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1、要点梳理1.角的有关概念(1)角:角可以看做平面内由_绕着端点从 一个位置_到另一个位置所成的_.旋转开始 时的射线叫做角的_,旋转终止时的射线叫做 角的_,射线的端点叫做角的_.(2)角的分类:角分_、_、_(按角的旋转 方向).,3.1 任意角及任意角的三角函数,基础知识 自主学习,一条射线,旋转,图形,始边,终边,顶点,正角,零角,负角,第三编 三角函数,(3)在直角坐标系内讨论角 象限角:角的顶点为坐标原点,始边在_上,建立平面直角坐标系,这样角的终边在第几象限,就说这个角是_.象限界角:若角的终边在_上，就说这个角不属于任何象限,它叫象限界角.与角终边相同的角的集合:_.(4)弧度制
2、1弧度的角：_叫做1弧度的角.,x轴的正半轴,第几象限角,坐标轴,|=k360+,kZ,长度等于半径的圆弧所对的圆心角,规定:正角的弧度数为_,负角的弧度数为_,零角的弧度数为_,|=_,l是以角作为圆心角时所对圆弧的长,r为半径.用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.比值 与所取的r的大小_关,仅与_的大小有关.弧度与角度的换算:360=_弧度;180=_弧度.弧长公式:_,扇形面积公式:S扇形=_=_.,正数,负数,0,l=|r,无,角,2.任意角的三角函数(1)任意角的三角函数定义 设是一个任意角,角的终边上任意一点P(x,y),它与原点的距离为r(r0),那么角的正弦、余弦、正切分
3、别是:sin=_,cos=_,tan=_,它们都是以角为_,以比值为_的函数.(2)三角函数在各象限内的符号口诀是:_ _.,自变量,函数值,一全正、二,正弦、三正切、四余弦,3.设角的顶点在坐标原点,始边与x轴正半轴重合,终边与单位圆相交于点P,过P作PM垂直于x轴于M,则点M是点P在x轴上的正射影.由三角函数的定义 知,点P的坐标为(cos,sin),即P(cos,sin),其中cos=_,sin=_,单位圆与x 轴的正半轴交于点A,单位圆在A点的切线与的终 边或其反向延长线相交于点T(T),则tan=_.我们把有向线段OM、MP、AT(或AT)叫做的 _、_、_.,OM,MP,AT,余弦
4、线,正弦线,正切线,基础自测1.A=小于90的角,B=第一象限的角,则AB=_(填序号).小于90的角 090的角 第一象限的角 以上都不对 解析 小于90的角由锐角、零角、负角组成,而 第一象限角包含锐角及其他终边在第一象限的角,所以AB是由锐角和终边在第一象限的负角组成,又090的角=|090，故、都不对.,2.已知扇形的周长是6 cm,面积是2 cm2,则扇形的中 心角的弧度数是_.解析 设此扇形的半径为r,弧长是l,1或4,3.已知角终边上一点P的坐标是(2sin 2,-2cos 2),则sin=_.解析 角终边上一点P(2sin 2,-2cos 2),x=2sin 2,y=-2cos
5、 2,-cos 2,4.是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，且 cos=则sin=_.解析,【例1】若是第二象限的角，试分别确定2,的终边所在位置.判断角 在哪个象限,只需把 改写成0+k360(kZ),其中00360.解 是第二象限的角,k360+90k360+180(kZ).(1)2k360+18022k360+360(kZ),2是第三或第四象限的角,或角的终边在y轴的 非正半轴上.,典型例题 深度剖析,分析,(2)k180+45 k180+90(kZ),当k=2n(nZ)时,n360+45 n360+90;当k=2n+1(nZ)时,n360+225 n360+270.是第一或第三象限
6、的角.,(3)k120+30 k120+60(kZ),当k=3n(nZ)时,n360+30 n360+60;当k=3n+1(nZ)时,n360+150 n360+180;当k=3n+2(nZ)时,n360+270 n360+300.是第一或第二或第四象限的角.,跟踪练习1(2010淮安月考)已知为第三象限的角,则 在第_ 象限.解析 由题意得,当k=2n(nZ)时,为第二象限角;当k=2n+1(nZ)时,为第四象限角.,二或四,【例2】已知一扇形的中心角是，所在圆的半径是 R,若扇形的周长是一定值c(c0),当为多少弧度 时,该扇形有最大面积？考查扇形的面积、弧长公式,求最值需转化 为基本不等
7、式或二次函数.解 设扇形的弧长为l,则2R+l=c,即2R+R=c,当且仅当=2时,等号成立,即当为2弧度时,该扇 形有最大面积,分析,跟踪练习2 已知扇形的面积为S,当扇形的中心角为 多少弧度时,扇形的周长最小？并求出此最小值.解 设l为扇形的弧长,由 故扇形的周长 即2r2-cr+2S=0.由于r存在,故方程有解,因此有=c2-16S0,即c 周长c的最小值为 所以当扇形的中心角为2 rad时,扇形的周长最小,最小值为,【例3】(2008全国)若sin 0,则 是第_象限角.解析 sin 0,是一、三象限角.故是第三象限角.跟踪练习3 如果点P(sin cos,2cos)位于第 三象限,那
