Z X = 0,-FA + Fni = 0得 Fn1 = Fa = 60kN结果为正，轴力均为拉力。显然，在AB段各横截面上的轴力都相同，均为60kN的拉力。再将杆沿横截面2-2截开，取其左段（图6.4 （c）列平衡方程Z X = 0,-FA+ F + F = 0得 Fn2 = FA - F1 = 60 - 80 = -20kN结果为负，说明实际指向与假设的指向相反，指向横截面，故轴力Fn2为压力。最后将杆再沿横截面3-3截开，仍取左段（图6.4（d）列平衡方程Z X = 0,-FA + F - F + F

6、n3 = 0得 Fn3 = FA - F + F2 = 60 - 80 + 50 = 30kNFn3为正是拉力。（3）绘轴力图如图6.4（e）所示。本题可以不必先求出约束反力，而直接由右向左逐段求轴力，较上述求解过程简便。由此题可看出，在画一个杆件某横截面的轴力时，在不知道轴力为拉力还是压力的情 况下，首先假定轴力为拉力，即为正的。这样计算出的结果的正负号就是所规定的符号。【例6-2】图6.5（a）所示为一厂房的柱子，由两段等直杆组成。柱受屋架的载荷p = 1000kN和两边吊车的载荷尸2=80kN的作用。求柱在横截面1-1和2-2上的轴力，并作轴力图。图6.5解：（1）求柱子所受的约束反力，

7、见图6.5（b）所示，由 Z Y = 0 得 F = P1 + 2P = 260kN ；（2）求轴力求横截面1-1处的轴力时，沿1-1处截开，取上段研究，如图6.5（c），列平衡方程Z Y = 0 得 Fn1 = P1 = 100kN图中轴力假设为压力，所求结果虽然是正值，但应是负值；求横截面2-2处的轴力时，沿2-2处截开，取上段研究，如图6.5（d），列平衡方程S Y = 0 得 Fn2 = P1 + 2P= 260kN同前面一样，是压力，取负值。当然也可取其下段研究，如图6.25（e），列平衡方程S Y = 0 得 Fn2 = F = 260kN。（3）画柱子轴力图。如图6.5（f）。6

8、.2轴向拉伸和压缩时横截面上的应力根据截面法求解各个截面上的轴力后，讨论拉压杆横截面上的应力。6.2.1变形现象和平面假设为了研究轴向拉伸和压缩时杆件横截面上的应力现做如下实验。取一等直杆，实验前在其表面上画出许多纵向线和横向线，如图6.6（a）所示。然后在 杆的两端加一对轴向拉力F，使杆发生轴向拉伸变形。观察变形现象可以发现，变形后所 有的纵向线仍为平行于轴线的直线，且相邻横向线间的纵向线伸长都相等；所有的横向线仍 为垂直于轴线的直线，如图6.6（b）所示。由表及里，可以想象内部变形也是这样。于是， 我们可做如下平面假设：变形前的横截面，在变形后仍保持为平面，且仍垂直于轴线。平面 假设是材料

9、力学的一个重要假设。6.2.2应力分布规律相邻两横截面间的各纵向线伸长变形相同。根据连续均匀性假设，同一种性质的材料， 产生相同变形的受力必相等，即应力是均匀分布的，且垂直于横截面，如图6.6（c）所示。所以，在轴向拉伸和压缩杆件的横截面上只存在正应力，且正应力是均匀分布的。6.2.3应力计算公式根据内力和应力的关系，横截面上轴力等于横截面上均匀分布的应力的合力，于是可得F = j odA = oAN Ao = N（6-1）A式中，。为横截面上的正应力，FN为横截面上的轴力，A为横截面面积。根据轴力的正负号，当轴力为拉力时，正应力为拉应力，也是正的；当轴力为压力时， 正应力为压应力，也是负的。

10、【例6-3】起吊三角架如图6.7（a）所示，已知AB杆由2根截面面积为10.86cm 2的角钢制成，(a)(b)F = 130kN,a = 30。求杆AB横截面上的应力。图6.7解：（1）计算AB杆内力。取支点A为研究对象如图6.7（b），由平衡条件 Y = 0，得Fnab = 2 F = 260kN (拉力)计算。ab。Q= Fnab = 一260 乂103一 X10-6 = 119.7MPaAB A10.86 X 2 X10-46.3材料拉伸和压缩时的力学性能材料的力学性能是指材料在外力作用下所呈现的有关强度和变形方面的特性。研究材 料的力学性能的目的是确定材料在变形和破坏情况下的一些力学

