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1、例.,求旋转抛物面,与平面,之间的最短距离.,解：,设,为抛物面,上任一点，,则 P,的距离为,问题归结为,约束条件:,目标函数:,作拉氏函数,到平面,9 复习与习题课,令,解此方程组得唯一驻点,由实际意义最小值存在,故,P131题18.在第一卦限内作椭球面,的切平面,使与三坐标面围成的四面体体积最小,并求此体积.,解:设切点为,则切平面为,所指四面体围体积,V 最小等价于 f(x,y,z)=x y z 最大,故取拉格朗日函数,=0,=0,=0,=0,解得,由实际问题知,在点,处的切平面与三坐标面,围成的四面体体积最小.,最小体积为,设,与,均为可微函数，且,已知,是,在约束条件,下的一个极值
2、点，下列选项正确的是【】,，则,（B）若,，则,（C）若,，则,（D）若,，则,（A）若,(06考研),=0,=0,D,多元函数极限同样具有极限的保号性.,(D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点,已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且,则().,(03考研),A,(A)点(0,0)不是f(x,y)的极值点；,(B)点(0,0)是f(x,y)的极小值点；,(C)点(0,0)是f(x,y)的极大值点；,应如何选择,B,令,左边为正。,在原点的某邻域,令,右边为负。,P130总习题九 第2题,设f(x,y)在点（0，0）的附近有定义，,(C)曲线 在（0,0
3、,f(0,0)）处的切向量为1,0,3;,(D)曲线,在(0,0,f(0,0)处的切向量为3,0,1.,则().,(01数一),(A)dz|（0，0）=3dx-dy；,(B)曲面z=f(x,y)在(0,0,f(0,0)处的法向量为3,-1,-1；,C,且,则切向量,T=1,0,3,(若f可微或一阶偏导数连续,则都对),设三元方程,(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x,y)(B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x,z)和z=z(x,y)(C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和z=z(x,y)(D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,
4、z),存在点(0,1,1)的一个邻域,在此邻域内该方程,根据隐函数存在定理，,偏连，非空显然满足,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,0,=0,(),(D),(05数一),在平面上,而与,相切于(1,-2,5),求a,b.,解:,在(1,-2,5)的法向量,据题意:,过L的平面束,即,解得,第十章 重 积 分,一元函数积分学,多元函数积分学,重积分,曲线积分,曲面积分,第十一章,推广,三、二重积分的性质,一、引例,二、二重积分的定义与可积性,10.1 二重积分的概念与性质,第十章,解法:类似定积分解决问题的思想:,一、引例,1.曲顶柱体的体积,给定曲顶柱体:,底：xoy 面上的闭区域 D,
5、顶:连续曲面,侧面：以 D 的边界为准线,母线平行于 z 轴的柱面,求其体积.,“分割,近似,求(近似)和,(取)极限”,1)“分割”,用任意曲线网分D为 n 个区域,以它们为底把曲顶柱体分为 n 个,2)“近似”,在每个,3)“求（近似）和”,则,中任取一点,小曲顶柱体,4)“(取)极限”,令,2.平面薄片的质量,有一个平面薄片,在 xoy 平面上占有区域 D,计算该薄片的质量 M.,度为,设D 的面积为,则,若,非常数,仍可用,其面密,“分割,近似,求(近似)和,(取)极限”,解决.,1)“分割”,用任意曲线网分D 为 n 个小区域,相应把薄片也分为小区域.,(连续),2)“近似”,中任取
6、一点,3)“求(近似)和”,4)“(取)极限”,则第 k 小块的质量,两个问题的共性：,(1)解决问题的步骤相同,(2)所求量的结构式相同,“分割,近似,求(近似)和,(取)极限”,曲顶柱体体积:,平面薄片的质量:,定义:,将区域 D 任意分割成 n 个小区域,任取一点,作积,若存在,称f(x,y)在D上可积.,是定义在有界区域 D上的有界函数,取极限,求和,其极限值,称为f(x,y)在D上的二重积分.,即,二、二重积分的定义及可积性,或,引例1中曲顶柱体体积:,引例2中平面薄板的质量:,如果 在D上可积,也常,二重积分记作,这时,分区域D,因此面积元素,可用平行坐标轴的直线来划,记作,或,二
7、重积分存在定理:,若函数,定理2.,(证明略),定理1.,在D上可积.,限个点或有限条光滑曲线外都连续,积.,在有界闭区域 D上连续,则,若有界函数,在有界闭区域 D 上除去有,三、二重积分的性质,(a、b 为常数),为D 的面积,则,(有和定积分完全对应的性质:7条),假定下列性质中出现的二重积分存在,特别,由于,则,4.若在D上,5.设,D 的面积为,则有,即,6.(二重积分的中值定理),证:由性质5 可知,由连续函数介值定理,至少有一点,在闭区域D上,为D 的面积,则至少存在一点,使,使,连续,因此,例1.比较下列积分的大小:,其中,解:积分域 D 的边界为圆周,它与 x 轴交于点(1,
8、0),而域 D 位,从而,于直线的上方,故在 D 上,例2.估计下列积分之值,解:D 的面积为,由于,即:1.96 I 2,性质7.设函数,D 位于 x 轴上方的部分为D1,当区域关于 y 轴对称,函数关于变量 x 有奇偶性时,仍,在 D 上,在闭区域上连续,域D 关于x 轴对称,则,则,有类似结果.,在第一象限部分,则有,(关于y为偶函数),例3.P181,1.(2),解：,D3关于x轴对称,且被积函数关于y:xy(奇),cosxsiny(奇),91年考研题,所以,D2关于y轴对称,且被积函数关于x:xy(奇),cosxsiny(偶),内容小结,1.二重积分的定义,2.二重积分的性质,与定积分完全对应的性质,补充一条对称性.,P136 2，43，54,作业,四、曲顶柱体体积的计算,设曲顶柱的底为,任取,平面,故曲顶柱体体积为,截面积为,截柱体的,同样,曲顶柱的底为,则其体积可按如下两次积分计算,例4.求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积.,解:设两个直圆柱方程为,利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为,则所求体积为,例5.计算,其中D 由,所围成.,解:令,(如图所示),显然,