8、么角 所在的象限是第_象限.解析 因为点P(sin cos，2cos)位于第三 象限,所以sin cos 0,2cos 0,即,为第二象限角.,三,二,【例4】(14分)已知角的终边在直线3x+4y=0上,求 sin,cos,tan 的值.本题求的三角函数值.依据三角函数的定 义,可在角的终边上任取一点P(4t,-3t)(t0),求出r,由定义得出结论.解题示范 解 角的终边在直线3x+4y=0上,在角的终边上任取一点P(4t,-3t)(t0),2分 则x=4t,y=-3t,当t0时,r=5t,分析,8分 当t0时,r=-5t,12分 14分,跟踪练习4 已知角的终边在y轴上，求sin、cos
9、、tan 的值.解 角的终边在y轴上,可在的终边上任取一点(0,t)(t0),即x=0,y=t.综上可知,sin=1,cos=0,tan 不存在.,高考中主要考查对三角函数定义的理解和运用,如三 角函数值的符号选取及基本运算能力.题型多为填空题,题目难度不大.1.准确理解弧度制、三角函数的定义、象限角等基本 概念是关键.2.象限角与区间角不同，如：第一象限角与区间角(0,)不等价,后者是前者的子集.,思想方法 感悟提高,高考动态展望,方法规律总结,3.用弧度制表示终边相同的角+2k(kZ)时，式 子中是的偶数倍,而不是的整数倍,如+9与 终边不相同.4.三角函数是用比值来定义的,所以三角函数的
10、定义 域是使比值有意义的角的范围.5.三角函数定义及所在象限的符号是三角函数两大重 要概念,利用三角函数的定义解三角题是一种最基 本的方法.6.在扇形的有关问题中,要充分揭示图形的性质及联 系,抓住圆心角、半径、弧长、面积这些量中知二 求其余的关键.,一、填空题1.(2009江苏常州一模)已知角是第三象限角,则 角-的终边在第_象限.解析 是第三象限角,k360+180k360+270,kZ,则-k360-270-k360-180,kZ,则-的终边在第二象限.,二,定时检测,2.(2010连云港模拟)与610角终边相同的角表示 为_.解析 与610角终边相同的角为n360+610=n360+3
11、60+250=(n+1)360+250=k360+250(kZ,nZ).,k360+250(kZ),3.(2010浙江潮州月考)已知 则 所在 象限为第_象限.解析 sin 2 0,2k2+2k(kZ),k+k(kZ).表示第一或第三象限的角.,一或三,4.(2010南通模拟)已知角 的终边经过点 P(-4cos,3cos)则sin+cos=_.解析=5|cos|=-5cos,5.（2010福州调研）已知 且sin+cos=a,其中a(0,1),则关于tan 的值，以下 四个答案中,可能正确的是_(填序号).解析 在单位圆中,由三角函数线可知a0,sin+cos 0,tan(-1,0).,6.
12、(2009江西九江模拟)若角的终边与直线y=3x 重合且sin 0,又P(m,n)是角终边上一点,且|OP|=则m-n=_.解析 依题意知 解得:m=1,n=3或m=-1,n=-3,又sin 0,的终边在第三象限,n0,m=-1,n=-3,m-n=2.,2,7.(2010山东济南月考)已知角的终边落在直线 y=-3x(x0,P在第二象限,2,8.(2010南京模拟)某时钟的秒针端点A到中心点O 的距离为5 cm,秒针均匀地绕点O旋转,当时间t=0 时,点A与钟面上标12的点B重合.将A、B两点间的 距离d(cm)表示成t(s)的函数,则d=_,其中t0,60.解析 将解析式可写为 的形式,由题
13、意易知A=10,当t=0时,d=0,得=0;当t=30时,d=10,可得,9.(2010泰州模拟)若0”,“”或“=”填空).解析 利用数形结合,作出 在 的图象,同时作出x(0,)内的正 弦线,由图象易得答案.,二、解答题10.（2010镇江模拟）已知角 的终边上一点 P(,m)，且sin=求cos 与tan 的值.解 若m=0,则cos=-1,tan=0.,综上可知,当m=0时,cos=-1,tan=0;,11.(2010江苏南京模拟)在单位圆中画出适合下列 条件的角的终边的范围,并由此写出角的集合:作出满足 的角的终 边,然后根据已知条件确定角终边的范围.解(1)作直线 交单位圆 于A、B两点,连结OA、OB，则 OA与OB围成的区域即为角的 终边的范围,故满足条件的角 的集合为,分析,(2)作直线 交单位圆于C、D 两点，连结OC、OD,则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角终边的范围.故满足条件的角的集合为,12.(2010佳木斯模拟)角终边上的点P与A(a,2a)关于x轴对称(a0),角终边上的点Q与A关于直 线y=x对称,求sin cos+sin cos+tan tan 的值.解 由题意得,点P的坐标为(a,-2a),点Q的坐标为(2a,a).,返回,
