《专题11数学课程发展主线 (I).ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题11数学课程发展主线 (I).ppt（45页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、,专题11 数学课程发展主线,知识点一：王尚志提出的我国高中数学课程发展主线知识点二：美国Usiskin提出的中学数学课程发展主线,知识点一：王尚志提出的我国高中数学课程发展主线,在设计数学课程时，一般应有一条“灵魂”，应用这条“灵魂”才能将整个的数学课程串联起来，构建起来。当然，这条“灵魂”可能分属不同的层次。第一，取决于国家要将学生培养成什么样的人。我国发展到当前这个水平，需要的是创造性的人才，因此数学课程培养出的人才既要满足国家发展的需要，又要满足学生发展的需要，实际上这就是国家的教育目的。,其次，通过数学课程培养出的人才应当具有哪些能力，如传统提法的运算能力、思维能力、空间想象能力和分
2、析问题与解决问题的能力。现行高中数学课程设定以下能力目标：空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力，数学地提出、分析和解决问题的能力，数学地表达和交流能力，发展独立获取数学知识的能力。,再次，数学课程内容中蕴含哪些基本的、主要的数学思想方法。若将以上三条作为灵魂分析，由于他们相对较为抽象，不太容易把握，因此人们更倾向于以内容作为数学课程的主线，以此来设计数学课程，研究数学课程。,王尚志在研究高中数学课程内容框架的基础上，认为高中数学课程主要包括六条内容主线。1函数主线2几何主线3运算主线4算法主线5统计概率6数学应用,1函数主线,在高中数学课程设计中，把函数作为贯穿整个高中数
3、学课程的主线，这条主线将延伸到大学数学课程中。一是如何认识函数？具体来说，应将函数看成是刻画变量与变量之间依赖关系的模型，是联接两类对象的桥梁，是“图形”。二是研究函数的什么性质？高中阶段主要研究函数的单调性、周期性，也讨论某些函数的奇偶性。,三是掌握哪些具体的函数模型？高中阶段主要函数模型包括幂函数，指数函数，对数函数，三角函数（上述函数是基本初等函数，是最基本的也是最重要的），还有简单的分段函数，一些有实际背景的函数。四是函数与其他内容的联系？主要涉及函数与方程的联系，函数与数列的联系，函数与不等式的联系，函数与线性规划的联系，函数与算法的联系。,2几何主线,一是如何认识几何的教育功能？几
4、何的作用主要在于培养学生的几何直观能力和推理论证的能力。几何直观能力主要包括空间想象能力、直观洞察能力、用图形语言来思考问题的能力。二是中学几何有哪些研究对象？中学几何主要研究图形的位置关系和度量关系。最基本的几何图形是点、线、面，由线可围成平面图形，由面可围成几何体。图形可分为两类：一类是直边或直面图形，一类是曲边或曲面图形。基本几何图形点、线、面之间的位置关系主要有平行、垂直、包含，由基本图形围成的平面图形之间的关系主要有全等、相似、位似等，图形的度量主要有夹角、长度、面积、体积等。,三是运用哪些方法研究几何图形？在中学几何中，研究图形的主要方法有：综合几何的方法，解析法，向量几何的方法，
5、函数的方法等。四是几何内容是如何设计的？几何课程的设计分为两部分，一部分是将“把握图形”的能力作为指导思想，作为几何课程基本目标之一。另一部分是设计了相应的几何内容，即几何内容是分层设计的，大体包括三大部分：一部分在必修课程中；一部分在选修1、选修2课程中；一部分在选修3、选修4课程中。,3运算主线,一是运算主要有哪些内容？运算包括两方面的内容：一个是运算的对象，另一个是运算的规律。二是如何认识中学的运算？运算对象是不断扩展的，从整数到分数，从正数到负数，从有理数到实数、复数，从数到字母、多项式等。数的运算，字母，多项式运算，向量运算，函数，映射，变量运算，矩阵运算等，都是数学中的基本运算。,
