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第3节 任意项级数敛散性的判别,第七章 无穷级数,第3节 任意项级数敛散性的判别,1 级数的绝对收敛和条件收敛,定义,定理7.6,(即绝对收敛的级数必定收敛),证,un|un|,从而,2.交错级数及其敛散性,交错级数是各项正负相间的一种级数,或,其中,un 0(n=1,2,).,它的一般形式为,定义,(莱布尼兹判别法),满足条件:,(1),(2)un un+1(n=1,2,),则交错级数收敛,且其和 S 的值小于 u1.,(级数收敛的必要条件),定理7.7,若交错级数,(单调减少),0(由已知条件),只需证级数部分和 Sn 当 n 时极限存在.,证,1)取交错级前 2m 项之和,由条件(2)：,得 S2m 及,由极限存在准则：,un un+1,un 0,2)取交错级数的前 2m+1 项之和,由条件1):,综上所述,有,讨论级数,的敛散性.,这是一个交错级数：,又,由莱布尼兹判别法,该级数是收敛.,解,例1,解,由莱布尼茨判别法,原级数收敛.,例2,(达朗贝尔判别法),解,由 P 级数的敛散性：,即原级数绝对收敛.,例3,解,由调和级数的发散性可知,例4,但原级数是一个交错级数,且满足：,故原级数是条件收敛,不是绝对收敛的.,由莱布尼兹判别法可知,该交错级数收敛.,
