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1、1.1 任意角和弧度制,1.1.1 任意角,第一章 三角函数,高中新课程数学必修,知识探究（一）：角的概念的推广,思考2：如图，一条射线的端点是O，它从起始位置OA旋转到终止位置OB，形成了一个角，其中点O，射线OA、OB分别叫什么名称？,思考3：为了区分形成角的两种不同的旋转方向，可以作怎样的规定？如果一条射线没有作任何旋转，它还形成一个角吗？,规定：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角如果一条射线没有作任何旋转，则称它形成了一个零角.,角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角,在不引起混淆的情况下，“角”或“”可以简化成“”；,如果是零角=0,零角的终边与始
2、边重合；,注意,画图表示一个大小一定的角，先画一条射线作为角的始边，再由角的正负确定角的旋转方向，再由角的绝对值大小确定角的旋转量，画出角的终边，并用带箭头的螺旋线加以标注.,思考4：度量一个角的大小，既要考虑旋转方向，又要考虑旋转量，通过上述规定，角的范围就扩展到了任意大小.对于210，150，660，你能用图形表示这些角吗？你能总结一下作图的要点吗？,思考5：如果你的手表慢了20分钟，或快了1.25小时，你应该将分钟分别旋转多少度才能将时间校准？,120，450.,12,9,6,3,思考7：一个角的始边与终边可以重合吗？如果可以，这样的角的大小有什么特点？,k360（kZ）,思考6：任意两
3、个角的数量大小可以相加、相减，如 5080=130，5080=30，你能解释一下这两个式子的几何意义吗？,以50角的终边为始边，逆时针（或顺时针）旋转80所成的角.,知识探究（二）：象限角,思考1：为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系内讨论角，并使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合，那么对一个任意角，角的终边可能落在哪些位置？,思考2：如果角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于如何象限，或称这个角为轴线角.那么下列各角：-50，405，210,-200，450分别是第几象限的角？,450,思考3：锐角与第一象限的角是什么
4、逻辑关系？钝角与第二象限的角是什么逻辑关系？直角与轴线角是什么逻辑关系？,思考4：第二象限的角一定比第一象限的角大吗？,象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小.,思考5：在直角坐标系中，135角的终边在什么位置？终边在该位置的角一定是135吗？,练习,1、下列命题正确的是（）A、终边相同的角一定相等B、第一象限角都是锐角C、锐角都是第一象限角D、小于90的角都是锐角,2、A=小于90的角，B=第一象限角，则AB=（）A、锐角B、小于90的角C、第一象限角D、以上都不对,3、已知角是第三象限角，则角-的终边在（）A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限,4、若是第二象限的
5、角，则1800-是（）A 第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限,5、已知角的终边在下图中阴影所表示的范围内（不包括边界），那么,知识探究（三）：终边相同的角,思考1：32，328，392是第几象限的角？这些角有什么内在联系？,32,392,328,思考2：与32角终边相同的角有多少个？这些角与32角在数量上相差多少？,思考3：所有与32角终边相同的角，连同32角在内，可构成一个集合S，你能用描述法表示集合S吗？,S=|=k360，kZ，即任一与终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和.,思考4：一般地，所有与角终边相同的角，连同角在内所构成的集合S可以怎样表示？,（3）下列角的终边
6、相同的是（）,A,与,与,与,与,B,C,D,思考5：终边在x轴正半轴、负半轴，y轴正半轴、负半轴上的角分别如何表示？,x轴正半轴：=k360，kZ；x轴负半轴：=180k360，kZ；y轴正半轴：=90k360，kZ；y轴负半轴：=270k360，kZ.,思考6：终边在x轴、y轴上的角的集合分别如何表示？,终边在x轴上：S=|=k180，kZ；终边在y轴上：S=|=90k180，kZ.,思考7：第一、二、三、四象限的角的集合分别如何表示？,第一象限：S=|k36090k360，kZ；第二象限：S=|90k360180k360，kZ；第三象限：S=|180k360270k360，kZ；第四象限
7、：S=|90k360k360，kZ.,思考8：如果是第二象限的角，那么2、/2分别是第几象限的角？,90k360180k360,180k7202360k720,45k180/290k180,理论迁移,例1 在0360范围内，找出与95012角终边相同的角，并判定它是第几象限角.,12948，第二象限角.,S=|=45k180，kZ.315，-135，45，225，405，585.,例2 写出终边在直线y=x上的角的集合S，并把S中适合不等式-360 720的元素写出来.,理论迁移,例1 在0360范围内，找出与95012角终边相同的角，并判定它是第几象限角.,12948，第二象限角.,例2 求
8、与3900终边相同的最小正角和最大负角.,300，-60.,S=|=45k180，kZ.,例3 写出终边在直线y=x上的角的集合S，并把S中适合不等式-360 720的元素写出来.,315，-135，45，225，405，585.,例4 已知角的终边与30角的终边关于x轴对称，试在0360范围内，找出与 终边相同的角.,110，230，350.,弧度制,探究1：弧度的概念,思考1：在平面几何中，1的角是怎样定义的？,将圆周分成360等份，每一段圆弧所对的圆心角就是1的角.,思考2：在半径为r的圆中，圆心角n所对的圆弧长如何计算？,思考3：如图，把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，
9、记作1rad，读作1弧度.那么，1弧度圆心角的大小与所在圆的半径的大小是否有关？为什么？,思考4：约定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为0.如果将半径为r圆的一条半径OA，绕圆心顺时针旋转到OB，若弧AB长为2r，那么AOB的大小为多少弧度？,2rad.,B,2r,思考5：如果半径为r的圆的圆心角所对的弧长为l，那么，角的弧度数的绝对值如何计算？,弧度制的性质,角的弧度数的绝对值|=,整圆所对的圆心角为,半圆所对的圆心角为,正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是零,思考6：半径为r的圆的圆心与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，交圆于点A，终边
10、与圆交于点B，下表中AOB的弧度数分别是多少？,-1,-2,探究（二）：度与弧度的换算,思考1：一个圆周角以度为单位度量是多少度？以弧度为单位度量是多少弧度？由此可得度与弧度有怎样的换算关系？,思考2：根据上述关系，1等于多少弧度？1rad等于多少度？,180 rad.,思考3：根据度与弧度的换算关系，下表中各特殊角对应的弧度数分别是多少？,今后用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常略去不写，而只写该角所对应的弧度数.如=2表示是2rad的角.,思考4：在弧度制下，角的集合与实数集R之间可以建立一个一一对应关系，这个对应关系是如何理解的？,0,思考5：已知一个扇形所在圆的半径为R，弧长
11、为l，圆心角为（）那么扇形的面积如何计算？,思考6：在弧度制下，与角终边相同的角如何表示？终边在坐标轴上的角如何表示？,终边x轴上：终边y轴上：,知识迁移,例1 按照下列要求，把6730化成弧度：（1）精确值；（2）精确到0.001的近似值.,（1）；（2）,解：（1）,（1）；（2）；（3）,1把下列各角化成的形式：,练习,例2(1)已知扇形的圆心角为72，半径等于20cm，求扇形的弧长和面积；（2）已知扇形的周长为10cm，面积为4cm2，求扇形的圆心角的弧度数.,1求图中公路弯道处弧的长（精确到，图中长度单位：）,练习反馈,3、已知扇形的周长为，面积为，求扇形的中心角的弧度数,2、若三角形的三个内角之比是2：3：4，求其三个内角的弧度数,小结,（1）弧度；,