6、三是如何认识运算的作用？一是运算和运算律是构成代数推理的基本要素；二是运算是算法的基本要素，算法的设计要以运算和运算律为依据，使用各种运算和运算规律对于理解算法、选择算法、优化算法具有重要作用；三是运算和运算法则的学习，对于理解恒等变形的原理，提高恒等变形的能力有着重要的作用。四是如何认识运算内容的设计？在高中数学课程中，主要有几部分内容集中地介绍了运算：指数运算：对数运算；三角函数运算；向量运算，包括平面向量和空间向量；复数运算；导数运算等。,4算法主线,算法是设计高中数学课程的一条主线，应采用案例教学，从学生熟悉的具体实例出发，在具体语境中，在推理具体问题过程中，使学生理解算法的基本思想，
7、算法的基本结构和算法的基本语句。,一是如何认识算法的作用？如今，算法已成为很多学科的基础，在数学课程中，算法学习能够帮助学生清晰地思考问题，提高逻辑思维能力，有助于学生全面地理解运算，有助于提高学生的信息素养。二是如何认识算法的基本思想？算法的基本思想是指按确定的步骤，一步一步去解决某个问题的程序化思想。如解一元二次方程的算法，解一元一次不等式的算法，解一元二次不等式的算法，求几个数的最大公因数的算法等。,三是如何认识算法的基本结构？算法通常包括三种基本结构，即顺序结构；分叉（选择）结构和循环结构。顺序结构的算法的操作顺序是按照书写顺序执行的。选择结构的算法是根据指定的条件进行判断，由判断的结
8、果决定选取执行两条分支路径中的一条。循环结构的算法是根据条件是否满足来决定是否继续执行循环体中的操作。,四是如何认识算法的基本语句？高中阶段不要求学生学习具体的算法语言，仅需了解这些语句中一些共同的基本语句：输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句。还通过以下三条途径介绍算法的基本思想和基本知识的：用自然语言、框图语言、基本语句描述算法。,五是如何认识算法内容的设计？算法内容的设计分为两部分，一部分主要介绍算法的基本知识，即所谓的算法的“三基”。另一部分是把算法的思想融入相关的数学内容中，实际上算法思想在很多内容中都有体现，如用二分法求方程的解；解析几何中求点到直线的距离；立体几何中立
9、体几何性质定理的证明过程；一元二次不等式的解法；线性规划等内容中，都运用了算法思想。,5统计概率,一是培养学生数据处理的能力，养成用数据来说话的意识。二是注重统计过程，即通过案例体会统计的全过程，收集数据，利用图表整理和分析数据，求出数据的数字特征，进行统计推断。三是采用案例的教学方式，统计方法看起来很容易，但理解起来很困难，大量的具体案例可以帮助学生理解。,四是通过统计的过程，让学生体会统计是一种归纳的思维，即通过统计的过程，让学生体会这个过程是通过对数据的处理，归纳出数据特征的过程。五是让学生在统计教学中养成随机思想。,6数学应用,一是如何认识数学应用？作为教师，要了解发展学生应用意识的背
10、景，认识到高中数学教学中存在的问题，明确高中数学课程中如何体现数学的应用价值。二是如何认识数学应用的层次？数学应用可以分成三个层次来理解，分别是：知识的背景和对实际问题的数学描述；对数学模型的认识和在实际中的直接应用；数学建模的过程。,知识点二：美国Usiskin提出的中学数学课程发展主线,美国Usiskin教授在泰国APEC会议上的报告中提出了中学数学课程发展的九条主线。他认为，进入新世纪以后，许多国家的中小学数学课程改革都面临这样的矛盾：一方面，学生学习数学的课时数在减少，而另一方面，许多新的数学内容有必要进入中小学课程；一方面，多数学生只需要具备基本的数学素养，而另一方面，学校又应该为数
11、学学优生进一步学习高深的数学和科学打下重要的基础。为了解决这些矛盾，一些学者提出了“Big ideas”的概念，他们认为中小学数学课程要围绕“Big ideas”来联系和组织，同时，教师也必须了解他们所教学科的结构和主线，并以此作为认知路标来指导学生的作业、评价学生的进步。,那么，什么是中小学数学课程中的“Big ideas”呢？虽然已有一些人给出了界定，并确定了“Big ideas”的标准，但至今仍无统一的说法。以下介绍的是美国芝加哥大学的Usiskin教授在APEC数学教育大会上的报告。在这份报告中，他给出了中学数学课程发展的九条主线，以此来说明中学数学课程的“Big ideas”。,1.
