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1、第3章信道容量,3.1信道的数学模型和分类,信道是信息传输的媒介或通道。信道可以看成是一个变换器，它将输入事件X变换成输出事件Y。X与Y之间是统计依赖关系。信道的数学模型：X P(y/x)Y,信道的分类按时间特性,根据输入输出事件的时间特性和集合的特点：离散信道：输入离散，输出离散连续信道：输入连续，输出连续半连续信道：输入和输出一个离散一个连续时间离散的连续信道：输入和输出分别为有限个或可数无限个取自连续集的序列,信道的分类按输入输出个数,根据信道的输入和输出个数：两端信道（两用户信道）：输入和输出均只有一个事件集；多端信道（多用户信道）：输入和输出中至少有一个具有两个或两个以上的事件集。,
2、信道的分类按信道接入,根据信道接入的不同：多元接入信道：多个不同信源的信息经编码后送入统一信道传输，接收端译码后再送给不同的信宿。如在卫星通信系统中的应用。广播信道：单一输入，多个输出。,信道的分类按统计特性,根据信道的统计特性：恒参信道：统计特性不随时间变化；随参信道：统计特性随时间变化。,信道的分类按记忆特性,根据信道的记忆特性无记忆信道：信道输出仅与当前的输入有关；有记忆信道：信道输出不仅与当前输入有关，还与过去的输入有关。,平均互信息,定义：原始信源熵与信道疑义度之差称为平均互信息含义：接收到输出符号集Y以后，平均每个符号获得的关于X的信息量。,平均互信息量等于X，Y的熵与它们的联合熵
3、之差，即I(X;Y)=H(X)+H(Y)H(X,Y)平均互信息量总大于或等于0，即I(X;Y)=I(Y;X)0X与X的平均互信息量等于X的熵，即I(X;X)=H(X)对于固定的信源分布，平均互信息量I(X;Y)是信道传递概率p(y/x)的下凸函数。对于固定的信道，平均互信息I(X;Y)是输入信源的概率分布p(x)的上凸函数。,平均互信息量,例3.2.3 分析二元对称信道,考虑二元信道,例3.2.3固定二元对称信道的平均互信息,二元对称信道的平均互信息为：定理：当信道固定，即 p 为一个固定常数时，可得出 I(X;Y)是信源分布 w 的上凸函数，如下图所示（固定二元对称信道的平均互信息）,例3.
4、2.3固定二元对称信道的平均互信息,图示曲线表明，对于固定的信道，输入符号集X的概率分布不同时，在接收端平均每个符号所获得的信息量就不同。当输入符号为等概率分布时，即 平均互信息量 I(X;Y)为最大值，这时，接收每个符号所获得的信息量最大。该定理是研究信道容量的基础。,例3.2.3固定二元对称信道的平均互信息,图示曲线表明，对于固定的信道，输入符号集X的概率分布不同时，在接收端平均每个符号所获得的信息量就不同。当输入符号为等概率分布时，即 平均互信息量 I(X;Y)为最大值，这时，接收每个符号所获得的信息量最大。该定理是研究信道容量的基础。,例3.2.3固定信源分布时的平均互信息,二元对称信
5、道的平均互信息为定理：当固定信源的概率分布 w 时，则平均互信息 I(X;Y)是信道特性 p 的下凸函数，如下图所示：,例3.2.3固定信源分布时的平均互信息,从上图可知，当二元信源固定后，改变信道特性 p 可获得不同的平均互信息I(X;Y)。当 p=1/2 时，I(X;Y)=0，即在信道输出端获得的信息最小，这意味着信源的信息全部损失在信道中，这是一种最差的信道，其噪声最大。该定理是信息率失真论的基础。,第3章信道容量,3.1信道的数学模型和分类3.2单符号离散信道的信道容量3.2.1 信道容量的定义3.2.2 几种特殊离散信道的信道容量3.2.3 离散信道容量的一般计算方法3.3多符号离散
6、信道3.4多用户信道3.5连续信道3.6信道编码定理,信道容量的定义,定义：信道容量为平均互信息的最大值其单位是比特/符号或奈特/符号。平均互信息 I(X;Y)是输入变量 X 概率分布 p(x)的上凸函数。对于一个固定的信道，总存在一种信源概率分布，使传输每一个符号平均获得的信息量，即平均互信息 I(X;Y)最大，而相应的概率分布 p(x)称为最佳输入分布。,信道容量的概念,信道容量C仅与信道的统计特性有关，与信源分布无关。I(X;Y)的值是由信道传递概率决定的。信道传递概率矩阵描述了信道的统计特性平均互信息 I(X;Y)在数值计算上表现为输入分布 p(x)的上凸函数，所以存在一个使某一特定信
7、道的信息量达到极大值信道容量C的信源。信道容量表征信道传送信息的最大能力。实际中信道传送的信息量必须小于信道容量，否则在传送过程中将会出现错误。,信息传输率R与信息传输速率Rt,R 定义为：信道中平均每个符号所能传送的信息量。单位为：比特/符号。平均互信息I(X;Y)是接收到符号Y 后平均每个符号获得的关于X 的信息量。信道的信息传输率就是平均互信息R=I(X;Y)如果平均传输一个符号为 t 秒，则信道每秒平均传输的信息量 Rt（单位：比特/秒），一般称为信息传输速率：,信道容量与信息传输速率,信道容量 C 实际上是某一个固定信道的最大的信息传输速率。如果平均传输一个符号需要 t 秒钟，则信道
