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1、探索之旅,奥数专题6：容斥问题,容斥问题,1、什么是容斥问题,2、容斥原理,容斥原理的进阶练习,基础 详解：什么是容斥问题,探索之旅,容斥问题,容包括斥排除,661=11（人）,答：共有11人。,排队问题：从前面数，从后面数，丽丽都排第6，这一排共有几个人？,洗好的8块手帕夹在绳子上晾干，同一个夹子夹住相邻的两块手帕的两边，这样一共要多少个夹子？,827=9（个）,答：一共要9个夹子。,容斥问题,即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。,容斥原理：对几个事物，如果采用两种不同的分类，那么具有性质1或性质2的事物个数等于性质1性质2减去它们的共同性质。,例：学校
2、文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人。这个文艺组一共有多少人？,拉手风琴的人数：24人,弹电子琴的人数：17人,两种都会弹的人数：8人,？人,24178=33（人）,答：一共有33人。,容斥原理：,1、找分的类：2类 找1、2类共有的,2、2类的总个数等于2类的和减去它们的共有的。,五年级学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。语文、数学都优秀的有30人，问五年级一共有多少人？,语文优秀的人数：65人,数学优秀的人数：87人,两科都优秀的人数：30,？人,658
3、730=122（人）,答：五年级一共有122人。,四（一）班学生参加数学小组和科技小组，每个学生至少参加一个小组，有25人参加数学小组，23人参加科技小组，有19人两个小组都参加了。那么四（一）班一共有多少人？,252319=29（人）,答：一共有29人。,例：一班有48人，班主任在班会上问：“谁做完了语文作业？请举手”有37人举手，又问：“谁做完了数学作业？请举手”有42人举人，最后问：“谁语文、数学作业都没做完？请举手”结果没有人举手。求这个班语文、数学作业都做完的人数是多少个？,做完语文的人数：37人,做完数学的人数：42人,两科做完的人数：？,48人,374248=31（人）,答：这个
4、班语文、数学作业都做完的人数是31人。,想：,五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。语文、数学都优秀的有多少人？,语文优秀的人数：65人,数学优秀的人数：87人,两科做完的人数：？,122人,6587122=30（人）,答：语文、数学都优秀的有30人。,在1到100的全部自然数中，既不是5的倍数，也不是6的倍数有多少个？,5的倍数的个数数：,6的倍数的个数：,30的倍数的个数：,？个,1005=20（个）,答：有67个。,不是5的倍数；不是6的倍数；不是30的倍数,5的倍数的个数；6的倍数的个数；30的倍数的个数
5、,1006=16（个）4,10030=3（个）10,20163=33（个）,10033=67（个）,例：,全班学生40人，爱好音乐的有18人，爱好舞蹈的有21，爱好美术的有9人，既爱好音乐又爱好舞蹈的有3人，既爱好音乐又爱好美术的有1人，但没有人这三种都爱好，也没有人都不爱好的。问有多少既爱好舞蹈又爱好美术？,182193140=4440=4（人）答：有4人既爱好舞蹈又爱好美术。,某班有学生50人，其中35人会游泳，38人会骑自行车，40人会溜冰，46人会打乒乓。问四项活动都会的至少有多少人？,一项不会的就不符合,一项不会的尽可能的多，即考虑重复的,不会游泳的：,5035=15（人）,不会骑自
6、行车的：,5038=12（人）,不会溜冰的：,5040=10（人）,不会打乒乓的：,5046=4（人）,四项都会的至少有：,50（1512104）=9（人）,课后过关：,一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的18人，两样都不会的有4人。两样都会的有多少人？,练习时间：容斥原理,探索之旅,五年级96名学生都订了刊物，有64人订了少年报，有48人订了小学生报，问两种刊物都订的有多少人？,64人,48人,？人（两种都订的）,96人,64+48-96=112-96=16（人）,1、一个班的52人都在做语文和数学作业，有32人做完了语文作业，有35人做完了数学作业，这个班语文、数学作业都做完