11、性能指标，作为选用材料， 计算材料强度、刚度的依据。材料的力学性能通过实验方法确定。6.3.1材料拉伸时的力学性能.拉伸试验常温静载下的拉伸试验是研究材料力学性能的常用基本试验。国家标准规定的金属材 料标准圆试件如图6.8（a）所示。在试件中间等直部分取一段长度为/的测量长度，称为标 距。标距l和直径d有两种比例l = 5d或l = 10d，而对矩形截面，标距l与横截面面积A的比例为l = 11.3、. A或l = 5.65温A，如图6.8（b）所示。图6.8将拉伸试样装夹在试验机上，开动机器，使试件受到从零开始缓慢渐增的拉力F，于 是在试件标距l内产生相应的变形AZ，把试验过程中的拉力F与对

12、应的变形M绘制成 F -Al曲线，称为拉伸图。拉伸图与试样的尺寸有关，为了消除试样尺寸的影响，把拉力F 除以试样的横截面的原面积A，得出正应力b，同时，把伸长量Al除以标距的原始长度l， 得到应变。以b为纵坐标，8为横坐标，作出表示b与的关系图，称为应力一应变图 或b-8图。低碳钢在拉伸时的力学性能低碳钢是工程上广泛使用的材料，其力学性质具有典型性。图6.9所示为低碳钢拉伸时 的b-曲线。低碳钢的b-曲线可分为下列几个阶段。（1）弹性阶段（ob段）在开始拉伸直至a点阶段，应力b与应变 是成正比的。其极限位置。点对应的应力值称为比例极限，记为b p。它是应力与应变成正比的最大值。在这一阶段，应力

13、与应变的关系可写成 等式： b= E （6-2） 该式称为拉压胡克定律。式中，E为与材料有关的比例常数，称为弹性模量。在应力一应变曲线上，当应力继续增加到b点时，曲线不再是直线，而呈微弯。在应力 小于b点的应力值时，其变形是可以恢复的，即应力解除之后应变随之消失，这种变形称为 弹性变形。b点对应的应力be是发生弹性变形的极限值，称为弹性极限，它是材料只产生 弹性变形的最大应力。由于一般材料的。、b两点相当接近，工程中对比例极限和弹性极限 并不严格区分。（2）屈服阶段（bc/段）当应力超过弹性极限后，b-曲线上出现一段接近水平线的微小波动线段，变形显著 增长而应力几乎不变，材料暂时失去抵抗变形的

14、能力，这种现象称为屈服（或流动）。在b- 曲线上c点所对应的应力值是屈服阶段的最小值称为屈服极限，记为bs。bs是衡量材料强 度的重要指标。在这一阶段，材料主要产生塑性变形，所谓塑性变形是指载荷（应力）卸去后不能消失的变形，又称残余变形。对于表面光滑的试件，在屈服时会由于金属材料内部晶格之间产 生相对滑动而在其表面上出现许多与轴线大致成45的条纹，这些条纹称为滑移线。如图6.10所示。图 6.10图 6.11（3）强化阶段（c/d段）过了屈服阶段后，材料又恢复了抵抗变形的能力，要使它继续变形必须增加拉力。这 种现象称为材料的强化。强化阶段的最高点d所对应的应力值是材料所能承受的最大应力， 称为

15、强度极限。记为bb。bb表示材料所能承受的最大应力，也是衡量材料强度的重要指标。强化阶段的变形大部分也是塑性变形，同时试件的横向尺寸明显缩小。（4）局部变形阶段（de段）应力达到强度极限后，在试件某一局部区域内，截面横向尺寸急剧缩小，形成颈缩现 象（图6.11）。由于颈缩部分的横截面面积迅速减少，使试件继续伸长所需要的拉力也相应 减少。最后试件在颈缩处被拉断。试件被拉断后，弹性变形消失，塑性变形被保留了下来。常用下述两个指标来度量材 料的塑性性能。设试样拉断后的标距长度加1，原始长度加，则定义8=卜1 x 100%（6-3）V为材料的延伸率或伸长率。设试样的原始横截面面积为A，拉断后颈缩处的最

