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1、证明,解,例 讨论交错级数 的敛散性.,且,收敛,且其和为,类似得,均收敛.,例 讨论级数 的敛散性.,又,解,即,收敛.,例 讨论级数 的敛散性.,解,又,故函数 单减,从而,所以原级数收敛.,注意,2.莱布尼兹定理的两个条件仅是充分条件,但 也是必要条件.,证明,解,注意:,结论：级数逐项取绝对值后收敛，原级数收敛,解,例 判别下列级数是否收敛,若收敛,是绝对收敛还是条件收敛?,已证明了 收敛.,发散,从而原级数条件收敛.,从而原级数发散.,思考：用Leibiniz判别法可以证明此级数发散吗？,补充定理 如果任意项级数,满足条件,绝对收敛级数的性质,1、级数的重排,映射,称为正整数列的重排
2、。,定理3,证*,即：绝对收敛的级数对加法有交换律。,由（1）的证明得：,命题2：收敛的正项级数经过重排后仍收敛于原来的和,下面证明两个级数的和相等。,前面已证收敛的正项级数重排后和不变，,命题1：绝对收敛的级数的和等于它的所有正项组成的级数的和加上它的所有的负项组成的级数的和,命题：,同时可以证明：,命题：,证,矛盾！,绝对收敛级数 与 条件收敛级数的本质差异是什么？,可以证明：条件收敛的级数，可以适当重排，使其按任意预定的方式收敛或发散。,设其收敛于A，,两个级数相加，得,2、级数的乘积,两个无穷级数如何相乘？,这两个级数中的项的所有可能的乘积为：,这些乘积可以按各种方法排成不同的级数，,
3、常用正方形顺序和对角线顺序，分别为：,“正方形”排序级数为：,“对角线”排序级数为：,定理4（柯西定理）：,则它们的乘积按任意顺序所得的级数也绝对收敛于AB.,例,考察：,按对角线顺序，得,二、阿贝耳判别法和狄利克雷判别法,引理（分部求和公式，Abel变换）：,离散型分部求和公式,证,代入即得。,解释“离散型分部求和公式”,推论（Abel引理）,（2）对任一正整数，有,证,由Cauchy准则，,（阿贝尔引理）,定理5（Dirichelet判别法）,证,注（1）,交错级数的Leibniz判别法是Dirichelet判别法的特例。,（2）用Dirichelet判别法可以证明Abel判别法。,定理6（Abel判别法）,若（1）为单调有界数列，,证,再由Cauchy准则，,证毕。,例,同理，,例,解（1）,由Dirichelet判别法，得,收敛。,（2）,由Dirichelet判别法，得,显然其收敛性取决于an的性质。,
