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1、1.2 任意角的三角函数,1.2.1 任意角的三角函数,1.在初中我们是如何定义锐角三角函数的？,复习回顾,y,x,2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？,新课导入,y,x,2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？,o,如果改变点在终边上的位置，这三个比值会改变吗？,探究：,M,O,y,x,P(a,b),1.锐角三角函数（在单位圆中）,2.任意角的三角函数定义,设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点,那么:（1）叫做 的正弦，记作，即；,（2）叫做 的余弦，记作，即；,（3）叫做 的正切，记作，即。,所以，正弦，余弦，正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值
2、的函数，我们将他们称为三角函数.,使比值有意义的角的集合即为三角函数的定义域.,说 明,.,（3）由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关 系，三角函数可以看成是自变量为实数的函数.,例1.求 的正弦、余弦和正切值.,的终边与单位圆的交点坐标为,所以,设角 是一个任意角，是终边上的任意一点，点 与原点的距离.,那么 叫做 的正弦，即,叫做 的余弦，即,叫做 的正弦，即,任意角 的三角函数值仅与 有关，而与点 在角的终边上的位置无关.,定义推广,例2.已知角 的终边经过点，求角 的正弦、余弦和正切值.,解:由已知可得,设角 的终边与单位圆交于，,于是，,于是，,巩固提高,练习:1.已知角 的终
3、边过点，求 的三个三角函数值.,解：由已知可得：,R,2.确定三角函数值在各象限的符号,+,R,口诀“一全正,二正弦，三正切,四余弦.”,+,-,-,+,-,-,+,+,-,+,-,y,x,o,+,-,+,-,全为+,记法：,一全正,二正弦,三正切,四余弦,三个三角函数在各象限的符号,角定象限,象限定符号.,例3.求证：当且仅当下列不等式组成立时，角 为第三象限角.,证明：,因为式 成立,所以 角的终边可能位于第三 或第四象限，也可能位于y 轴的非正半轴上；,又因为式 成立，所以角 的终边可能位于第一或第三象限.,因为式都成立，所以角 的终边只能位于第三象限.于是角 为第三象限角.,反过来请同
4、学们自己证明.,思考：,如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何关系？,终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）,其中,利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求 角的三角函数值.,（1）因为 是第三象限角，所以；,（3）因为=而 是第一象限角，所以,解：,（2）因为 是第四象限角，所以,解：,下面我们再从图形角度认识一下三角函数,思考:为了去掉等式中得绝对值符号，能否 给线段OM、MP规定一个适当的方向,使它们的取值与点P的坐标一致？,我们把带有方向的线段叫有向线段.(规定:与坐标轴相同的方向为正方向).,M,P,的终边,=,MP,这几条与单位圆有关的有向线段分别叫做角
5、的正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线.,当角的终边在轴上时，正弦线、正切线分别变成一个点；此时角 的正弦值和正切值都为0,当角的终边在轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在此时角 的正切值不存在。,MP是正弦线,OM是余弦线,AT是正切线,M,P,A,T,例 题 示 范,例2.作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线,（1）；（2）,例1.在0 内，求使 成立的的取值范围.,例利用单位圆寻找适合下列条件的0到360的角.,30150,解:,3090或210270,A,B,o,S2 S1,P2,P1,M1,例.利用三角函数线比较下列各组数的大小：,解：如图可知：,M2,A,B,o,T2,T1,S2 S1,例.利用三角函数线比较下列各组数的大小：,解：如图可知：,练习,