16、小截面面积为A 1，则定义9 = A 气 x 100%（6-4）A为材料的断面收缩率。材料的延伸率和断面收缩率越大，说明材料塑性越好。工程上通常按延伸率的大小把 材料分为两类：8 5%为塑性材料；8 5%为脆性材料。对于低碳钢，其塑性指标约为：8 = 20%30%，9 = 60%。（5）卸载定律与冷作硬化如在强化阶段的某点f处给试样缓慢卸载，则应力与应变沿直线foi变化，且斜直线fo大致与oa平行（图6-8）。上述规律称为卸载定律。拉力完全卸除后，OO代表消失了 11 2的弹性应变，而OO1表示不能消失的塑性应变。若卸载后在短期内再次加载，则。与8大致沿卸载时的斜直线o1f变化，到f点后又 按

17、fde变化。可见在再次加载时，与第一次加载的京-曲线相比，弹性极限提高了，但塑 性变形降低了，过d点后才开始出现塑性变形。这种现象称为冷作硬化。工程中常用冷作硬化来提高某些构件或零件的弹性承载能力。如起重钢索、钢筋等。 其它塑性材料拉伸时的力学性能图6.12所示为16Mn钢与黄铜等金属材料的应力-应变图。可以看出，有些材料如16Mn 钢与低碳钢类似，有明显的4个阶段。有些材料，如黄铜，没有明显的屈服阶段。但它们断 裂时均产生较大的残余变形，均属于塑性材料。对于不存在明显屈服阶段的塑性材料，通常以产生0.2%的残余应变时所对应的应力值如图6.13所示。作为屈服极限，以。表示，称为条件屈服极限，铸

18、铁拉伸时的力学性能铸铁也是工程中广泛应用的一种材料。铸铁 拉伸时的。-曲线如图6.14所示。从图中可以 看出，铸铁拉伸的。-曲线呈微弯状，不再服 从胡克定律。而且在没有明显的变形情况下就被 拉断，是典型的脆性材料。由于铸铁拉伸时不服从胡克定律，工程上常 用。-曲线的割线来代替图中曲线的开始部 分，并以割线的斜率作为铸铁的弹性模量，称为 割线弹性模量。铸铁拉断时的最大应力即为强度极限。因为 没有屈服现象，强度极限。b是衡量强度的唯一 指标。铸铁等脆性材料的抗拉强度很低，所以不图 6.14宜作为抗拉构件的材料。6.3.豺料在压缩时的力学性能金属的压缩试样一般制成很短的圆柱，以免被压弯。圆柱高度与直

19、径的关系为 h = (1.53)d。混凝土、石料等则制成立方体形的试块。低碳钢压缩时的力学性能取低碳钢制成的试样放于试验机上，在缓慢加压的情况下可得低碳钢压缩时的。-曲线，如图6.15(a)实线所示，虚线表示拉伸时的。-曲线。在屈服阶段以前两曲线重合，即低碳钢压缩时的 弹性模量E与屈服极限 。s都与拉伸时相同。由 于低碳钢的塑性好，在 屈服阶段后，试件愈压 愈扁，不会出现断裂， 如图6.15(b)所示，因 此不存在抗压强度极 限。铸铁压缩时的力学性能取铸铁试样做试验得到如图6.16(a)所示的。-曲线。铸铁压缩时，没有明显的直 线部分，也不存在屈服极限。随着压力增加，试件略成鼓形，最后在很小的

20、变形下突然断裂，破坏断面与横截面大致成45。55。倾角，如图6.16(b)所示。这说明破坏主要与切应力有关。铸铁的抗压强度极限。bc与其抗拉强度。b的关系为b加=(35)bb。其它脆性材料， 抗压强度也远高于抗拉强度。可见，脆性材料抗压不抗拉。脆性材料的压缩试验比拉伸试验 更为重要。图 6.166.4失效、安全因数和强度计算6.4.1强度失效的概念由于各种原因使结构丧失其正常工作能力的现象，称为失效。对于脆性材料制成的构件， 当应力达到强度极限b b (或b bc)时，就会发生脆性断裂。而对于塑性材料制成的构件，当应力达到屈服极限b时，杆件会出现显著的塑性变形而影响正常工作。所以，断裂和屈 s

