优化建模与LINGO第08章.ppt
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1、优化建模与LINDO/LINGO软件第 8 章目标规划模型,内容提要,8.1 线性规划与目标规划8.2 目标规划的数学模型8.3 目标规划模型的实例8.4 数据包络分析,8.1 线性规划与目标规划,线性规划通常考虑一个目标函数(问题简单),目标规划考虑多个目标函数(问题复杂),线性规划,目标规划,某企业生产甲、乙两种产品,需要用到A,B,C三种设备,关于产品的盈利与使用设备的工时及限制如下表所示。,例8.1 生产安排问题,问该企业应如何安排生产,使得在计划期内总利润最大?,1.线性规划建模,该例8.1是一个线性规划问题,直接考虑它的线性规划模型,设甲、乙产品的产量分别为x1,x2,建立线性规划
2、模型:,用Lindo或Lingo软件求解,得到最优解,2.目标规划建模,在上例8.1中,企业的经营目标不仅要考虑利润,还需要考虑多个方面,因此增加下列因素(目标):,力求使利润指标不低于1500元,考虑到市场需求,甲、乙两种产品的产量比应尽量保持1:2,设备A为贵重设备,严格禁止超时使用,设备C可以适当加班,但要控制;设备B既要求充分利用,又尽可能不加班,在重要性上,设备B是设备C的3倍,从上述问题可以看出,仅用线性规划方法是不够的,需要借助于目标规划的方法进行建模求解,某汽车销售公司委托一个广告公司在电视上为其做广告,汽车销售公司提出三个目标:,例8.2 汽车广告费问题,广告公司必须决定购买
3、两种类型的电视广告展播各多少分钟?,第一个目标,至少有40万高收入的男性公民(记为HIM)看到这个广告,第二个目标,至少有60万一般收入的公民(记为LIP)看到这个广告,第三个目标,至少有35万高收入的女性公民(记为HIW)看到这个广告,广告公司可以从电视台购买两种类型的广告展播:足球赛中插播广告和电视系列剧插播广告。广告公司最多花费60万元的电视广告费。每一类广告展播每一分钟的花费及潜在的观众人数如下表所示,3.尝试线性规划建模,对于例8.2考虑建立线性规划模型,设x1,x2分别是足球赛和电视系列剧中插播的分钟数,按照要求,可以列出相应的线性规划模型,用Lindo或Lingo软件求解,会发现
4、该问题不可行。,4.线性规划建模局限性,线性规划要求所有求解的问题必须满足全部的约束,而实际问题中并非所有约束都需要严格的满足;,线性规划只能处理单目标的优化问题,而对一些次目标只能转化为约束处理。但在实际问题中,目标和约束好似可以相互转化的,处理时不一定要严格区分;,线性规划在处理问题时,将各个约束(也可看作目标)的地位看成同等重要,而在实际问题中,各个目标的重要性即有层次上的差别,也有在同一层次上不同权重的差别,线性规划寻求最优解,而许多实际问题只需要找到满意解就可以了。,8.2 目标规划的数学模型,为了克服线性规划的局限性,目标规划采用如下手段:,1.设置偏差变量;2.统一处理目标与约束
5、;3.目标的优先级与权系数。,目标规划的基本概念,1.设置偏差变量,用偏差变量(Deviational variables)来表示实际值与目标值之间的差异,令-超出目标的差值,称为正偏差变量-未达到目标的差值,称为负偏差变量其中 与 至少有一个为0,约定如下:当实际值超过目标值时,有当实际值未达到目标值时,有当实际值与目标值一致时,有,2.统一处理目标与约束,在目标规划中,约束可分两类,一类是对资源有严格限制的,称为刚性约束(Hard Constraint);例如在用目标规划求解例8.1中设备A禁止超时使用,则有刚性约束,另一类是可以不严格限制的,连同原线性规划的目标,构成柔性约束(Soft
6、Constraint).例如在求解例8.1中,我们希望利润不低于1500元,则目标可表示为,求解例8.1中甲、乙两种产品的产量尽量保持1:2的比例,则目标可表示为,设备C可以适当加班,但要控制,则目标可表示为,设备B既要求充分利用,又尽可能不加班,则目标可表示为,从上面的分析可以看到:如果希望不等式保持大于等于,则极小化负偏差;如果希望不等式保持小于等于,则极小化正偏差;如果希望保持等式,则同时极小化正、负偏差,3.目标的优先级与权系数,在目标规划模型中,目标的优先分为两个层次,第一个层次是目标分成不同的优先级,在计算目标规划时,必须先优化高优先级的目标,然后再优化低优先级的目标。通常以P1,
