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1、莫兴德广西大学数信学院,微 积 分,链接目录,参考书,1赵树嫄.微积分.中国人民出版社2同济大学.高等数学.高等教育出版社,第三章 导数与微分,引例导数概念导数的基本公式与运算法则高阶导数微分,导数的概念,在许多实际问题中，需要从数量上研究变量的变化速度。如物体的运动速度，电流强度，线密度，比热，化学反应速度及生物繁殖率等，所有这些在数学上都可归结为函数的变化率问题，即导数。,本章将通过对实际问题的分析，引出微分学中两个最重要的基本概念导数与微分，然后再建立求导数与微分的运算公式和法则，从而解决有关变化率的计算问题。,导数和微分是继连续性之后，函数研究的进一步深化。导数反映的是因变量相对于自变
2、量变化的快慢程度和增减情况，而微分则是指明当自变量有微小变化时，函数大体上变化多少。,重点,导数与微分的定义及几何解释导数与微分基本公式四则运算法则复合函数求导的链式法则高阶导数隐函数和参量函数求导,难点,导数的实质，用定义求导，链式法则,基本要求,准确叙述导数定义并深刻理解它的实质,会用定义求导数,熟记求导基本公式,牢固掌握链式法则,掌握隐函数和参量函数求导法,理解高阶导数，掌握求高阶导数的方法,弄清微分与导数的联系与区别，理解并会运用一阶微分的形式不变性,一、问题的提出,1.自由落体运动的瞬时速度问题,如图,取极限得,上述求瞬时速度的方法对一般变速直线运动也同样适用。设物体作变速直线运动，
3、其运动路程为s=s(t)，则物体在时刻 t0 的瞬时速度定义为,速度反映了路程对时间变化的快慢程度,2.切线问题,割线的极限位置切线位置,播放,如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.,极限位置即,如图,二、导数的定义,定义,二、导数的定义,定义,即,其它形式,关于导数的说明：,导数概念是概括了各种各样的变化率而得出的一个更一般、更抽象的概念，它撇开了变量所代表的特殊意义，而纯粹从数量方面来刻画变化率的本质,注意:,2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.,播放,单侧导数,1.左导数:,2.右导数:,三、由定义求导数（三步法）,步骤:,例1,解
4、,例2,解,例3,解,更一般地,例如,例4,解,特别地,例5,解,特别地,例6,解,四、导数的几何意义与物理意义,1.几何意义,切线方程为,法线方程为,切线方程为,法线方程为,切线方程为,法线方程为,例7,解,由导数的几何意义,得切线斜率为,所求切线方程为,法线方程为,2.物理意义,非均匀变化量的瞬时变化率.,变速直线运动:路程对时间的导数为物体的瞬时速度.,交流电路:电量对时间的导数为电流强度.,非均匀的物体:质量对长度(面积,体积)的导数为物体的线(面,体)密度.,五、可导与连续的关系,定理 y=f(x)在x0可导,则f(x)在x0连续.,证,注意:该定理的逆定理不成立.,连续函数不存在导数举例,例如,例如,例如,例8,解,六、小结,1.导数的实质:增量比的极限;,3.导数的几何意义:切线的斜率;,4.函数可导一定连续，但连续不一定可导;,5.求导数最基本的方法:由定义求导数.,6.判断可导性,不连续,一定不可导.,连续,直接用定义;,看左右导数是否存在且相等.,思考题,思考题解答,