12、第一条主线：整数有理数实数复数和向量,从整数过渡到有理数的过程是比较自然的，可以把有理数看作是两个整数进行四则运算的结果。这种过渡早在学前教育阶段就已经开始了。对学生来说，比较困难的是理解数码间的符号的意义，如116.42中的小数点，中的分数线等。,从有理数过渡到实数涉及一个无限的过程，这对初中学生来说并不容易。首先，应该让学生明白，无理数是真实存在的，如单位边长的正方形的对角线长()，圆周率()等。其次，虽然这样的数不能看作是两个有理数的四则运算结果，但却可以用一个无限的过程来表示，如 可以表示为 这样的无限的不循环小数。从实数过渡到复数和向量，学生将面临又一次的认识上的飞跃。在这里，复数和
13、向量既可以看作是平面上或者空间中的点，又可以表示为平面变换的一种形式。,2.第二条主线：数的表示代数表达式作为关系的函数作为对象的函数,这种过渡除了可以起到简化的作用外，更重要的是给出了火车长度的一般形式，有了一般形式后，我们就不必一个一个地去讨论具体的算式了。有了一般形式 后，我们可以将满足代数式的有序数对描绘出来，也就是可以通过图像表达出变量间的关系(如n与20n+30的关系)。由此，便从单一符号表示的代数式，过渡到反映两个变量之间的关系的函数。当学生学习了多个函数关系以后，就可以将这些作为关系的函数进行分类。以不同类别为单位，研究它们的共同属性（如奇偶性、单调性、周期性等）。此时，函数就
14、变成了一种可以操作的对象。,3.第三条主线：个别图形的性质某一类图形的一般性质,数学中一个重要的思想，是将数学对象按照一定的属性划分成不同的类。之所以这样做，是因为我们可以通过个别例子的学习，学习整个类别中所有数学对象的性质，即通过特殊认识一般。几何中的许多概念表示的都是一类图形，如三角形，等腰三角形，直角三角形、锐角三角形等，而几何定理则通常表示的是一类图形的一般性质。在从个别图形的性质过渡到一类图形的一般性质的过程中，学生可能会遇到两个方面的困难。,其次，在代数中，我们可以用一个字母表示“任意”的数，但在几何中却没有“一般的图形”，图形一旦画出，就是特殊的，有特殊的位置和特殊的形状。因此，
15、在用个别图形去表示一般图形的时候，也可能会产生误解。正因为如此，在讨论一类图形的性质时，“演绎证明”显得非常重要。,4.第四条主线：归纳推理演绎推理(局部的演绎)数学系统内的演绎(整体的演绎),归纳是数学推理的两个机制之一，是指由一系列具体的事实概括出一般原理。归纳在我们的日常生活中无处不在，起着重要的作用。归纳法给我们带来了猜想。但是归纳法的应用要求所给信息必须充足，推导的过程必须严谨。例如，一列数：1，2，3，4，5，6，7，8，9，接下来的数是几?不同的规律得到不同的答案。另外，如果我们忽略隐藏于一般事实的原理问题，就容易被归纳蒙蔽。,归纳法只是对现存的有限的经验材料进行概括，因而不仅不
16、能保证归纳结论的普适性，而且难以区分事物的本质属性与非本质属性，这就使得归纳推理的结论可能为真，也可能为假。这时便需要演绎，即从一般原理出发思考问题。演绎与归纳相对应的，是从一般到特殊的思维活动。但换一个角度说，演绎法从一般原则出发思考问题，它无法保证自己的前提，即作为出发点的一般原则本身是否正确无误。因此，归纳与演绎必须在相互转化过程中，弥补各自的缺陷。正是因为归纳演绎的作用，才让数学从几个基本理论演绎成由成千上万条定理组成的庞大体系。,在学生离开学校的数学学习之前，他们应该有机会了解数学的公理化思想，也即由少数的几条公理出发，演绎出整个理论体系；而且他们还应该知道，这样的理论体系是不断成长
17、的，数学家仍在这些理论体系中不断地推出各种新定理。,5.第五条主线：数的应用运算的应用建立函数模型,数学的应用起源于数字的应用，而数字的应用又可以分为以下几种：作为计数与测量单位的数、作为比率的数、表示位置的数以及作为代码和识别码的数等。从计数与测量到有理数的理解与运算的过渡，对小学生学习数学是非常重要的。然而数的不同应用发展不同含义的运算，因此我们应该让学生通过理解数的不同意义来理解运算的含义。,由代数式的意义可以发展到建立函数模型。例如，单价为x,y,z的三种商品，数量分别是A,B,C，其价格的总和可以以Ax+By+Cz的形式表示。整个过程就是，我们从实际问题中，提取出几个量(数的运用)，