7、P2,.表示不同的因子,并规定PkPk+1,第二个层次是目标处于同一优先级,但两个目标的权重不一样,因此两目标同时优化,用权系数的大小来表示目标重要性的差别。,解在例.1中设备A是刚性约束,其于是柔性约束首先,最重要的指标是企业的利润,将它的优先级列为第一级;其次,甲、乙两种产品的产量保持1:2的比例,列为第二级;再次,设备 B和C的工作时间要有所控制,列为第三级,设备B的重要性是设备C的三倍,因此它们的权重不一样。由此可以得到相应的目标规划模型。,目标规划模型的建立,例8.3 用目标规划方法求解例8.1,目标规划的一般模型,目标规划模型的一般数学表达式为:,求解目标规划的序贯式算法,其算法是
8、根据优先级的先后次序,将目标规划问题分解成一系列的单目标规划问题,然后再依次求解。算法8.1 对于k=1,2,q,求解单目标问题,解因为每个单目标问题都是一个线性规划问题,因此可以采用LINDO软件进行求解。按照算法8.1和例8.3目标规划模型编写单个的线性规划求解程序。求第一级目标企业利润最大,列出LINDO程序。程序名:exam0804a.ltx,例8.4 用算法8.1求解例8.3,目标,解因求出的目标函数的最优值为,即第一级偏差为.再求第二级目标,列出其LINDO程序。程序名:exam0804b.ltx,例8.4 用算法8.1求解例8.3,修改的目标,增加的约束,解因求出的目标函数的最优
9、值仍为,即第二级偏差仍为.继续求第三级目标,列出其LINDO程序。程序名:exam0804c.ltx,例8.4 用算法8.1求解例8.3,求出的目标函数的最优值为29,即第三级偏差为29,分析结果,x1为2,x2为4,DPLUS1 为100,因此目标规划的最优解为x*=(2,4),最优利润为1600.,修改的目标,增加的约束,解按照算法8.1和例8.3目标规划模型编写LINGO求解程序,列出其LINGO程序,程序名:exam0805.lg4,例8.5(继例8.4)用算法8.1求解例8.3的LINGO程序,程序运行说明,分三次求解:在做第一级目标计算时,P(1),P(2)和P(3)分别输入1,0
10、和0,Goal(1)和Goal(2)输入两个较大的数,表示这两项约束不起作用;在做第二级目标计算时,P(1),P(2)和P(3)分别输入0,1和0,由于第一级的偏差为0,因此Goal(1)为0,Goal(2)输入一个较大的数;在做第三级计算时,P(1),P(2)和P(3)分别输入0,0和1,由于第一级、第二级的偏差为0,因此Goal(1)和Goal(2)的输入值也为0。结果可以参见程序演示!,由于在例8.4中虽然给出了目标规划问题的最优解,但需要连续编几个LINDO程序,在使用时不方便,下面使用LINGO软件,编写一个通用程序。,8.3 目标规划模型的实例,前面介绍了目标规划的求解方法,接着再
11、介绍几个目标规划模型的实例。,某音像商店有5名全职售货员和4名兼职售货员。全职售货员每月工作160小时,兼职售货员每月工作80小时。根据过去的工作记录,全职售货员每小时销售CD25张,平均每小时工资15元,加班工资每小时22.5元。兼职售货员每小时销售CD10张,平均每小时工资10元,加班工资每小时10元。现在预测下月CD销售量为27500张,商店每周开门营业6天,所以可能要加班。另每出售一张CD盈利1.5元。,例8.6,该商店经理认为,保持稳定的就业水平加上必要的加班,比不加班但就业水平不稳定要好。但全职售货员如果加班过多,就会因疲劳过度而造成效率下降,因此不允许每月加班超过100小时。建立
12、相应的目标规划模型,并运用LINGO软件进行求解。,解 首先建立目标约束的优先级。P1:下月的CD销售量达到27500张;P2:限制全职售货员加班时间不超过100小时;P3:保持全体售货员充分就业,因为充分工作是良 好劳资关系的重要因素,但对全职售货员要比 兼职售货员加倍优先考虑;P4:尽量减少加班时间,但对两种售货员区别对 待,优先权因子由他们对利润的贡献而定。,例8.6,例8.6,第二,建立目标约束。(1)销售目标约束。设 x1:全体全职售货员下月的工作时间;x2:全体兼职售货员下月的工作时间;:达不到销售目标的偏差;:超过销售目标的偏差。希望下月的销售量超过27500张CD片,因此销售目
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