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1、中值定理与导数的应用习题课,一、微分中值定理,1罗尔定理,2拉格朗日中值定理,3柯西中值定理,在 上连续,在 内可导,且,在 上连续,在 内可导,则至少存在一,使,在 上连续,在 内可导,则至少存在一 使,则至少存在一 使,5.三个定理之间的内在联系,拉格朗日中值定理,罗尔定理,柯西中值定理,4.判别 的方法,若,，则,6.微分中值定理的主要应用,(1)研究函数或导数的性态,(2)证明恒等式或不等式,(3)证明有关中值问题的结论,7.有关中值问题的解题方法,利用逆向思维,设辅助函数.,8.典型例题,定理的三个条件。,【例1】,若方程 有一个正根,证明方程,所以不能利用零点定理,考虑利用罗尔定理
2、证明。,的左端函数,其次 在题设的相应区间上满足罗尔,首先构造一个函数 使，其中 是欲证方程,必有一个小于 的正根.,证明:设,由罗尔定理，存在 使,即,这说明 就是方程,的一个小于 的正根.,由题设,练习 1.设实数,满足下述等式,证明方程,在(0,1)内至少有一,个实根.,证:令,则可设,且,由罗尔定理知存在一点,使,即,证明:,在 上应用拉格朗日中值定理,即,故,或,得,显然有,【例2】,设,证明：,例3.设,在,内可导,且,证明至少存在一点,使,上连续,在,证:问题转化为证,设辅助函数,显然,在 0,1 上满足罗尔定理条件,故至,使,即有,少存在一点,【练习】,设 在 上连续,在 内可
3、导,且,证明存在一点 使,证明:令,且,即,由已知条件知 在 上连续,在 内可导，,故由罗尔定理知,使,【例4】,设 在 上连续,在 内可导,且,证明存在一点 使,证明:令,且,即,由已知条件知 在 上连续,在 内可导，,故由罗尔定理知,使,【例5】,设 在 上连续,在 内可导,且,证明存在一点 使,证明:令,且,即,由已知条件知 在 上连续,在 内可导，,故由罗尔定理知,使,构造辅助函数,构造辅助函数,构造辅助函数,总结：,通过恒等变形,二、洛必达(LHospital)法则,lim f(x)=lim g(x)=0(或),存在或为,则,其他未定式:,解决方法:,通分,取倒数,取对数,例1.求极
4、限,解 原式,例2.,解,则,原式=,解:令,(继续用),法则,法则,例4.求极限,解,所以,洛,三、函数的极值与单调性,1函数极值的定义,2函数的驻点,3函数的单调区间的判别,则 为 的驻点.,在 上，若，则单调增加；,若，则单调减少；,1函数凹凸性定义,2函数的拐点,称曲线为凹的；,称曲线为凸的。,3函数凹凸性的判别,二、函数的凹凸性及拐点,凹弧与凸弧的分界点。,凹；凸。,1第一充分条件,三、函数极值的充分条件,(极值第一判别法),且在空心邻域,内有导数,如果 在 x0的两侧保持相同符号，则x0不是f(x)的极值点.,2第二充分条件,（2）当 时，函数 在 处取得极小值；,（1）当 时，函
5、数 在 处取得极大值；,设函数 在 处具有二阶导数且，,，那么,四、最大值与最小值问题,则其最值只能,在极值点或端点处达到.,(极值第二判别法),求函数最值的方法:,(1)求 在 内的极值可疑点,(2)最大值,最小值,（驻点或导数不存在的点）,当 在 内只有一个极值可疑点时,当 在 上单调时,最值必在端点处达到.,若在此点取极大 值,则也是最大 值.,(小),(小),特别：,解,定义域为,单调减少区间为：,单调增加区间为：,列表讨论,例1.,可知x=0为y的极小值点，极小值为0.,例2.,解：,例4.证明当 x0 时，,证明：,例6.试确定函数 中的,使得,为函数的驻点,点 为函数的拐点,并求出拐点.,解：,为拐点，必有,即，.又点,为驻点，必有,即，,从而函数为，注意到,当 时，图形是凸的；,，图形是凹的；,当 时，,而.故曲线,的拐点为.,由于点,