21、服都是构件强度失效的形式。6.4.2安全因数和许用应力材料失效时的应力称为材料的极限应力，用。表示。对于塑性材料，以屈服极限作为 u极限应力；对于脆性材料，以强度极限b作为极限应力。b对构件进行强度计算时，必须有适当的强度安全储备，将材料的极限应力匕除以大于1的因数n，于是得到许用应力L，即（6-5）n称为安全因数。许用应力是一定材料制成的构件可以达到的最大容许工作应力。安全因数的选定关系到构件的安全性与经济性。确定安全因数时，一般应考虑：载荷 估计的准确性；简化过程和计算方法的精确性；材料的均匀性；构件的重要性；构 件的工作条件及使用寿命等几方面的因素。一般情况下，塑性材料n取1.252.5

22、脆性材料n取2.55.，0甚至更大。6.4.3强度条件、三类强度计算问题为了保证拉（压）杆在工作时不发生强度失效，需使最大工作应力小于等于许用应力， 以此可建立强度条件为：（6-6）b lb式中，b max为构件内的最大工作应力。对于等截面拉（压）杆，强度条件可转化为bmaxN max bA（6-7）根据上述的强度条件，可以解决以下三种类型的强度计算问题:强度校核已知外力大小（由此可知轴力Fn）、横截面面积A和拉（压）杆材料的许用应力，可 求出杆上最大应力，用强度条件（6-7）式校核构件是否满足强度要求。设计截面已知构件所受的外力和所用材料的许用应力，按强度条件设计构件所需的横截面面积 A。此

23、时，可将（6-7）式改写为由此可算出构件所需的横截面面积。确定许用载荷已知构件的横截面面积和材料的许用应力，可按强度条件（6-7）式确定构件所能承受 的最大轴力。此时，可将式（6-7）改写为F n =4 度80 x 106由此求出d 0.0122m最后将活塞杆的直径取为d = 0.012m = 12mm【例6-6】图6.19(a)所示结构，AB为刚性杆，1、2两杆为钢杆，横截面面积分别为 q = 300mm2，A2 = 200mm2，材料的许用应力C = 160MPa。试求结构许可载荷。图 6.19解：(1)计算轴力 取刚性杆AB进行受力分析，如图6.18(b)所示。由平衡条件可求得 两杆轴力

24、FN1, FN2与载荷F间的关系为F = 3 F, F = 1FN1 4 N2 4(2)确定许可载荷1杆满足强度条件时，其轴力4=x 48 = 64kN 3Fn1 lcA1 = 160 x 300 = 48kN满足此条件的载荷F4F3 N12杆满足强度条件时，其轴力Fn2 tr A2 = 160 x 200 = 32kN满足此条件的载荷F 4Fn2 = 4 x 32 = 128kN要保证结构的安全，需要同时满足1、2两杆的强度，则应选取上列两个F值中的较小 值，所以许可载荷悠=64kN。6.5轴向拉伸和压缩时的变形6.5. 纵向变形、胡克定律图6.20所示等直杆受轴向拉力F作用，设杆的原长为l

25、，横截面面积为A。变形后杆长变为l，杆的轴向伸长为1M = l -11由于轴向拉（压）杆沿轴向的变形均匀，因此任一点的纵向线应变相等，且为杆的变形 量Al除以原长l，即M = 一l当杆横截面上的应力不超过比例极限时，由前述的胡克定律。=E，得（6-8）Al = FlEA式（6-8）的关系也称为胡克定律。此式表明，当应力不超过比例极限时，杆件的伸长Al与 轴力Fn和杆长l成正比，与横截面积A及弹性模量E成反比。EA称为抗拉（压）刚度。图 6.206.5. 横向变形、泊松比若杆件变形前的横向尺寸为力，受轴向拉伸后变为b （图6-20），杆件横向缩短为Ab = bi -b，于是横向线应变Abb 一

