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1、本科毕业设计（论文）CVaR在金融风险度量中的应用摘 要金融风险按照不同的标准划分有不同的风险，如市场风险、信用风险、操作风险、流动性风险等。本文将就其中的市场风险进行研究。作为证券行业主要风险的市场风险，在我国的经济体制转型时期表现得更加突出。目前，我国对于风险度量方法的研究和探索尚不完善，应用也尚不成熟。对于市场风险，本课题通过引入VaR的修正模型CVaR，将此法运用于度量市场风险，建立具体的数学模型，给出求解方法及步骤，从而测算出CVaR值，得到证券行业市场风险的预警值，并总结出目前CVaR风险测度法在我国运用的难度，最后提出建议。关键词 市场风险；VaR；CVaR；GARCH族模型Co
2、nditional Value at Risk and Its Use in Market Risk Measurement of SecuritiesAbstractMarket risk,the major risk of Securities,is more and more intense during the period of economic restructuring in China.In view of the flaw of present risk measurement system,Conditional Value at Risk is used for the
3、market risk measurement which is better than Value at Risk. This paper creates the model,while gives the method and procedure for solving it.So CVaR of market combination is produced,which is just the early warning value of market risk. At last,it is concluded that the CVaR risk measurement is too d
4、ifficult to use widely at present in China,then some advice is provided.Key words: market risk ; Value at Risk ; Conditional Value at Risk；GARCH model目录引言1绪论2第1章CVaR法的原理31.1 VaR风险测度法及其缺陷31.2 CVaR风险测度原理51.3 CVaR的检验5第2章 CVaR法在市场风险度量中的运用62.1计算方法62.1.1 GARCH族模型62.1.2基于GARCH族模型中残差t分布下VaR和CVaR值的计算62.2 模型求
5、解7结论与展望13致谢 14参考文献15附录A16附录B33附录C34引言金融风险关系到一个国家的长远发展，对其精确度量则可以有效地控制风险。风险度量是金融市场风险管理的基础与核心。无论是生成风险分析报告，采取对冲或分散化的办法来转移风险，还是确定、调整风险资本限额。而风险度量的质量，很大程度上决定了金融市场风险管理的有效性。金融家走上国际舞台，发现他们面临着更大的风险时,便努力寻找规避风险、分散风险的渠道和手段，于是一系列的风险度量方法和管理方法就应运而生了。以此通过对风险的识别、计量、决策与监控，减少风险带来的不确定性，最终达到优化资源配置以降低风险的目的金融风险由来已久，人们也在一直努力
6、地寻找方法，以期对其进行度量，目前能被人们熟练掌握的方法主要有名义值度量法、灵敏度方法、波动性方法、VaR方法和CVaR方法。每一个方法都有其优缺点，相对于优点而言，缺点更为突出。如名义值度量法虽使用起来十分方便，但该法一般会高估市场风险的大小；灵敏度方法简明直观、应用方便，最适合于由单个市场风险因子驱动的金融工具且市场因子变化很小的情形，其不足之处则在于可靠性难以保证，应用局限性较大，不能给出资产组合价值损失的具体数值；波动性方法的含义清楚，应用也比较方便，但其对资产组合未来收益概率的分布难以准确估计，同时，此法仅仅描述了资产组合未来收益的波动程度，并不能说明资产组合价值变化的方向，也不能给
7、出资产组合价值变化的具体数值；VaR方法虽然可以给出在一定置信区间内的在险价值，但是却不能反映出置信区间之外的风险价值。但每一个方法又是对前一个方法的改进与补充。CVaR具有次可加性，符合一致性风险度量的条件，另外CVaR还可以对大于VaR的所有量尾部损失进行测，这是VaR所不能的。这里我们就将引入CVaR这一科学方法在金融风险度量中的应用。绪论在我国的金融体系中，银行，证券，基金不断地发展，并取得了一定的成果，而证券机构在我国的国民经济中发挥着举足轻重的作用。随着我国金融体制改革的不断推进，我国证券行业在经营中存在的诸多弊端不断显现出来。因此，分析我国行业存在的风险并找出解决途径和方法，具有
