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1、大家晚上好,几种准则的说明,3.5 信号统计检测的性能(Performance of Statistical Detection),根据,分析似然比检测的接收机工作特性,图3.12接收机工作特性（ROC）,图3.13检测概率PD与信噪比d的关系,3.5 信号统计检测的性能(Performance of Statistical Detection),接收机工作特性的共同特点(似然比函数是x的连续函数),上凸曲线,随着门限 的增加，两种判决概率PD和PF之都会减小,工作特性某点上的斜率等于该点PD和PF所要求的检测门限值,利用接收机工作特性，可进行各种判决准则的分析和计算,PD和PF之同时增加，或
2、同时减小,曲线位于PD=PF之上,3.5 信号统计检测的性能,工作特性某点上的斜率等于该点PD和PF所要求的检测门限值,证明过程如下：,3.5 信号统计检测的性能,利用接收机工作特性，可进行各种判决准则的分析和计算,贝叶斯准则和最小错误概率准则下,根据先验概率和代价因子，求得判决门限,以 为斜率，可找到一条直线，与在给定信噪比d下的PD-PF曲线相切；,切点对应的PD和PF值，就是在给定信噪比下的两种判决概率。,3.5 信号统计检测的性能,利用接收机工作特性，可进行各种判决准则的分析和计算,极小化极大准则,按照上述公式，画出一条PD-PF直线，该直线与给定信噪比下的PD-PF工作特性曲线相交,
3、交点即是在极小化极大准则条件下的两种判决概率。,3.5 信号统计检测的性能,利用接收机工作特性，可进行各种判决准则的分析和计算,奈曼皮尔逊准则,该直线与给定信噪比下的PD-PF工作特性曲线相交,交点即是在奈曼皮尔逊准则下的两种判决概率。,贝叶斯检测，给定各种判决代价因子，且已知各假设的先验概率条件下，使平均代价最小的检测准则。,最大后验概率检测准则,贝叶斯及派生检测准则(1),贝叶斯检测，给定各种判决代价因子，且已知各假设的先验概率条件下，使平均代价最小的检测准则。,贝叶斯及派生检测准则(2),极小化极大准则,奈曼皮尔逊准则,按照似然比检测形式构建基本表达式，并在 的约束下计算最终判决门限。,
4、按照似然比检测形式构建基本表达式，并在 的约束下计算最终判决门限。,贝叶斯及派生检测准则(3),分析某种检测方法的性能时，需根据化简后的最简判决表示式进行。,计算步骤：,3.6 M元信号的统计检测(Detection of M-ary Signal),基本要求：掌握贝叶斯准则掌握最小平均错误概率准则,3.6 M元信号检测,1.Bayes 检测准则,平均代价为,寻找一种判决空间的划分方法,使平均代价最小.,3.6 M元信号检测,由于,3.6 M元信号检测,3.6 M元信号检测,3.6 M元信号检测,最小的x划分至,为保证平均风险最小，应把所有使,，即当满足,判决区域,时，判决Hi成立,3.6 M
5、元信号检测,H0成立的判决区域，是满足下面M-1个联立方程组的解,其他判决也是相同的。,3.6 M元信号检测,2.最小平均错误概率准则,正确判决代价为0，错误判决代价为1，则,最小的x划分至,为保证平均错误概率最小，应把所有使,，即当满足,判决区域,时，判决Hi成立,3.6 M元信号检测,3.最大似然检测,正确判决代价为0，错误判决代价为1，且信源的假设先验等概时，,判决规则为在M个似然函数 中，选择使,最大的假设成立。,3.6 M元信号检测,Ex3.8 在四元通信系统中，信源有四个可能的输出，即假设为 时输出1，假设为 时输出为2，假设为 时输出为3，假设为 时输出为4。各个假设的先验概率相
6、等，且正确判决代价为零，错误判决代价为1，并进行了N次独立观测。,试设计一个四元信号的最佳检测系统。信号在传输过程中叠加有均值为零，方差为 的加性高斯白噪声。,解：,根据题设条件，在信源先验等概且正确判决代价为零，错误判决代价为1的条件下，贝叶斯检测等价于最大似然检测，即使似然函数 最大的观察值划分给判决区域Ri,3.6 M元信号检测,步骤1，计算各假设下的似然函数,由于n是高斯分布随机变量，因此在H0假设下，服从高斯分布，且均值为1，方差为;在H1假设下，服从均值为2，方差为的高斯分布;在H2假设下,服从均值为3，方差为 的高斯分布;在H3假设下,服从均值为4，方差为 的高斯分布。,3.6
