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1、莫兴德广西大学数信学院,Email:,微 积 分,链接目录,第二章 极限与连续,数列极限函数极限变量极限无穷大与无穷小极限的运算法则两个重要的极限函数的连续性,2.4 无穷大量与无穷小量,一.无穷小量,定义1：以0为极限的变量,称为无穷小量（无穷小）。定义2：0,某个时刻，在此时刻以后，|y|,恒成立.则称y在此变化过程为无穷小量（无穷小）。,无穷小量,注意,（1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆;,（2）零是可以作为无穷小的唯一的数.,对于xx0：0,0，使得当00,M0，使得当|x|M时,|f(x)|,恒成立.,无穷小量,例如：,2、无穷小与函数极限的关系:,证,必要性,充分性,意义,（1
2、）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);,3、无穷小的运算性质:,定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.,证,注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.,定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,证,推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.,推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.,推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.,都是无穷小,二.无穷大量,二.无穷大量,定义1：绝对值无限增大的变量称为无穷大量.定义2：E0,某个时刻，在此时刻以后，|y|E,恒成立.则称y在此变化过程为无穷大量（无穷大）。记为：limy=同理可定义：正无穷大 limy=+负无穷大 li
3、my=-,无穷大量,对于xx0：E0,0，使得当0E,恒成立.对于x：E0,M0，使得当|x|M时,|f(x)|E,恒成立.,特殊情形：正无穷大，负无穷大,注意,（1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆;,（3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.,不是无穷大,无界，,证,三、无穷小与无穷大的关系,定理 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.,证,意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.,四.无穷小量的阶,四.无穷小量的阶,例如,观察各极限,不可比.,极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.,定义：,是相同一过程的两个无穷小量.如果
4、:,例1,解,例2,解,常用等价无穷小:,注,上述10个等价无穷小（包括反、对、幂、指、三）必须熟练掌握,用等价无穷小可给出函数的近似表达式:,一般地有,即与等价,与互为主要部分,例如,等价无穷小替换,定理(等价无穷小替换定理),证,意义,求两个无穷小之比的极限时，可将其中的分子或分母或乘积因子中的无穷小用与其等价的较简单的无穷小代替，以简化计算。具体代换时，可只代换分子，也可只代换分母，或者分子分母同时代换。,例3,解,注意,不能滥用等价无穷小代换.,对于代数和中各无穷小不能分别替换.,等价关系具有：自反性，对称性，传递性,例4,解,错,解,例5,解,例6 求,解一,解二,解三,例7 求,解
5、,关于1型极限的求法,五.小结,1、主要内容:,两个定义;四个定理;三个推论.,2、几点注意:,无穷小与无穷大是相对于过程而言的.,（1）无穷小（大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；,（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小；,（3）无界变量未必是无穷大.,思考题,思考题解答,不能保证.,例,有,一、填空题:,练 习 题,练习题答案,1.无穷小的比较:,反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较.,高(低)阶无穷小;等价无穷小;无穷小的阶.,2.等价无穷小的替换:,求极限的又一种方法,注意适用条件.,思考题,任何两个无穷小量都可以比较吗？,思考题解答,不能,例当 时,都是无穷小量,但,不存在且不为无穷大,故当 时,
