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1、立体几何,位置关系的判断,位置关系,二、垂直问题的证明,常见问题：,1、直线与直线垂直的证明；,2、直线与平面垂直的证明；,3、平面与平面垂直的证明；,二、垂直问题的证明,二、垂直问题的证明,一、线线垂直的判定,1、定义：两条直线所成的角为900,则两直线垂直。,2、定理：直线垂直两条平行直线中的一条,与另一条垂直。,3、三垂线定理及逆定理：垂射则垂斜;垂斜则垂射.,一、线线垂直的判定,4、线面垂直的性质:如果直线与平面垂直,那么直线与平面内的任意直线垂直。,5、如果两直线所在的向量内积为0,则两直线互相垂直.,例1、已知a、b是异面直线，a上两点A、B的距离为8，b上两点C、D的距离为6，A
2、D、BC的中点分别为M、N，且MN=5，求证：ab。,B,C,D,b,A,a,M,N,O,定义法,例2、已知三棱锥V-ABC中，侧面AVB垂直侧面BVC，VA垂直底面ABC，求证：ABBC。,V,A,B,C,D,线面垂直的性质,例3、已知三棱锥V-ABC中，VAVC，VBVC，VEAB于E，求证：CEAB。,V,A,B,E,C,线面垂直的性质,例4、已知ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为 的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角，(1)求证：ACBO1。(2)求二面角O-AC-O1的大小(课后练）.,05湖南高考试卷14分,二、线面垂直的判定,1、判定定理:一直线与平面内的两条相交直线
3、垂直,则垂直平面。,2、两平行线中的一条与平面垂直,则另一条与平面垂直。,3、面面垂直的性质：如果两平面垂直,那么其中一平面内垂直交线的直线垂直另一平面.,推1、一直线垂直两平行平面中的一个,必垂直另一个平面。,推2、两相交平面与第三平面垂直,它们的交线必垂直第三平面.,4、直线所在的方向向量与平面内两不共线向量内积为0，则线面垂直.,例1、直三棱柱ABC-A1B1C1中AC=BC=C1C=a,ACB=900,P为BB1的中点,QAB,A1QP=900,(1)求证:CQ面A1ABB1.(2)求二面角C-A1P-Q(3)求P到面A1CQ的距离.,A,B,C,P,B1,A1,Q,仿北京、福建05试
4、卷,能力提高思考题,如图，直四棱柱 ABCD-ABCD（侧棱与底面垂直 的棱柱称为直棱柱）中，底面四边 形ABCD满足什么 条件时，ACBD？,例3.,结论：当四边形ABCD的两条对角线互相垂直时，ACBD,三、面面垂直的判定,1、面面垂直的定义:如果两平面所成的角是900,那么两平面垂直。,2、面面垂直的判定：如果一平面经过另一平面的垂线,则两平面互相垂直。,3、两平面的法向量内积为0,那么两平面垂直。,D,C,例3、在四面体S-ABC中,ASC=BSC=450，ASB=600，求证：面SAC面BSC。,S,A,B,C,P,Q,R,例4、如图,AB是 O的直径,PA垂直于O所在的平面,C是
5、圆周上不同于A,B的任意一点,求证:平面PAC平面PBC.,证明:,设已知O平面为,例5、正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E，F，G，H分别是A1D1，B1C1，D1D，C1C的中点.求证：平面AH平面DF,例6、在四面体A-BCD中,BCD=900,ADB=300,BC=CD,AB面BCD，E、F分别为AC、AD的中点,(1)求证：面BEF面ABC.(2)求面BEF与面BCD所成的角.,A,B,C,D,Q,G,E,F,已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA=PB=PC试判断点P在底面ABC的射影的位置？,已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两垂直,试判断点P在底面ABC的射影
6、的位置？,已知三棱锥P-ABC的顶点P到底面三角形ABC的三条边的距离相等,试判断点P在底面ABC的射影的位置？,P,A,B,C,O,外心,垂心,内心,智力探究,直线、平面综合训练,1、空间四边形ABCD中，P、Q、R、S依次分别为四条边的中点，已知AC=，BD=，四边形PQRS的面积为，求异面直线AC与BD所成角的大小。,直线、平面,2、正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、H分别是A1B1、BB1、CD的中点，O为底面ABCD的中心，求（1）异面直线AM与CN所成角的大小；（2）异面直线AM与BD所成角的大小；（3）异面直线C1H与NO所成角的大小。,直线、平面,3、P是矩形ABCD所
7、在平面外一点，H为AD的中点，且PH平面ABCD，PAD是正三角形，E是PD的中点（1）求证：PB/平面EAC；（2）求证：AE平面PCD；（3）当AB=a，AD=时，求证：ACPB。,直线、平面,4、四棱锥PABCD中，ABCD是矩形且PA平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，（1）求证：MN/平面PAD；（2）当PM=MC时，求证：MN平面PDC；,直线、平面,5、三棱锥PABC中，PA平面ABC，M、N分别是PBC与ABC的垂心，求证：MN平面PBC。,直线、平面,6、正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是D1D、BD的中点，G在棱CD上，且4CG=CD，（1）求证：EFB
8、1C；（2）异面直线EF与C1G 所成角的大小。,直线、平面,7、如图，几何体中，EA、DC是平面ABC的垂线，ABC是边长为2的正三角形，EA=2，DC=1，F是EB的中点，（1）求证：DF/平面ABC；（2）求证：AFBD。,直线、平面,8、RtABC中,C=900,它在平面内的射影为等边A1B1C1,AA1=a,BB1=a+2,CC1=a+1，求直线AB与平面所成的角.,F,E,直线、平面,9、在正四棱锥S-ABCD中,SA=AB=a,M是SA上的点,SM:SA=1:3,ACBD=O,(1)求直线MO与SB所成的角.(2)求MO与面SBD所成的角.(3)求二面角M-CD-A,直线、平面,
9、10、在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,E是DC边的中点,沿AE将AED折起,使二面角D-AE-B为600,(1)求直线DE与面AC所成的角(2)求二面角D-CE-B,D,A,B,C,A,E,B,D,C,E,11、如图：ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱，(1)求证：BD平面ACC1A1.(2)若二面角C1-BD-C的大小为600，求BC1与AC所成角的大小。,直线、平面,D,A,B,C,D1,B1,C1,A1,奇思妙想,12、P为正四面体S-ABC的侧面SBC内一动点,且PS始终等于点P到底面ABC的距离,则P点的轨迹是,A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线,B,S,C,A,B,P
10、,e=PO/PE1,O,E,13、在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱是底面边长的2倍，P是侧棱CC1上的点。(1)求证:无论P在CC1上任何位置，总有BDAP.(2)若CC1=3C1P，求平面AB1P与ABCD所成的角。(3)P在何处时，AP在平面ACB1上的射影是B1AC平分线.,直线、平面,D,A,B,C,D1,B1,C1,A1,P,14、经过底面是菱形的直四棱柱ABCD-A/B/C/D/的顶点A作一截面AB1C1D1,分别与侧棱BB/,CC/,DD/交于B1,C1,D1,得到几何体ABCDD1C1B1,BB1=DD1,CC1=,AB=2,DAB=600。(1)求证:四边形AB1C1D1为菱形.(2)求截面AC1与底面AC所成的角.(3)求几何体ABCDD1C1B1的体积.,直线、平面,再见,
