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1、,中值定理和导数的应用,习题课,一、微分中值定理及其应用,1.微分中值定理及其相互关系,罗尔定理,柯西中值定理,2.微分中值定理的主要应用,(1)研究函数或导数的性态,(2)证明恒等式或不等式,(3)证明有关中值问题的结论,3.有关中值问题的解题方法,利用逆向思维,设辅助函数.,一般解题方法:,证明含一个中值的等式或根的存在,(2)若结论中涉及到含中值的两个不同函数,(3)若结论中含两个或两个以上的中值,可用原函数法找辅助函数.,多用罗尔定理,可考虑用,柯西中值定理.,必须多次应用,中值定理.,(4)若已知条件中含高阶导数,多考虑用泰勒公式,(5)若结论为不等式,要注意适当放大或缩小的技巧.,
2、有时也可考虑对导数用中值定理.,例1.设函数,在,内可导,且,证明,在,内有界.,证:取点,再取异于,的点,对,为端点的区间上用拉氏中值定理,得,(定数),可见对任意,即得所证.,例2.设,在,内可导,且,证明至少存在一点,使,上连续,在,证:问题转化为证,设辅助函数,显然,在 0,1 上满足罗尔定理条件,故至,使,即有,少存在一点,例3,证,由介值定理,注意到,由,有,+,得,例 4,二、洛必达法则,用洛必达法则求未定式极限应注意什么？,2o.及时求出已定式的极限.,1o.先做无穷小代换.,用洛必达法则求未定式极限应注意什么？,3o.需要先验证条件.,.,应该怎么做？,.,解：,.,例1,例
3、2,解：,.,.,三、导数的应用,1会判别函数单调性、凹凸性。能利用函数的单调性做证明题.2.熟练掌握求函数极值(确定极大还是极小)和最值以及拐点的方法.3.求给定函数的竖直渐近线及斜渐近线.4.会做y=f(x)的图形.5熟悉常用的克劳林公式,定理,1 函数单调性的判定法,2.求函数极值和最值,求极值的步骤：,(1)求函数的所有驻点和导数不存在的点；,求a,b上连续函数f(x)的最值的步骤：,(1)求函数的所有驻点和导数不存在的点；,(2)把 f(x)在这些点的值与f(a),f(b)比较，最大者为最大值，最小者 为最小值。,注：若连续函数f(x)在区间 I 内有唯一的极值点。则极大值就是最大值；极小值就是最小值。,3计算函数凹凸区间,方法1:,方法2:,3 计算函数拐点方法,.,4.给定函数 y=f(x),求其竖直渐近线及斜渐近线。,.,.,.,.,.,.,5.常用,马克劳林公式：,2m-1阶,2m阶,.,.,.,5.常用马克劳林公式：,.,.,.,.,例1,例2,例3,例4,例1.,证毕.,.,例2,解：,.,.,.,.,例3,解：,x,y,(,0),(,+),(0,+),.,.,(,+),例4,解,奇函数,列表如下:,极大值,拐点,极小值,作图,
