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1、二、绝对收敛与条件收敛,第三节,一、交错级数及其审敛法,任意项级数的审敛法,第十一章,一、交错级数及其审敛法,交错级数:,定理11.6(莱布尼茨审敛法),若交错级数满足:,则,收敛,且其和,其余项满足,1.定义,称满足条件1),2)的级数为莱布尼茨交错级数,单调增加且有上界,1 先证部分和数列S2n单调增加且有上界.,0 un 递减,证,证明思路：,故级数收敛于S,且,仍为莱布尼茨 交错级数,2 再证,又,注,1 莱布尼茨定理中的条件(1)可换成：,反例：,0,事实上，,收敛,例1 证明交错级数：,收敛，并估计其余项 rn,解,2,注 1,(第五节),绝对值级数,问题:,二、绝对收敛与条件收敛
2、,1.定义,收敛；,条件收敛,例如：,绝对收敛：,条件收敛:,发散.,收敛，但,绝对收敛,2.定理(绝对收敛与收敛的关系),证 设,收敛,收敛.,收敛,定理11.7,若级数 绝对收敛，,则该级数必收敛.,则,由收敛级数的基本性质，,注,?,由比较审敛法知,解,例2,条件收敛、,绝对收敛还是发散？,例3,解,分析,综合1,2 可知：,注,1 用莱布尼茨判别法判断交错级数,是否收敛时，要考察 un 是否单调减少，通常有以下三种方法：,由un 找一个可导函数 f(x),2 关系,?,（一般地）,但特殊地，有,定理11.9,设任意项级数,则级数,说明:,（用比值法或 根值法判）,证,例4,解,比值法判
3、定,分别为,*3.绝对收敛级数性质,*性质1(交换律),则逐项相乘,并按任意顺序排列,也绝对收敛,都绝对收敛,其和为,绝对收敛级数不因改变项的位置,而改变其和.,*性质2(分配律),其和,得到的级数,柯西乘积,1.利用部分和极限:,3.利用正项级数审敛法,比值审敛法,根值审敛法,比较审敛法,内容小结,（任意项级数审敛法）,2.利用收敛的必要条件:,4.莱布尼茨判别法:,由正项级数,收敛,能否推出,收敛?,注意,反之不成立.,例如,收敛,发散.,思考题,解,由比较法知,收敛.,发散;,收敛;,收敛.,备用题例1-1 判定下列的敛散性：,问题 上述级数的绝对值级数 是否收敛?,收敛,收敛,收敛,解,例2-1,例2-2 证明,证(1),而,收敛,收敛,因此,绝对收敛.,绝对收敛.,因此,收敛,绝对收敛.,例2-3 证明,绝对收敛.,证,例3-1,解,例3-2,则,(A)发散;(B)绝对收敛;,(C)条件收敛;(D)收敛性根据条件不能确定.,分析,选(B)错;,又,C,
