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1、第六节 曲面及其方程,一 曲面方程的概念二 旋转曲面三 柱面四 二次曲面,水桶的表面、台灯的罩子面等,曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹,曲面方程的定义：,曲面的实例：,一、曲面方程的概念,以下给出几例常见的曲面.,解,根据题意有,所求方程为,特殊地：球心在原点时方程为,解,根据题意有,化简得所求方程,解,例4 方程 的图形是怎样的？,根据题意有,图形上不封顶，下封底,解,以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题：,（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状,（讨论旋转曲面）,（讨论柱面、二次曲面）,（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程,定义,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成
2、的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,播放,二、旋转曲面,旋转过程中的特征：,如图,将 代入,将 代入,得方程,解,圆锥面方程,例6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程,旋转双曲面,旋转椭球面,旋转抛物面,播放,定义,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,三、柱面,柱面举例,抛物柱面,平面,从柱面方程看柱面的特征：,（其他类推）,实 例,椭圆柱面/轴,双曲柱面/轴,抛物柱面/轴,1 定义：三元二次方程表示的曲面,称为二次曲面。,如球面,圆锥面、旋转曲面等,四、二次曲面(Q
3、uadratic Surfaces),2、二次曲面的研究方法：,(不能用描点法，而用截面法),1）对称性：关于坐标面，坐标轴,2）存在范围,3）曲面与坐标轴、坐标面的关系,4）曲面弯曲状况。,3、几种重要的二次曲面：,1）椭球面：,用平行于坐标面的平面去截曲面由所得截痕来勾画曲面的大体形状。,(Ellipsoids),特殊情形：1）当a=b=c时，此时为球面,2）当a=b时，此时为旋转曲面,3)当a=c时，此时为旋转曲面,4)当c=b时，此时为旋转曲面,2)抛物面(Paraboloids),I)椭圆抛物面,p=q时，成为旋转抛物面,(P0,q0),II)双曲抛物面（马鞍面）,(Elliptic Paraboloids),(Hyperbolic Paraboloids),II)双曲抛物面（马鞍面）,3)双曲面(Hyperboloids),I)单叶双曲面(Hyperboloids of one sheet),II)双叶双曲面(Hyperboloids of two sheet)：,或者,例6、指出下列方程所表示的曲面：,