8、重要的现实意义。VaR模型自从1993年由G-30成员国推荐和1994年由JP摩根集团发展以来，目前已经得到银行界的普遍认同和广泛采用，但随着VaR模型的广泛应用，其缺陷也逐渐暴露出来。为了改进VaR模型的缺陷，Artzner等在1999年提出了CVaR模型。由于CVaR具有优于VaR的性质，并且其方法在原有VaR体系上升级即便可使用，因此有必要对VaR与CVaR进行比较研究，用CVaR的优点去改进VaR体系并应用到风险度量中。近年来，随着世界经济的快速发展，我国金融市场面临的运营风险也在不断增加。如在金融自由化、金融国际化和金融电子化的迅速发展的新形势下，我国证券业必须舍弃渐进的、分割的、局
9、部的变革而推行流程再造变革，以求脱胎换骨，获得可持续的竞争优势。目前，我国证券行业风险度量的VaR体系目前尚在建设之中，但国外的VaR体系已经日趋完善，并且有些国家，比如德国，已经开始引进CVaR技术，因此在风险度量方面，我国距世界先进水平还有相当远的距离。因此我们没有必要等到VaR体系发展成熟之后再引进CVaR技术，因此，如何防范与降低风险已成为当前我国金融市场管理的迫切要求。因此，如何正确测量CvaR以及怎样将CvaR使用在金融风险的度量中就有着重要的研究意义。 第1章 CVaR法的原理1.1 VaR风险测度法及其缺陷VaR(Valueat at Risk) 风险测度法作为一种市场风险测定
10、和管理的工具最初是由J. P摩根银行发明，就是使用合理的金融理论和数理统计理论，定量地对给定的资产( 组合) 所面临的市场风险作出全面的度量，度量的尺度就是VaR值。而VaR值是指某一特定的时期内，在给定的置信度内，给定的资产或资产组合可能遭受的最大损失值，令V为在持有期内某一资产或资产组合损失的随机变量，且V符合正态分布，则用数学公式简单表达VaR即为：其中是置信水平，同时也是概率，它是资产组合在给定期间的价值变化量，F是描述资产组合价值变化的分布函数。该公式表明在持有期内，头寸损失大于VaR的概率为1-a。从另一个角度看，亦可解释为在持有期内和置信水平下，该头寸持有者的最大潜在损失不超过V
11、aR。 VaR的基本要素包括：(1)置信水平。计算时选择的置信水平体现了该证券机构对最大可能损失的把握程度，即对风险承担的不同偏好。实践中的置信水平一般介于95%和99%之间，但大多数国际证券机构都选择95%作为置信水平。巴塞尔银行监管委员会建议采用99%的置信水平。(2)持有期。证券机构在计算VaR时，应当根据股票的不同特点确定持有期的时间跨度。例如，对于流动性较强、市场波动剧烈的交易头寸应当选择较短的持有期，如1天；而中长期投资等期限较长、变更不频繁的头寸可以用周或月。总体来说持有期长短的选择取决于资产组合调整的频率及其头寸清算的速度。我国证券机构出于审慎考虑要求证券公司以1个交易日为持有
12、期。(3)观察期（数据频度）。VaR测算的精确度依赖于有关证券损益数据的观察期，即数据采样频度。我国证券机构鉴于模型精度的要求和可操作性的考虑，要求各证券机构至少采用7年的观察期。 VaR之所以为世界金融业普遍接受，与其具有的独特优势有紧密的联系。其一，VaR把对预期的未来损失大小与该损失发生的可能性结合起来，使证券管理者不仅掌握发生损失的规模，而且明晰其发生的概率。其二，VaR适用范围较广。根据当前实际，VaR不仅已用于衡量市场风险和信用风险，而且在操作风险度量方面也有所进展。因此，VaR的运用使证券机构能够把不同的风险具体化为一个显性的指标（VaR值），全面反映证券整体的风险状况，有利于实
13、施综合风险管理。其三，不同置信水平的选取可获得同的VaR值，使管理者更加清楚地了解证券在不同可能程度上的风险状况，而且能为不同的管理需求提供重要的参照尺度。其四，VaR是一种用规范的数理统计技术和现代工程方法来全面度量股票风险的有效手段，较之以往的传统风险度量技术更具客观性，大大增强了股票风险管理控制的科学性。虽然VaR法以其自身的优越性，已作为计量风险的基本方法之一写入了巴塞尔协议的补充规定中，但其内部体系却存在严重的缺陷。主要表现在以下几方面：(1)VaR违反了一致性公理中最重要的次可加性。当银行在计算VaR时面对的是非正态分布（如离散分布），则组合的多样化反而可能增加VaR值。这就无法满
14、足凸性且是非平滑的函数，因此以VaR为约束的规划问题不能成为凸规划，有可能存在多个极值，局部最优解不一定是全局最优解，导致求解极其困难。 证券管理者无法得到风险管理的最优方案，也不能进行有效的资本配置、绩效评估等。（2）损益分布的尾部损失信息反映不充分。VaR的实质是某个给定置信水平下的分位点（即预期的最大损失），并没有对分位点以下的风险信息进行考察，从而无法防范那些极端事件。而这些低频高危类型事件一旦发生，给证券公司带来的将是巨额损失，甚至是灭顶之灾。此外，VaR对其潜在损失报告的不完全性， 易诱导某些证券公司采取特定的操纵策略，人为修饰向监管机构报告的VaR值，隐瞒其真实的风险水平。（3）
15、模型风险。现有的各种计算方法（包括参数模型和非参数模型）在其具体使用当中，业已发现它们的计算结果差异很大，其原因是每种模型的统计假设各不相同，结果自然不同。另外，VaR模型的结果可能存在多个极值，局部优化不一定是整体优化，这在数学上难以处理，加之它还存在着没有考虑当VaR值被超过时损失究竟是多少，故而当真实损失超过了VaR的度量时，将无法进一步识别风险。因此，VaR模型的实用性受到了较大的质疑。在这种情况下，证券公司很难对不同的VaR模型进行准确评价和有效选取，即使辅以返回检验和压力测试也无法完全解决这个问题。为了克服VaR的不足，2000年国外学者从金融风险优化的角度提出了CVaR( 条件风