7、M元信号检测,步骤2，按照最大似然准则划分观察空间,上述四个似然函数，可统一写成,3.6 M元信号检测,由于,因此，判决规则转化为使,最大时，判为Hk假设成立,令,进一步转化为,最大时，判为Hk假设成立,因此，假设H0的判决区域由下列方程组确定,合并得到，当,时，判为H0假设成立。,因此，假设H1的判决区域由下列方程组确定,合并得到，当,时，判为H1假设成立。,因此，假设H2的判决区域由下列方程组确定,合并得到，当,时，判为H2假设成立。,因此，假设H2的判决区域由下列方程组确定,合并得到，当,时，判为H3假设成立。,3.6 M元信号检测(Detection of M-ary Signal),
8、Ex3.9 在三元通信系统中，信源有三个可能的输出，即假设为 时输出-A，假设为 时输出为0，假设为 时输出为A。假设正确判决代价为零，错误判决代价为1，并进行了N次独立观测，已知各假设先验等概。,试按照最小平均错误概率准则设计检测系统，并求正确判决和错误判决的概率。信号在传输过程中叠加有均值为零，方差为 的加性高斯白噪声。,解：,根据题设条件，在信源先验等概且正确判决代价为零，错误判决代价为1的条件下，贝叶斯检测等价于最大似然检测，即使似然函数 最大的观察值划分给判决区域Ri,3.6 M元信号检测,步骤1，计算各假设下的似然函数,由于n是高斯分布随机变量，因此在H0假设下，服从高斯分布，且均
9、值为-A，方差为;在H1假设下，服从均值为0，方差为的高斯分布;在H2假设下,服从均值为A，方差为 的高斯分布。,3.6 M元信号检测,步骤2，按照最大似然准则划分观察空间,上述四个似然函数，可统一写成,3.6 M元信号检测,由于,因此，判决规则转化为使,最大时，判为Hk假设成立,令,进一步转化为,最大时，判为Hk假设成立,因此，假设H0的判决区域由下列方程组确定,合并得到，当,时，判为H0假设成立。,因此，假设H1的判决区域由下列方程组确定,合并得到，当,时，判为H1假设成立。,因此，假设H2的判决区域由下列方程组确定,合并得到，当,时，判为H2假设成立。,3.7 参量信号的统计检测(Det
10、ection of Signal with unknown Parameter),基本要求：理解参量信号检测的基本概念掌握两种检测方法：广义似然比检验和贝叶斯方法简单假设检验 复合假设检验,3.7 参量信号的统计检测(Detection of Signal with unknown Parameter),1.参量信号检测的基本概念,参量信号的检测中，信源在假设Hj下输出含有未知参量,因此，在假设Hj下，观测信号表示为,3.7 参量信号的统计检测(Detection of Signal with unknown Parameter),2.广义似然比检验,先利用最大似然方法对未知参量进行估计，然后
11、利用得到的估计量按照确定信号的检测方法进行。,最大似然估计,使似然函数,达最大的 作为该参量的估计量，记为,2 广义似然比检验其方法是首先由观测信号的概率密度函数 利用最大似然估计方法求参量 的最大似然估计，所谓参量的最大似然估计，就是使似然函数达到最大的 作为未知参量的估计量，记为，然后用求得的估计量 代替 似然函数中的未知参量，使问题转变为确知信号的统计检测。这样 设在假设 下，似然函数为,其中，是未知参量。由似然函数，利用最大似然估计方法求得估计量，从而得，进而构成似然比检验 称为广义似然比检验。如果假设 是简单的，假设 是复合的，则广义似 然比检验为 关于参量的最大似然估计，将在第5章
12、中讨论。,3.7 参量信号的统计检测(Detection of Signal with unknown Parameter),例：在二元参量信号的统计检测中，两个假设下的信号分别为,其中m是信号参量，n信号是均值为零，方差为 的高斯白噪声，试给出广义似然比检测。,3.7 参量信号的统计检测(Detection of Signal with unknown Parameter),3.贝叶斯检测方法,3.1 概率密度函数已知的情况,3.2 猜测概率密度函数的情况,3.3未知参量的奈曼-皮尔逊检测,3.7 参量信号的统计检测,3.1 概率密度函数已知的情况,贝叶斯检测准则,参量信号的检测中，信源在假
13、设Hj下的条件概率密度函数为,这时候，应该用统计平均的方法，去掉随机参量随机性的影响。,参量检测中，贝叶斯检测准则为：,3.7 参量信号的统计检测(Detection of Signal with unknown Parameter),Ex3.13 在二元参量信号的统计检测中，两个假设下的信号分别为,其中m是均值为零，方差为 的高斯随机变量，n是均值为零，方差为 的高斯白噪声，试给出贝叶斯检测准则。,解：,步骤1：计算两个似然函数，构建似然比,由于n是高斯分布随机变量，因此在H0假设下，x服从高斯分布，且均值为零，方差为,在H1和给定m条件下，x服从均值为m，方差为的高斯分布。,步骤2：计算H