7、的有多少人？,2、五年级有112人参加语文、数学考试，每人至少有一门功课得优，其中，语文得优的有65人，数学得优的有87人，问语文、数学得优的有多少人？,3、某班有50名学生，在一次测试中有26人满分，在第二次测试中有21人满分。如果两次测试都没有得过满分的学生有17人，那么，两次测试都获满分的有多少人？,某地区的外语教师中，每人至少懂得英语和日语中一种语言。已知有35人懂英语，有34人懂日语，两种语言都懂的有21人，这个地区有多少个外语教师？,1、某校的每个学生至少爱好体育和文娱中的一种活动，已知有900人爱好体育活动，有850人爱好文娱活动，其中260人两种活动都爱好。这个学校共有学生多少
8、人？,2、某班在一次测试中有26人语文获优，有30人数学获优，其中语文、数学双优的有12人，另外还有8人语文、数学都未获优，这个班共有多少个学生？,3、第一小组的同学们都在两道数学思考题，做对第一题的有15人，做对第二题的有10人，两题都做对的有7人，两题都做错的有2人，第一小组一共有多少人？,612=0.87-0.49=1740=3.21.68=2.80.4=14-7.4=5.4400=51.06=4.30.5=0.1450=5.73.9=6.30.7=3.060.3=18.21.8=9.92.7=32.13=7.344=0.1250.25=2.56-0.37=1.054=1.5+0.254
9、=30.20.5=0.841.60.840.6=12.518.50.8=,口算下面各题：,在100个外语教师中，懂得英语的75人，懂日语的45人，其中必然有既懂英语又懂日语的老师，问：只懂英语的教师有多少人？,75+45=120（人）,120-100=20（人）,75-20=55（人）,答：只懂英语的教师有55人。,1、40人都在做加试的两道题，并且至少做对了其中的一题，已知做对第一题的有30人，做对第二题的有21人，问：只做对第一题的有多少人？,巩固练习,2、五年级122名同学参加语文、数学考试，每人至少有一门得优，已知语文65 人得优，数学78人得优，求只有语文一门得优的人数。,3、全班4
10、6名同学，仅会打乒乓球的有28人，会打乒乓球又会打羽毛球的有10人，不会打乒乓球又不会打羽毛球的有6人，仅会打羽毛球的有多少人？,例：学校开展课外活动，共有250人参加。其中参加象棋组和乒乓球组的同学不同时活动，参加象棋组的83人，参加乒乓球组的有86人，这两个小组都参加的有25人。问：这250名同学中，乒乓球组都不会参加的有多少人？,83+86-25=169-25=144（人）,250-144=106（人）,答：乒乓球组都不会参加的有106人。,1、100位旅客中，有70人懂英语，有65人懂日语，既懂英语又懂日语的有45 人，那么，既不懂英语又不懂日语的有多少人？,2、五（1）班有学生50人
11、，在一次测试中，语文90分以上的有30人，数学90分以上的35人，语文和数学都在90分以上的有20人，90分以下的有多少人？,3、老师在统计考试成绩。数学得90分以上的有25人，语文得90分以上的有21人，两科中有一科有90分以上的有38人，问：两样都得90分以上的有多少人？,例：实验小学各年级都参加的一次书法比赛中，四年级与五年级共有20人获奖，在获奖者中有16人不是四年级的，有12人不是五年级的。该校书法比赛获奖的总人数是多少人？,1、五一小学举行小学生田径运动会，其中24名运动员不是六年级的，28名运动员不是五年级的，已知五、六年级运动员共32名，五、六年级和中低年级运动员各有几名？,2、少年乐团学生中有170名不是五年级的，有135名不是六年级的，已知五六年级的共有205人，少年乐团中五六年级以外的学生共有多少人？,3、六一儿童节同学们做小花，有24朵不是红色的，有20朵不是黄色的，已知红花和黄花一共有18朵，其他颜色的花一共做了多少朵？,小结：,容斥认识,容斥原理,进阶练习,