16、险价值) 的概念，它是指损失超出VaR的条件均值，也称为平均超值损失。与VaR相比，大量的理论研究与实证分析业已证实了CVaR具有更加良好的数学性质和可操作性：首先，CVaR是次可加的和凸的，符合一致性风险度量的条件。次可加性意味着资产组合的分散化将降低总体CVaR值。在正态分布情况下CVaR和VaR两种度量是等价的，可得出同样的最优解。但是，对于非正态分布情形，CVaR不仅满足次可加性的要求，且是凸的，可以求得全局最优解。此时，VaR仅为极小值点，可能不存在最优解，而CVaR为极小值。另外，在CVaR的计算过程当中，可以通过构造一个功能函数而转化为凸函数的优化问题，在适当的条件下可用线性规划
17、技术与优化算法来进行最小化，因此不仅数学上计算更加简便易行，而且在实践当中特别适宜用来处理大规模的组合工具和情况分析。其次，CVaR与VaR不同，它不是损失分布上单一的分位点，而是尾部损失的平均值，反映了损失超出VaR部分的相关信息，只有把大于VaR的所有尾部损失进行充分估计，才能用以计算CVaR。因而，测度过程中对损益分布的尾部损失度量是相对充分和完整的，尤其是在损益分布并非正态分布的情况，CVaR比VaR能够更加全面、有效地刻画损失分布的数理特征。此外，由于CVaR的计算是建立在VaR基础之上的，所以在得到CVaR值的同时，也可以获得相应的VaR值，故而能够针对风险实施双重监测，也便于相互
18、校验。由上可知，与VaR体系相比，CVaR测度方法具有良好的次可加性，能够较好满足凸性的要求，且其线形规划的全局最优化结果可同时得到VaR值与CVaR值( CVaRVaR)，由此实现了对真实损失超过了VaR的度量。1.2 CVaR风险测度原理符号说明：x：是控制变量，y：代表不确定因素的随机变量，：为置信水平对于每一个x，相应y的损失函数f（x,y）。其中, y 的密度函数为p(y)，为使问题简化，先假定p(y)是连续的。如y 是一已知分布的随机变量, 则f (x, y)就是依赖于y的随机变量。用表示损益函数f (x, y) 的概率分布函数为: (1)在p(y)连续的前提下, 显然也是连续的。
19、在给定 (0 1)内, 投资组合风险的VaR值定义为:VaR (x): (x,) = min; (2)由于CVaR为损失超过VaR的条件均值, 则将CVaR定义为:CVaR (x): (x)= （3）CVaR对损益分布的尾部损失度量是相对充分和完整的，尤其风险因子在非对称分布情况下，CVaR比VaR能够更全面有效地刻画损失分布的特征。如给定置信水平c=95%，CVaR就是那5%的最大损失的平均值，故CVaR不会小于VaR。在投资组合优化时，降低CVaR的同时 也降低了VaR，反之则不然。1.3 CVaR的检验对于CVaR的检验，是相对于VaR值而言。主要是测量超过VaR值的损失值与CVaR值之
20、差的大小，可采用绝对额指标或相对数指标，本文则采用的是绝对额指标，可定义DCL检验指标：DCL=表示损失的平均数与CVaR平均数之差的绝对值，其中X是大于VaR值的实际损失（在实际的计算过程中，需要对亏损额取绝对值），N即上面的失败天数，且DLC值的大小与CVaR模型优劣成反比，该值愈小，模型愈佳。第2章 CVaR法在市场风险度量中的运用2.1计算方法在计算VaR值时，通常有两种方法，在已知分布时采用参数估计方法来确定VaR值；未知时则用非参数方法。参数方法主要包括单一资产不同分布法，投资组合多元正态法（即协方差矩阵法）和极值理论方法；非参数方法，主要包括历史模拟法和蒙特卡罗模拟法等。而大量实
21、证研究表明，金融资产的收益存在着尖峰厚尾特征、波动集聚性、非对称性，在对计算VaR值的各种方法优缺点进行比较的基础上，同时考虑对H股股指期货收益波动的研究仅仅是对单资产的风险测量问题，故选择参数方法中的单资产不同分布方法计算VaR值。又因在对资产收益波动性的计算中，加权移动平均法中对权重的赋予过于简单，而指数加权移动平均法又往往受衰退因子的影响，二者都难以很好地反映资产收益率的尖峰厚尾和波动集群性特征，故本文采用GARCH族模型研究收益率的波动情况。2.1.1 GARCH族模型若一个随机变量有恒定的方差，则称之为同方差，反之则为异方差。而金融资产、利率、汇率等波动序列，往往没有恒定的均值和方差
22、，资产持有者感兴趣的是持有期间内的收益波动，故对风险的前瞻性说明，能够估计和预测持有某一特定资产风险显得非常必要。而条件异方差可以估计为一个自回归过程，即 ARCH模型。其他学者在其基础上又提出了广义自回归条件异方差模型，即引入了一种允许条件方差转化为一个ARMA过程的方法。在模型中具体包括：均值方程：条件方差方程： GARCH(1,1)中。P=1,q=1,即在上述三个公式中，为收益率，为残差，为条件标准差，为常数项，与为各期参数，p是GARCH项的最大滞后阶数，q是ARCH项的最大滞后阶数。在GARCH(1,1)中，为保证其宽平稳性，。2.1.2基于GARCH族模型中残差t分布下VaR和CV
23、aR值的计算GARCH模型中的残差分布常假定正态分布，但正态分布不足以反映股市收益率序列的厚尾特征。例如某一特定股票的收益率较正态分布给出的概率有更大的可能性遭受重大损失（或重大获利），即产生了所谓的” 非正态误差”。故尝试t分布和广义误差分布来反映厚尾分布。正态分布密度函数较常见，为自由度参数，d趋于无穷大时，分布收敛于正态分布。在收益残差t分布下，在参数方法中，计算VaR值的公式为：，计算CVaR值的公式为：，式中为资产的前一期价值；为当期条件方差的标准差，本文根据GARCH族模型计算而得；表示对应于某一置信水平a的分位数，并且都是取单尾，在不同的分布下，有不同的取值；t为资产持有当期；d