26、bb b试验结果表明，当拉（压）杆件横截面上的应力不超过材料的比例极限时，横向应变 /与纵向应变比值的绝对值为一常数。这一比值称为横向变形系数或泊松比，通常用以表示，(6-9a)由于横向应变8 /与纵向应变8的变形方向始终相反，式（6-9a）又可写成8 / =*（6-9b）泊松比以也与弹性模量E一样，是一个反映材料的力学性质的量。【例6-7】图6.21所示变截面杆，已知BD段横截面面积A = 2cm2，AD段横截面面积 1A2 = 4cm2。材料的弹性模量E = 120 x 103MPa，受载荷匕=5kN和F2 = 10kN作用。试计算AB杆的伸长量MAB。图 6.21解：内力计算用截面法分别

27、求得BD，DC,CA三段轴力FN1，FN2, FN3为F = -5kN，N1FN2 = -5kN，FN3 = 5kN（2）变形计算 根据式（6-8）计算各段的变形Ml= MlBD 1事=-5x 103 x0.5=-1.05x 10-4mEA1120 x 109 x 2 x 10-4Ml= MlDC 2EA2-5 x 103 x 0.5120 x 109 x 4 x 10-4=-0.52 x 10 - 4 mMl= MlCA 3EA35 x 103 x 0.5120 x 109 x 4 x 10-4=0.52 x 10-4 m（3）计算杆的变形Ml = Ml + Ml + Ml = -1.05

28、x 10 -4 mMlAB的负号说明此杆缩短。【例6-8】图6.22（a）所示支架，AB和AC两杆均为钢杆，弹性模量与=E2 = 200GPa， 两杆的横截面面积分别为A1 = 200mm2,A2 = 250mm2 , AB杆长11= 2m ,载荷 F = 10kN。试求节点A的位移。图 6.22解：在载荷作用下，AB杆和AC杆发生变形，从而引起节点A的位移。所以应先求出两杆 的内力，并计算其变形，再由两杆变形求节点的位移。（1）内力计算 以节点A为研究对象，设AB、AC杆的轴力分别为七,Fn2，均为拉力， 如图6.22（b）所示。列出平衡方程S X = 0,Fn2 + Fni cos30。=

29、 0Sy = 0,F sin30。- F = 0N1解得两杆的轴力分别为：F = 2 F = 20kNN1F =-F cos30。= -20cos30。= -17.3kN N2 N1计算结果表明杆AB受拉，AC杆受压。（2）变形计算 AB杆的轴向伸长量也=FJ=20 x 103 x 2000 = 1 0nim1 = E1A 200 x 103 x 200 = . mmAC 杆长l = l cos30。= 2cos30。= 1.73m，轴向缩短量I = FA = -17.3 x 103 x 1730 = -0.6mm2 E2A2200 x 103 x 250由计算结果可以看出两杆的变形量和杆的原

30、长度相比甚小，是小变形。（3） 节点A的位移设想在A点将支架拆开，AB杆伸长后为A1B，AC杆缩短后为A2C，如图6.22 （c）所示。A点位移后的新位置是以B点为圆心，BA1为半径的圆弧和 以C点圆心，色为半径的圆弧的交点。因为变形很小，上述两个圆弧可近似用其切线（分 别垂直于直线BA1和CA2）代替，两条切线的交点A /即为节点A的新位置，AA/为节点A的位移。节点A的水平位移A = AA = |A/ I = 0.6mm节点A的垂直位移A = AA = AE + EA =1 +2V 33 sin 30。 tan 30。=3.0mm1.00.6+ sin 30。 tan 30。所以，节点A位

31、移AA = 4 + A2 = 3.62 + 3.02 = 3.06mm、H V6.6拉伸和压缩的简单静不定问题6.6. 拉压静不定的概念结构的约束反力或构件的内力等未知力用平衡方程就能确定的问题称为静定问题。例如 图6.23(a)所示由两根杆构成的桁架为一静定问题。单凭平衡方程不能解出全部未知力的 问题称为静不定问题，也称为超静定问题。如图6.23(b)所示由三根杆构成的桁架，未知 轴力为3个，平面汇交力系独立平衡方程只有2个。这种由拉压杆构成的静不定问题，称为 拉压静不定。图 6.23未知力的数目多于能建立的独立平衡方程的数目。两者的差称为静不定次数或超静定次 数。图6.23(b)所示桁架为

