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1、3.4 Herbrand定理,问题：一阶逻辑公式的永真性（永假性）的判定是否能在有限步内完成？,1936年图灵(Turing)和邱吉(Church)互相独立地证明了：,“没有一般的方法使得在有限步内判定一阶逻辑的公式是否是永真（或永假）。但是如果公式本身是永真（或永假）的，那么就能在有限步内判定它是永真（或永假）。对于非永真（或永假）的公式就不一定能在有限步内得到结论。判定的过程将可能是不停止的。”,3.4 Herbrand定理,Herbrand的思想定义：公式G永真：对于G的所有解释，G都为真。思想：寻找一个已给的公式是真的解释。然而，如果所给定的公式的确是永假的，就没有这样的解释存在，并且
2、算法在有限步内停止。,3.4 Herbrand定理,基本方法：因为量词是任意的，所讨论的个体变量域D是任意的，所以解释的个数是无限、不可数的。简化讨论域。建立一个比较简单、特殊的域，使得只要在这个论域上，该公式是不可满足的。此域称为H域。,3.4 Herbrand定理,H域例题,设子句集S=P(x),Q(y,f(z,b),R(a)，求H域解：H0 a,b为子句集中出现的常量H1 a,b,f(a,b),f(a,a),f(b,a),f(b,b)H2 a,b,f(a,b),f(a,a),f(b,a),f(b,b)，f(a,f(a,b),f(a,f(a,a),f(a,f(b,a),f(a,f(b,b)
3、,f(b,f(a,b),f(b,f(a,a),f(b,f(b,a),f(b,f(b,b),f(f(a,b),f(a,b),f(f(a,b),f(a,a),f(f(a,b),f(b,a),f(f(a,b),f(b,b),f(f(a,a),f(a,b),f(f(a,a),f(a,a),f(f(a,a),f(b,a),f(f(a,a),f(b,b),f(f(b,a),f(a,b),f(f(b,a),f(a,a),f(f(b,a),f(b,a),f(f(b,a),f(b,b),f(f(b,b),f(a,b),f(f(b,b),f(a,a),f(f(b,b),f(b,a),f(f(b,b),f(b,b)
4、H=H1H2H3,3.4 Herbrand定理,几个基本概念f（tn）：f为子句集S中的所有函数变量。t1,t2,tn为S的H域的元素。通过它们来讨论永真性。原子集A：谓词套上H域的元素组成的集合。如A=所有形如 P(t1,t2,tn)的元素即把H中的东西填到S的谓词里去。S中的谓词是有限的，H是可数的，因此，A也是可数的。,3.4 Herbrand定理,上例题的原子集为：A=P(a),Q(a,a),R(a),P(b),Q(b,a),Q(b,b),Q(a,b),R(b),P(f(a,b),Q(f(a,b),f(a,b),R(f(a,b),P(f(a,a),P(f(b,a),P(f(b,b),)
5、一旦原子集内真值确定好（规定好），则S在H上的真值可确定。成为可数问题。,3.4 Herbrand定理,解释I：谓词公式G在论域D上任何一组真值的指定称为一个解释。H解释：子句集S在的H域上的解释称为H解释。问题：对于所有的解释，全是假才可判定。因为所有解释代表了所有的情况，如可穷举，问题便可解决。,3.4 Herbrand定理,如下三个定理保证了归结法的正确性：定理1：设I是S的论域D上的解释，存在对应于I的H解释I*，使得若有S|I=T，必有 S|I*=T。定理2：子句集S是不可满足的，当且仅当所有的S的H解释下为假。定理3：子句集S是不可满足的，当且仅当对每一个解释I下，至少有S的某个子
6、句的某个基例为假。,3.4 Herbrand定理,基例S中某子句中所有变元符号均以S的H域中的元素代入时，所得的基子句C称为C的一个基例。若一个子句为假，则此解释为假。一般来说，D是无穷不可列的，因此，子句集S也是无穷不可列的。但S确定后H是无穷可列的。不过在H上证明S的不可满足性仍然是不可能的。解决问题的方法：语义树,3.4 Herbrand定理,构成方法原子集中所有元素逐层添加的一棵二叉树。将元素的是与非分别标记在两侧的分枝上（可不完全画完）。特点一般情况H是可数集，S的语义树是无限树。,3.4 Herbrand定理,SP(x)Q(x)，P(f(y)，Q(f(y),3.4 Herbrand
7、定理,意义S H A 语义树可以理解语义树为H域的图形解释。目的：把每个解释都摊开。语义树中包含原子集的全部元素。因此，语义树是完全的。每一个直到叶子节点的分支对应S的一个解释。可以通过对语义树每一个分支来计算S的真值。如果每个基例都为假，则可认为是不可满足的。,3.4 Herbrand定理,几个概念失败结点：当（由上）延伸到点N时，I(N)已表明了S的某子句的某基例假。但N以前尚不能判断这事实。就称N为失败结点。封闭语义树：如果S的完全语义树的每个分枝上都有一个失败结点，就称它是一棵封闭语义树。,3.4 Herbrand定理,SP(x)Q(x)，P(f(y)，Q(f(y),3.4 Herbr
8、and定理,Herbrand定理：子句集S是不可满足的，当且仅当对应于S的完全语义数是棵有限封闭树。子句集S是不可满足的，当且仅当存在不可满足的S的有限基例集。,3.4 Herbrand定理,定理的意义Herbrand定理已将证明问题转化成了命题逻辑问题。由此定理保证，可以放心的用机器来实现自动推理了。（归结原理）注意Herbrand定理给出了一阶逻辑的半可判定算法，即仅当被证明定理是成立时，使用该算法可以在有限步得证。而当被证定理并不成立时，使用该算法得不出任何结论。但是,3.4 Herbrand定理,仍存在的问题：基例集序列元素的数目随子句基的元素数目成指数地增加。因此，Herbrand定理是30年代提出的，始终没有显著的成绩。直至1965年Robinson提出了归结原理。,3.4 Herbrand定理,归结原理与Herbrand定理,归结原理是语义树的一个倒塌过程最后归结出空，就是剩一个根节点，就说明语义树是有限封闭的，证明结束。,