24、为自由度参数，在d趋于无穷大时，T分布收敛于正态分布。2.2 模型求解本文数据选取2004年3月3日至2012年5月22日上海证券交易所上证180的交易数据。样本容量共有2000个，采用Eviews6.0和Excel对数据进行分析。上证180日收益率定义为，其中，为上证180当日交易的收盘价格。收盘价格分布如下：图2-1 收盘价分布图图2-2 收益率分布图图2-1是利用Eviews6.0软件对2004年3月3日至2012年5月22日上证180的2000个收盘价数据作图。由图2-2可知，图形的偏态为-0.3，可知其偏斜度较小，表现为左偏，其峰度值为5.74，可知其表现为尖峰，则由图2-1和2-2
25、知该图形是呈尖峰厚尾状，这些数据并非服从正态分布。图2-3 收益率r的波动图由收益率公式可知，运行已知数据，可得当天的收益率具体数值。对这些数据作图，如图2-3。从图形中可以看出，这些数据的分布具有波动集群现象，于是我们可以考虑用GARCH模型来求解VaR和CVaR。图2-4 r的ADF平稳性检验图2-4是对收益率r进行平稳性检验。从结果可以看出ADF检验值比三个置信水平下的测试临界值都要小，表明r是平稳序列。图2-5 r的正态分布检验图2-6 r的t分布检验由图2-5知，假设收益率服从正态分布，则由假设检验可知，拒绝其成立的概率为26.57%；由图2-6知，假设收益率服从t分布，则由假设检验
26、可知，拒绝其成立的概率为9.06%；所以比较可知，收益率在5%的显著性水平下服从t分布。图2-7 序列r的自相关和偏相关图图2-7是对r进行自回归项和移动平均项检验。其中比0.045大的有地11和15项，再进行方程估计，如下图：图2-8 序列r的方程估计由以上结果得出EGARCH模型的结果可以表示为：条件均值方程：条件方差方程为：，运行Eviews6.0软件可知当期的条件方差。利用Eviews6.0软件可以很好地求出方差，由于已知VaR和CVaR的公式，可以借用Excel来进行求解。所有的数据可以参照附录。结论与展望风险是人们在投资上所要考虑的首要问题，人们在投资时希望尽可能的减少风险，然而风
27、险是不未知的，也是难以知晓的，人们一直以来只能是通过一系列的方法去估计它，从而在一定限度内预料风险值。本课题则是通过现在国际上较为通用的方法来进行风险的度量，即CVaR度量法。通过模型，对上证180的2000个交易数据进行模拟发现，在一定的置信区间内，CVaR估计的结果精确度较高。在附录中可知，VaR风险度量法对这2000个数据进行模拟，预测成功的概率为90.55%，而置信度为95%，可以得到VaR预测的结果的可靠性较低；而CVaR预测成功的概率为95.25%。显而易见，在相同的置信度下，CVaR预测的结果更为可靠。目前，我国对于风险度量的方法的选取，主要还是依靠国外的经验。国外对于VaR风险
28、度量法的应用已经是相当的熟练，并在CVaR风险度量法的应用上有了一定的成就。本文对时下流行的证券VaR风险度量技术进行了较为全面的介绍，指出其理论缺陷和使用局限。为此，提出了以CVaR模型作为VaR的一种风险度量替代方法，详细分析了CVaR的原理、特长等，突出其在证券业风险度量、绩效分析和行为指引等方面的作用，并且研究了CVaR在国内证券业的实际应用。诚然，目前CVaR尚未成为金融业的一项公认标准，除了在保险业有所研究和应用之外，鲜见于有关证券业的中外文献。但是，正如本文的研究结果所示，CVaR本身具有厚实的理论根基和鲜明的可操作性，在风险度量方面比VaR更为有效、合理。因此，相信在不久的将来
29、，这项技术会被银行业逐步认可并加以运用，在实践中接受检验和不断改进。致谢 四年的读书生活即将在这个季节划上一个句号，而对于我的人生却还只是一个逗号，我将面对又一次征程的开始。四年的求学生涯，在师长、亲友的大力支持下，走得辛苦却也收获满囊。在论文即将付梓之际，思绪万千。伟人、名人为我所崇拜，可是我更急切地要把我的敬意和赞美献给一位平凡的人，我的导师。我不是您最出色的学生，而您却是我最尊敬的老师。您治学严谨，学识渊博，思想深邃，视野雄阔，为我营造了一种良好的精神氛围与学习氛围，让我感受颇多。授人以鱼不如授人以渔，置身其间，耳濡目染，潜移默化，使我不仅接受了全新的思想观念，树立了宏伟的学术目标，领会
30、了基本的思考方式。从论文题目的选定到论文写作的指导，经由您悉心的点拨，再经思考后的领悟，常常让我有“山重水复疑无路,柳暗花明又一村”的感觉。 感谢我的爸爸妈妈，焉得谖草，言树之背，养育之恩，无以回报，你们永远健康快乐是我最大的心愿。从开始进入课题到论文的顺利完成，有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意！同时也感谢学院为我提供良好的做毕业设计的环境。 最后再一次感谢所有在毕业设计中曾经帮助过我的良师益友和同学，以及在设计中被我引用或参考的论著的作者。参考文献1 郭丹.金融市场风险测量的优化模型研究D.西北工业大学硕士学位论文， 2004. 2 张金清著.金融风险管