32、一次静不定。6.6.2拉压静不定问题的解法以图6.23(b)所示结构为例，说明静不定问题的求解方法。设1、2两杆的抗拉刚度为EA，杆3的抗拉刚度为EA 3，a、F、l均为已知。求三杆的轴力。取节点A研究S X = 0F sim F sinx = 0受力如图6.230所示，列平衡方程F coX + F coX + F F = 0N1N2N3除了以上平衡方程外，还必须建立一个补充方程。各杆受力变形后仍保持整体结构。 因此，这些变形之间必存在相互制约的条件，称为变形协调条件。再考虑到变形与力之间的 物理关系，就可根据变形协调条件建立起反映有关各力之间关系的补充方程。由于1、2两杆的抗拉刚度相同，结构

33、对称，节点A垂直地移动到A/ (图6.24(c),位 移AA/也就是杆3的伸长A/3 (图6.24(d)。由于三杆在受力变形后，下端仍应铰接在A/点，所以1、2两杆的伸长量Al1、Al2与杆3的伸长量A匕之间有关系Al = Al = Al cos a这就是变形几何方程。图 6.24再由拉压胡克定律，可知杆1、3的轴力与变形之间的关系为Al _ FQ1 _ F1 L/cosa1 EA _ EAAlFN3lE3 A3将其代入变形几何关系方程后，得到补充方程为N1n3 cos a EA cos a E A结合静力平衡方程可解得FN1 FN2 F2 cos + 气气EA cos2 aFN3F1 c e

34、A1 + 2cos 3 aE3 A3由这些结果可以看出，在静不定结构中，各杆的轴力与该杆刚度和其他杆的刚度比有关。 刚度越大的杆，其轴力也越大。一般静不定问题的解法为：（1）进行受力分析，建立平衡方程。（2）根据变形满足的条件，建立变形几何方程。（3）根据胡克定律建立物理方程。（4）联立求解平衡方程以及（2）和（3）所建立的补充方程，求出未知力。【例6-9】图6.25（a）所示刚性结构，用两根等截面等长度同材料的拉杆和铰链A安装于支 座上，载荷F = 160kN。若许用应力ln=160MPa，试求拉杆所需截面的面积。（2）变形几何关系 由图可知即 A = 2M 2（3）物理关系两杆变形均为伸长

35、，轴力为拉力，于是图 6.25解：（1）静力平衡关系取刚性结构研究，受力如图6.25（b）所示，为平面任意力系，应 有3个独立的平衡方程，除两杆内力外，支座人处有2个反力七和尸心，所以是一次静不 定问题。列平衡方程Z M人二0，得FN1 X 2.4 + Fn2 X 1.2 - F X 6 = 0刚性结构受力后，将绕A点旋转，整个结构变形如图6.25（c）所示。A7 F ll = N2 22 2l =N111 E A11根据变形几何关系和物理关系可得补充方程F lF lN11 = 2N-2 E AE 2 A2由题意知E = E ,A = A ,l =l。上式成为1212 12FN1 = 2 FN

36、2代入平衡方程，得FN1 = 2 F, Fn2 = F(4) 确定各杆截面面积A由式(6-7)可得F2 F 2 x 160 x 103 mZ -fN1 = = 2 x 10-3 m2laJlaJ160 x 106=1 x 10-3m2F F160 x 103-tN1 = tJ= 160x 106按题意两杆面积应为：A = A = 2 x 10 -3 m2 = 20cm 26.7剪切与挤压的实用计算6.7.1剪切与挤压的概念工程中经常要用到联接件，例如图6.26(a)所示联接钢板的铆钉、图6.26(b)所示齿 轮和轴之间的键联接、图6.26(c)所示木结构中的隼联接等。联接件受外力作用时将产生变

