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1、第五单元 基本初等函数（）,知识体系,第一节 任意角与弧度制及任意角的三角函数,基础梳理,1.弧度制(1)弧AB的长=半径AOB=1弧度.rad=360,1 rad=.(2)扇形半径为r，圆心角的弧度数是,则这个扇形的弧长l=|r,面积S=|,周长=|r+2r.2.角的概念的推广(1)任意角的定义角可以看成平面内一条射线 所 成的图形.,绕着端点从一个位置旋转到另一个位置,(2)按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；一条射线没有作任何旋转形成的角叫做零角.(3)当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，就称这个角是第几象限角.
2、(4)所有与角终边相同的角，连同角在内，构成角的集合是|=k360+,kZ.3.任意角的三角函数设是一个任意角，的终边上任意一点P的坐标是(x,y),它与原点的距离为r(r=),那么sin=，cos=,tan=(x0).,典例分析,题型一 象限角问题,【例1】若是第二象限的角，则 是第几象限的角?是第几象限的角?2是第几象限的角?,5.三角函数值在各象限的符号,分析 由于是第二象限的角，可以利用终边相同的角的表达式表示出的范围，进而求得,2的范围，判定其所在的象限.,解 由是第二象限的角得k360+90k360+180（kZ）.(1)k180+45 k180+90（kZ）当k=2n（nZ）时，
3、n360+45 n360+90（nZ）,则 是第一象限角;当k=2n+1（nZ）时，n360+225 n360+270（nZ）,则 是第三象限角.综合、可知，是第一或第三象限角.,（2）360+30 360+60（kZ）当k=3n（nZ时）,n360+30 n360+60（nZ）,则 是第一象限角;当k=3n+1（nZ）时，n360+150 n360+180（nZ）,则 是第二象限角；当k=3n+2（nZ）时，n360+270 n360+300（nZ）,则 是第四象限角.综合、可知，是第一、第二或第四象限角.,（3）2k360+18022k360+360（kZ）.故2是第三、第四象限角或是终边
4、落在y轴的负半轴上.,举一反三,1.设为第三象限角，试判断 的符号.,学后反思 知道所在的象限，则,，所在的象限也可由象限等分法得到，下面以 为例说明.如图所示，将每一个象限二等分（若是 则三等分，）从x轴正向起按逆时针方向在各等分区域标上数字1，2，3，4，1，2，3，4；若是第一象限角，则 在标有数字1的区域内;若是第二象限角，则 在标有数字2的区域内，以此类推，则很容易确定 所在的象限.,解析:为第三象限角，2k+2k+(kZ),k+k+(kZ).当k=2n(nZ)时，2n+2n+（nZ）,此时 在第二象限，sin 0,cos 0,0；当k=2n+1(nZ)时，(2n+1)+(2n+1)
5、+(nZ),即2n+2n+(nZ),此时 在第四象限，sin 0,cos 0,0.综上可知:0.,题型二 扇形弧长、面积公式的应用,【例2】一个扇形的周长为20 cm,当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求出这个扇形的最大面积.,分析 运用扇形的面积公式和弧长公式建立函数关系，运用函数的性质来解决最值问题.,学后反思 求扇形最值的一般方法是根据扇形的面积公式，将其转化为关于半径（或圆心角）的函数表达式，进而求解.除此之外，也可直接设出两个参数，利用基本不等式求最值.,解 设扇形的半径为r，则弧长为l=20-2r,于是扇形的面积：S=(20-2r)r=-+25.当r=5时，l=1
6、0，=2(弧度),S取到最大值，此时最大值为25.故当扇形的圆心角=2弧度时，这个扇形的面积最大，最大面积是25.,举一反三,2.已知一扇形的圆心角是,所在圆的半径为r.（1）若=60，r=10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积;(2)若扇形的周长是一定值C（C 0），当为多少弧度时，该扇形有最大面积？,(2)方法一：扇形周长C=2r+l=2r+r,r=,=当且仅当=,即=2(=-2舍去)时，扇形面积有最大值.方法二：由已知2r+l=C,r=(lC),S=当l=时,此时=当扇形圆心角为2弧度时，扇形面积有最大值.,题型三 利用三角函数的定义求三角函数值,【例3】(12分)已知角的终边经过
7、点P（-4a,3a）(a0),求sin、cos、tan 的值.,分析 根据任意角三角函数的定义，应首先求出点P到原点的距离r，由于含有参数a,要注意分类讨论.,解 r=5|a|2若a0，r=5a,角在第二象限，sin=cos=tan=；.6若a0,r=-5a,角在第四象限，.8sin=,cos=,tan=12,学后反思（1）当角的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际及解题的需要对参数进行分类讨论.（2）熟记几组常用的勾股数组，如(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),(8,15,17),(9,40,41)等，会给我们解题带来很多方便.（3）若角已经给定，不论点P选择
8、在的终边上的什么位置，角的三角函数值都是确定的；另一方面，如果角终边上一点坐标已经确定，那么根据三角函数定义，角的三角函数值也都是确定的.,举一反三,3.已知角的终边过点P（-4m,3m）(m0),则2sin+cos 的值为()A.1或-1 B.或 C.1或 D.,答案：B,题型四 利用三角函数线解三角不等式,解析：当m0时，点P在第二象限，|OP|=5m,有2sin+cos=当m0时，点P在第四象限，|OP|=-5m,有2sin+cos=,【例4】解下列不等式.（1）sin;(2)cos.,分析 作出满足sin=、cos=的角的终边，然后根据已知条件确定角终边的范围.,学后反思 对形如f()
9、m或f()m的三角函数，求角的范围的问题可利用三角函数线来求解.,举一反三,4.求下列函数的定义域.（1）y=;(2)y=lg(3-4).,易错警示,（2）3-4 0,-sin x，如图2，由单位圆及三角函数线，得x(k-,k+)(kZ).,错解 由+得0,所以-0，02.由+得-,由+得-2-.,错解分析 上述解题过程分别求出、的范围所采用的做法是不等价的，扩大了范围.,正解 设2-=A(+)+B(-)(A,B为待定系数)，则2-=(A+B)+(A-B).对应两边系数得 解得所以2-=(+)+(-).又(+),-(-)-,所以-2-.,考点演练,半径为4的扇形，如果它的周长等于它所在圆的周长
10、的一半，则该扇形的面积为.,解析:设扇形的圆心角为，则有8+4=4,所以=-2,于是该扇形的面积为.,答案:8-16,11.已知角的终边在直线y=-3x上,求 的值.,解析：如图,(1)当角终边在第二象限时,取终边上一点(-1,3)，此时,x=-1,y=3,r=，,（2）当角终边在第四象限时，取点（1，-3），此时x=1,y=-3，r=,12.如图,动点P、Q从点A（4，0）出发沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转 弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转 弧度，求P、Q第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及点P、Q各自走过的弧长.,解析：设P、Q第一次相遇时所用的时间是t，则，所以t=4(秒)，即第一次相遇的时间为4秒.设第一次相遇点为C，第一次相遇时点P已运动到终边在 的位置，则,所以点C的坐标为（-2，-23）,点P走过的弧长为，点Q走过的弧长为.,