31、理 M.上海：复旦大学出版社,2009,6. 3 Robert J. Powell & David E. Allen, CVaR and Credit Risk Measurement J.School of Accounting, Finance and Economics,2009,(1).4 黄芳芳，范辉，金琴. CVaR模型在资产投资组合优化中的应用D. 中国地质大学（武汉）研究生院,2011,6. 5 胡杰，郭晓辉，邱亚光. VaR与CVaR在商业银行风险度量中的比较分析及应用J. 中国学术期刊电子出版社,2005. 6 田玲著.德国商业银行风险管理研究M.北京：科学出版社,2004
32、年版：95.7 皮埃特罗潘泽，维普K班塞尔.用VaR度量市场风险M.北京：机械工业出版社,2001.8 Cebenoyan，A.Sinan；Strahan，Philip E.Risk management，capital structure and lending at banksJ.Journal of Banking and Finance,2004,(1). 9 夏红芳.商业银行信用风险度量与管理研究M.杭州：浙江大学出版社,2009.10于立勇.商业银行信用风险评估M.北京：北京大学出版社,2007.11宋博.基于GARCH族模型的VaR计算D.南京:南京理工大学.2004,60-61
33、.附录A外文：Short-Term Investment Risk Measurement Using VaR and CVaR Virgilijus Sakalauskas and Dalia Kriksciuniene Department of Informatics, Vilnius University, Muitines 8, 44280 Kaunas, Lithuania virgilijus.sakalauskas, dalia.kriksciunienevukhf.lt Abstract. The article studies the short-term investme
34、nt risk in currency market. We present the econometric model for measuring the market risk using Value at Risk (VaR) and conditional VaR (CVaR). Our main goals are to examine the risk of hourly time intervals and propose to use seasonal decomposition for calculation of the corresponding VaR and CVaR
35、 values. The suggested method is tested using empirical data with long position EUR/USD exchange hourly rate. Key words. CVaR ; VaR ; 1 IntroductionTrading in the stock and currency markets has many common features, yet these markets have major differences as well. Currency market has higher volatil
36、ity, which causes higher risks of trade. There are many reasons which cause substantial volatility of the currency market. * The transactions, related to the pairs of currencies exchanged, have much more trading partners, comparing to the stock trading. * Currency exchange attracts much more instant
37、, even unqualified traders, while stocks trading requires at least basic minimal financial knowledge. * The rearrangement of stock portfolio is related to quite big taxes, comparing to relatively liberate tax policy in currency trading. The traditional way of risk estimation in the stock markets is
38、based on periodic risk evaluations on daily basis or even by taking longer periods. This practice is in most cases based on empirical experience and is convenient for application in trading stocks. Yet even most simple analysis of currency markets indicates, that this kind of risk evaluation could b