37、形。以图6.26(a)所示的板与板通过铆钉联接的方式为 例，铆钉的受力如图6.27(a)所示。在铆钉的两侧面上受到大小相等、方向相反，作用线 相距很近的两组分布外力系的作用。铆钉在这样的外力作用下，将沿外力分界面发生相对错 动。这种变形形式称为剪切。发生剪切变形的截面m-m，称为剪切面。联接件除了发生 剪切破坏之外，在传递压力的接触表面上还发生局部的承压现象，称为挤压。联接件与被联 接件相互挤压的接触面称为挤压面。图 6.266.7.2剪切的实用计算图6.26(a)所示的联接铆钉 常工作，应进行强度计算。联接件一般都不是细长杆件，当作用的外力过大时，将沿剪切面被剪断。为保证其正加之受力和变形都

38、比较复杂，要从理论上计算往往非常 困难。在工程实际中，常常根据联接件的实际使用和破坏情况，进行简化计算，这种简化计 算方法称为实用计算。为了分析铆钉的剪切强度，先利用截面法求出剪切面上的内力，如图6.27(b)所示。在剪切面上，分布内力的合力称为剪力，用fq表示。在剪切面上，切应力T的分布情况比较复杂。在实用计算中，假设切应力在剪切面上 均匀分布，则剪切面上的切应力为（6-10FT = QAQ图 6.27式中Aq为剪切面面积。由平衡条件可知，Fq = F于是，剪切强度条件为式中，1为许用切应力，其值由实验测得。6.7.挤压的实用计算仍以图6.26(a)所示联接为例，结合图6.28(a)可见，当

39、压力过大时，在铆钉和钢板接 触处的局部区域将产生塑性变形或压溃，发生挤压破坏，从而使联接件失效。（b）图 6.28我们把挤压面上的压力称为挤压力，用表示，挤压力引起的应力称为挤压应力，用 bs表示。挤压应力在挤压面上的分布很复杂，钢板与铆钉之间的挤压应力在挤压面上的分 布大致如图6.28(b)所示。从图中可见，挤压应力的分布是不均匀的。工程实际常采用实 用计算的方法求得名义挤压应力，公式为bs= bs（6-12）bs式中，人机称为挤压面计算面积。若接触面为平面，则人机即为接 触面面积；若接触面为圆柱表面，则Abs为圆柱的直径平面面积。如铆钉联接，其挤压计算面积应为Abs= dh （如图6.2寡

40、为了防止挤压破坏，保证联接件能安全可靠地工作，联接件还应满足挤压强度条件。b = - =二=1.5 x 10-4m2E60 x 106, 兀-而A = -d 2，于是d =竺 ：4x1.5x10-4 = 1.382x 10-2m = 1 3.8mm冗，兀（2）按挤压强度校核 销轴的挤压面面积A =赤d，挤压应力为bsb =二=F =18 x 103= 81.5MPa 卜bs Ab25d 2 x 8 x 10-3 x 13.8 x 10-3bs可见当d = 13.8mm时，也满足挤压强度条件。查机械设计手册，最后采用d = 15mm 的标准圆柱销。【例6-11】用四个铆钉来联接两块钢板，如图6.

41、31(a)所示。钢板与铆钉的材料相同，铆钉直径d = 16mm，钢板的尺寸为b = 100mm,8= 10mm, F = 90kN，铆钉的许用应力曰=120MPa, tbJ= 300MPa，钢板的许用应力=160MPa。试校核铆钉接头的强度。图 6.31解：本题需校核接头的三种破坏强度(1) 铆钉的剪切强度 因为铆钉是对称布置，故可假设每一铆钉承受F/4力，即铆钉受剪 面上的剪力Fq = 90/4 = 22.5kN切应力F22.5 x 103口t = Q = 112MPa Y k% 兀 x 162/4(2) 铆钉的挤压强度因为铆钉与钢板的材料相同，故只需校核铆钉或钢板的挤压强度t =二=22 x 103 = 141MPa y t bs A16 x 10bs(3) 钢板的拉伸强度 钢板的受力及其轴力图如图6.31(c). (d所示。显然对1-1截面应 进行强度校核。截面2-2的轴力虽比截面1-1小，但2-2截面被两个钉孔所削弱，所以对2-2 截面也应作强度校核。F90 x 103t= 1 0 M P a t J1- 1 (b - d )8 (100 -16) x 103F/490x 103 x3/4Jt = = 99.3M P a tJ2- 2 (b - 2d )8