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1、第二章 位错的弹性理论,位错具有应力场弹性应力场可由弹性理论计算包含弹性应力场、能量、线张力、相互作用力等内容,2.1 弹性力学基本知识1.弹性连续介质基本假设：变形服从胡克定律是各向同性的介质完全连续，无结构间隙已证实：适用于大部分弹性变形的点阵区域,2.记号（1）应力用应力均匀分布的六面体单元表示应力,单元体上的应力分量,正面正方向为正负面负方向为正其余应力为负,与单元体有关的坐标变换,（2）应变正应变伸长为正，缩短为负切应变 两方向间直角变小为正，变大为负,（3）位移沿坐标轴正向为正，负向为负,3.平衡微分方程,单元体平衡时,单元体受力情况,力矩平衡微分方程,由 可得：同理：即切应力互等
2、,力平衡微分方程,单元体静止时(存在体积力)：,单元体运动时：,4.应变与位移的关系,变形后的形状变化,5.应力与应变关系,或者,6.以位移分量表示平衡方程,静力平衡，无体积力,考虑应力-应变-位移关系,用位移分量表示的平衡方程,2.2 位错的应力应变场,1.螺位错的应力应变场（1）模型建立,错排模型：不方便数学处理，不采用,螺型位错的模型连续介质模型 假设晶体是各向同性的均匀连续弹性介质，位错处在无限大的连续介质中,优点：模型简单缺点：中心区不适用,应力应变场求解的一般思路,螺位错应力应变场分布,柱坐标下：特点：只有切应力，没有正应力 应力应变中心对称（与无关）应力应变与r反比,刃型位错的应
3、力应变场及模型,进一步可由胡克定律求出应变,刃型位错的应力场分布,1.同时存在正应力分量与切应力分量；2.应力分布与z无关；3.y0处为压应力 y0处为拉应力4.滑移面（y=0）只有切应力；多余半原子面处（x=0）只有正应力5.y=x与y=-x处，纯拉压状态,刃位错的等应力曲线单位G/400（1-）,混合位错的应力场,由其中的螺位错与刃位错的应力应变场叠加得到,3.位错的应变能,因何而生：畸变。又称自能 E=Ec+Ee 忽略较小的错排能Ec，E=Ee 表示为：W/L单位长度位错线的能量,如何求解：1）找出区域内应变能的体积密度函数并积分2）通过形成一个位错所做的功确定,直螺型位错的应变能 应变
4、能密度函数积分法,直刃型位错的应变能外力做功形成位错法刃型位错的应变能大于螺型位错的应变能,混合位错的应变能将b分解后分别求螺型、刃型分量的应变能后叠加,应变能概括：位错的能量可近似为弹性应变能位错的应变能正比于b2，位错可合成或分解螺型位错相对应变能更低，更容易形成位错线有尽量缩短或变直的趋势位错是热力学不稳定的晶体缺陷,4.位错的线张力,因何产生：拉长位错线必增加应变能，线张力可抵抗该变化。定义：每增加单位长度位错线引起的位错能量的增量在数值上等于单位长度位错线的能量,1）直线位错的线张力,单位长度直位错线的能量：直位错线的线张力：,2）弯曲位错的线张力,将长度为L的位错线弯曲为波浪形（波
5、长），位错线长度增加L，线张力为：,3）位错的回复力,指线张力作用下曲线位错变直的力，指向曲率中心,5.位错线的受力,位错线不仅有应力场，也可以处在外加应力场或其他晶体缺陷的应力场中可用虚功原理求解位错所受的力：外力使晶体变形所做的功=使位错受力运动所做的功,1）作用于位错线的滑移力切应力产生,在切应力（与b平行）使一小段位错线dl移动了ds距离，其作用使晶体沿滑移面产生相对滑移b作用于晶体的变形功作用于位错的机械功单位长度位错线受力,位错线受滑移力的特点：是组态力大小相等总是垂直于位错线并指向未滑移区,2）作用于刃位错线的攀移力 正应力产生,正应力（与b平行）使一小段位错线dl移动了dy距离
6、，其作用使晶体在dy厚度范围内产生相对膨胀b作用于晶体的变形功作用于位错的机械功单位长度位错线受力,位错线受攀移力的特点：是组态力大小相等攀移力方向与刃位错攀移方向一致总是垂直于位错线拉应力造成负攀移，压应力造成正攀移,3）复杂应力场中位错受力的一般表达式,复杂应力场中有一段位错线元dl，柏氏矢量为b，产生位移为ds,习题1：如图位错环将如何运动？,习题2：在如图正应力作用下，各段位错线如何运动？,6.位错间相互作用力,两平行螺位错间的相互作用力,两平行刃位错间的相互作用力,两互相平行的同号刃位错相互作用时，稳定的排列位置在滑移面的垂直面上。两互相平行的异号刃位错相互作用时，稳定的排列位置在4
7、5度分角面上。,同号与异号刃位错的滑移力,2.3 P-N 模型与 P-N 力,连续介质模型有局限性，无法适用于位错中心区晶体是各向异性的晶体有独特的点阵结构原子有独特的堆垛方式需要建立其他的模型,1.P-N模型（Peierls-Nabarro）,也称半点阵模型滑移面具有点阵结构滑移面之外看做连续介质,简单立方点阵沿滑移面上下作相对位移 b/2 后重新结合,表示晶体切开未拼时A层相对于B层同名原子的相对位移,表示晶体重新连接时A层原子沿x轴的位移，B层同名原子做等量反向位移,为连接后对应原子间的相对位移,P-N基本方程,P-N位错的宽度,刃型Peierls位错的应力场为,应力场的适用性,应力场中某一点距离位错中心的距离满足如下条件时，P-N模型与连续介质模型一致:,2.P-N位错的能量,3.晶格阻力与派纳力,实际不同位置处对位错运动的阻力是不同的：,位错在错排面上偏离某一平衡位置b（01）距离时，,单位长位错线上的晶格阻力应等于某处错排能对位置的微分：,PN应力的应用,物理意义：0k时位错运动的最大晶格阻力与晶体的实际切变强度吻合可确定晶体中的易滑移面与易滑移方向位错的可动性不同结构材料变形的难易程度,