39、e not sufficient, as during the period of 24 hours it changes several times: for particular hours it can differ even up to four times, as it is further shown in this article. The paper aims at the estimation of the market risk for the short-term investments in currency market by suggesting the modif
40、ied RiskMetrics model, based on risk evaluation according to hourly profit alterations of the financial instrument.The sec-ond part of the article describes and evaluates the theoretical settings for risk analysis in the currency markets by applying traditional models. The econometric description an
41、d substantiation of the suggested model is presented in part 3. The fourth part presents experimental verification of the method using FOREX historical data of EUR/USD hourly exchange rate fluctuations.2 Theoretical Assumptions and NotationsOne of the most widely used factors for market risk measure
42、ment is Value at Risk (VaR), which is extensively discussed in scientific literature starting already from the 1990. Historically, the concept of the Value-at-Risk is related to the covariance calcu-lation method that was first adopted by the J.P.Morgan Bank as a branch standard, called RiskMetrics
43、model 15. The VaR measure means the biggest loss of invest-ment R during the time interval, at the fixed rate of probability p of unfavorable event: where p in most cases is selected as 0.01 or 0.05 (or 1% or 5%). The loss of investment R is understood as negative difference of the buying price and
44、the selling price：In the article profitability is denoted as . The VaR measurement is very popular for its relative simplicity of interpretation, as risk can be evaluated by single value- the loss rate at the occurrence of the unfavorable low-probability event. This brought the VaR measure acceptanc
45、e almost as standard value, recognized by many researchers. Together with these advantages, application of VaR has disadvantages as well. One of the main drawbacks is absence of subadditivity feature: the sum of VaR measurements of two portfolios can be less, than the risk of value change of the joint portfolio. VaR measurements are also limited to estimating of the marginal loss and do not indicate to other occurrence