14、1假设下的似然函数,由于m是一高斯随机变量，有,因此：,步骤3：构建贝叶斯检测基本表达式,3.2 猜测概率密度函数的情况,随机参量的概率密度函数未知时，可以利用常识猜测一个概率分布，然后按照前述方法进行检测。,3.3 未知参量的奈曼-皮尔逊检测准则,未知参量的概率密度函数未知时，或未知参量非随机的情况下，可采用奈曼-皮尔逊准则进行检测。,在给定某个未知参量 和 约束条件下,使正确判决概率 最大的准则。,只有对任意，都获得最大值时，该类方法才可适用。,3.7 参量信号的统计检测(Detection of Signal with unknown Parameter),Ex3.14 在二元参量信号的
15、统计检测中，两个假设下的信号分别为,其中m是未知参量，n是均值为零，方差为 的高斯白噪声，试给出其奈曼-皮尔逊检测准则。,解：,步骤1：计算两个似然函数，构建似然比,由于n是高斯分布随机变量，因此在H0假设下，x服从高斯分布，且均值为零，方差为,在H1和给定m条件下，x服从均值为m，方差为的高斯分布。,步骤2：规则似然比检测表达式，并化简,3.8 信号的序列检测,基本要求,1.掌握序列检测的基本概念,3.掌握计算平均观测次数的方法,2.掌握修正奈曼-皮尔逊检测方法,3.8 信号的序列检测,1.基本原理,观测次数不固定，边观测边判决,优点在给定性能指标的要求下，可使平均观测次数最少。,即如果观测
16、到第k次还不能做出令人满意的判决，则继续进行第k+1观测,3.8 信号的序列检测,对于二元信号的检测，进行第k次观测后，会出现3种可能的结果，即,判决H1成立,判决H0成立,不进行判决，继续下一次观测,因此，需要将判决空间划分成三个判决区域，设定两个判决门限,3.8 信号的序列检测,满足,时，判为H1成立,满足,时，判为H0成立,满足,时，继续进行下一次观测,问题，如何确定上述两个门限？,基本判决规则,3.8 信号的序列检测,2.修正的奈曼-皮尔逊准则,给定两个性能指标,和,条件下，确定,序列检测条件下的两个判决门限,和,设N次观测信号构成的N维随机矢量为,对应的似然比函数为,3.8 信号的序
17、列检测,根据上述两个约束条件和似然比函数定义，序列检测准则为：,判决假设H1成立,判决假设H0成立,继续下一次观察,2.1 检测方法,3.8 信号的序列检测,2.2 判决门限确定,由于 是在H1成立条件下，判为H1成立的正确判决概率，因此,3.8 信号的序列检测,2.2 判决门限确定,由于 是在H0成立条件下，判为H0成立的正确判决概率，因此,3.8 信号的序列检测,2.2 判决门限确定,当 时，判为H1成立，又由于对应的似然比,判决门限为。所以只有当判决门限取上限时，似然比检验,才能有足够的观测次数，以满足性能指标要求。,类似地，有,3.8 信号的序列检测,3.平均观测次数,序列检测下，终止
18、观测时的观测次数与信道条件有关，因此是个随机变量。,如果各次观测是统计独立的,若在每个假设下，观测量是独立同分布的,3.8 信号的序列检测,3.8 信号的序列检测,当假设H1为真时，即信源发送假设H1时，,当假设H0为真时，即信源发送假设H0时，,3.8 信号的序列检测,3.8 信号的序列检测,3.8 信号的序列检测,3.8 信号的序列检测,注解：虽然信号的序列检测是有终止的，但有时候观测次数太大，这时候我们需要规定一个观测次数的上限Nmax；超过Nmax则转为固定观测次数的判决方式，称为可截断的序列检测。结论：对于给定的错误判决概率约束条件，这种序列检测方式所需的平均观测次数E(N|H1)和
19、E(N|H0)是最少的。,3.8 信号的序列检测,Ex3.13 在二元数字通信系统中，两个假设下的信号分别为,其中观测噪声nk是均值为零，方差为1 的高斯白噪声;各次观测独立，且观测是顺序进行的，试确定 和 的序列检测，并计算在各个假设下观测次数N的平均值。,3.8 信号的序列检测,解：步骤1，计算各假设下的似然函数,由于n是高斯分布随机变量，因此在H0假设下，服从高斯分布，且均值为0，方差为;在H1假设下，服从均值为1，方差为的高斯分布。,3.8 信号的序列检测,解：步骤2，计算两个判决门限，构建似然比检验,所以，当,当,当,判为假设H1成立。,判为假设H0成立。,不做判断，继续下次观测。,3.8 信号的序列检测,解：步骤3，化简,所以，当,当,当,判为假设H1成立。,判为假设H0成立。,不做判断，继续下次观测。,3.8 信号的序列检测,解：步骤4，计算平均观测次数,所以，采用序列检测时，平均需要4次观测。,