18、用代数表达式表示出量的关系(运算的应用)，然后建立函数模型，解决实际问题。,6.第六条主线：对一次测量的估计一组数的统计；描述性统计推断性统计,公众认为数学是一门精确的科学，估计值不如精确值好。然而现实生活中的很多例子告诉我们，有时用估计值去表示比用精确值表示更合理。例如，灯泡的使用寿命，温度或人口的连续变化，等等。因此，我们在教学过程中，应该先让学生意识到估计的重要意义，引导学生学会估计。,估计是数学的一个重要手段，估计的学习可以从对一次测量的估计入手。然而，一个大容量事件，我们不可能将所有个体都罗列出来。因此，很自然地过渡到对一组数的估计。我们可以用诸如平均数、中位数、众数这些统计数据来估
19、计一组数。对一组数的估计，通常我们用集中量数、差异量数以及分布来描述数据。这些统计数据描述出事件的不同方面的特点。然而我们能进行描述的，通常都是非随机分布事件。,我们通过非随机分布找到随机数据点,如果从非随机分布的学生成绩分布中随机抽取一个学生测试分数分析，那么其分数高于某给定数的概率是多少？如此学生便可以接受低概率事件的思想，进一步学习假设检验和参数估计，从而完成从描述性统计到推断性统计的过渡。,7.第七条主线：简单几何图形的全等与相似所有图形全等与相似以及几何变换,中学的全等与相似的教学仅限于全等相似本身。低年级中，全等就是“大小相等、形状相同”，适用于所有的图形。较高年级的教学中，研究对
20、象的几何图形仅限于三角形与圆，而相似性总是限于多边形与多面体。简单的几何图形的全等相似，过于局限，对学生数学思想的形成毫无益处。为教全等而教全等的做法，使得学生不能理解其实质。,将全等与等价变换综合起来，图形的全等就很容易地拓展到图像的全等。而相似的理论基础是相似图形中相似比k的运用：对应角相等，对应长度的相似比是k，对应面积的相似比是，以及对应体积的相似比是。,我们强调从变换的角度入手学习图形的全等与相似，从而可以研究所有图形的全等与相似。进一步地，通过全等、相似这两个图像变换的特殊例子，我们可以推广一般几何变换的定理的教与学。这不仅有助于学生理解全等、相似，更有助于学生学习普通的函数图形变
21、换，对学生的函数学习很有益处，同时，也为微积分学习奠定基础。,8.第八条主线：科学计算器图形计算器计算机代数系统,数学在日常生活中的应用越来越广泛，我们无法把大量的时间花在复杂的计算上，因而计算工具在我们学习生活中的份量越来越重。实验证明，对于后进生来说，科技是一种支柱。对于优秀生来说，技术是一种拓展，帮助他们更容易地进入高一层次的数学学习。数学与现代科技同步发展密切相关。,我们应用科学技术是有顺序的。小学低年级，学生学习使用简单的计算器；小学高年级，学生使用科学计算器处理分数；初中伊始，学生学习使用图形与几何计算器；初中后期，学生能使用代数系统的计算机。CAS是可以处理数学问题的最新技术。我
22、们发现该技术对学生处理代数问题特别重要。首先，他们是向正确的方向推导答案的，所以充满自信；然后，当他们理解答案的机制时，便已精通此类题型了。,有些人沉迷于“纸笔运算”，认为只有“纸笔运算”才是真正的数学，计算器不是数学。然而，大量盲目地用“纸笔”做数学的学生，并不清楚他们为什么要这样做，他们做出的答案有没有意义。,学生分解多项式，却不知道原式与分解式代入相同的数据，值相等；解方程，却不知道为什么解方程；计算有理式，却不懂得如何验算。用技术并不见得一定能解决这些间题，但却可以让老师和学生花时间思考重要的思想。很多情况下，“纸笔”只是一种达到目的的方法，其本身并不是目的。,9.第九条主线：把数学看作是对一堆事实的记忆把数学看作是可以通过不同方式得到的一些相互关联的思想,上述八条思想主线不是独立存在的。数学思想是相互关联的。在美国的UCSMP课程中，用SPUR技能(Skill)、性质(Properties)、运用(Uses)以及描述(Representation)来解释数学思想的形成过程。,这个例子包括了代数技能(不等式的解法)，性质(理解用小数表示测量数据的意义，以及将不等式转化成较好形式的原则)，应用(实数表示朋友个数模型)，以及表征(用图形与几何表征代数)。这里充分地说明了数学是所有数学思想有机结合的整体，将数学思想机械地分开，是无法理解数学的真谛的。,