8、在单位时间内平均传输的最大信息量 Ct（单位：比特/秒）为：,第3章信道容量,3.1信道的数学模型和分类3.2单符号离散信道的信道容量3.2.1 信道容量的定义3.2.2 几种特殊离散信道的信道容量3.2.3 离散信道容量的一般计算方法3.3多符号离散信道3.4多用户信道3.5连续信道3.6信道编码定理,单符号离散信道,单符号离散信道的输入和输出都是单个随机变量，其数学模型如下图：信道的输入随机变量取值于符号集X信道的输出随机变量取值于符号集Y信道的传递概率为,简单的离散无记忆信道,信道矩阵为：且满足这意味着矩阵中每一行之和为1。,几种特殊离散信道的信道容量,离散无噪信道的信道容量1、具有一一
9、对应关系的无噪信道2、具有扩展性能的无噪信道3、具有归并性能的无噪信道强对称离散信道的信道容量对称离散信道的信道容量准对称离散信道的信道容量,离散无噪信道,离散无噪信道的输出Y与输入X之间有着确定的关系，一般有以下三类：无损信道 无噪（确定）信道 无噪无损信道,损失熵H(X/Y)与噪声熵H(Y/X),无损信道,无损信道的一个输入对应多个互不相交的输出。如右图所示,1/10,无损信道的信道容量,无噪信道,无噪信道的一个输出对应着多个互不相交的输入，如右图所示。,无噪信道的信道容量,无损无噪信道,无损无噪信道的输入和输出是一一对应关系，如右图所示。,无损无噪信道,几种特殊离散信道的信道容量,离散无
10、噪信道的信道容量1、具有一一对应关系的无噪信道2、具有扩展性能的无噪信道3、具有归并性能的无噪信道强对称离散信道的信道容量对称离散信道的信道容量准对称离散信道的信道容量,离散对称信道,信道矩阵具有很强对称性的特殊信道离散输入对称信道离散输出对称信道对称信道,离散输入对称信道,定义：若一个离散无记忆信道的信道矩阵中，每一行都是其它行的同一组元素的不同排列，则称此类信道为离散输入对称信道。矩阵的行是排列的。,离散输出对称信道,定义：若一个离散无记忆信道的信道矩阵中，每一列都是其他列的同一组元素的不同排列，则称该类信道为离散输出对称信道。矩阵的列是排列的。,离散准对称信道、对称信道,定义：若一个离散
11、无记忆信道的信道矩阵中，按照信道的输出集Y(即信道矩阵的列)可以将信道划分成s个子集(子矩阵)，每个子矩阵中的每一行(列)都是其它行(列)的同一组元素的不同排列，则称这类信道为离散准对称信道。矩阵的行是可排列的，列不可排列。子矩阵具有可排列性。当划分的子集只有一个时，信道是关于输入和输出对称的，这类信道称为对称信道。矩阵具有可排列性：矩阵的行和列都是可排列的。,离散（准）对称信道举例,定理,定理：若一个离散对称信道具有 n 个输入符号，m 个输出符号，则当输入为等概分布时，达到信道容量，且,定理证明,定理证明（续）,引理：对于对称信道，只有当信道输入分布为等概分布时，输出分布才能为等概分布。根
12、据引理，对称信道的最佳输入分布为等概分布。,例,定理(准对称信道),如果一个n行m列单符号离散信道矩阵 P 的行是可排列的，列不可排列。矩阵中的m 列可分成 s 个不相交的子集分别有m1,m2,.,ms 个元素（m1+m2+.+ms=m），n行 mk,(k=1,2,.,s)列组成的子矩阵 P k 具有可排列性。该准对称信道的容量为：实现离散准对称无记忆信道信道容量的输入分布为等概分布。,准对称信道,准对称信道,例题(准对称信道),均匀信道（强对称信道）,均匀信道的几个特性,均匀信道是对称信道的一个特例；输入符号数与输出符号数相等；信道中总的错误概率为 p，对称地平均分配给 n 1 个输出符号，
13、n 为输入符号的个数；均匀信道中不仅各行之和为 1，而且各列之和也为 1一般信道各列之和不一定等于 1二元对称信道就是 n=2 的均匀信道。,均匀信道的信道容量C,例5 二元对称信道的信道容量,例5（续）,二元对称信道的信道容量,第3章信道容量,3.1信道的数学模型和分类3.2单符号离散信道的信道容量3.2.1 信道容量的定义3.2.2 几种特殊离散信道的信道容量3.2.3 离散信道容量的一般计算方法3.3多符号离散信道3.4多用户信道3.5连续信道3.6信道编码定理,一般离散信道,一般离散信道容量的计算-1,一般离散信道容量的计算-2,一般离散信道容量的计算-3,定理,定理的说明,该定理只给出了达到信道容量时，最佳输入概率分布应满足的条件，并没有给出输入符号的最佳概率分布值，因而也没有给出信道容量的数值。该定理还隐含着，达到信道容量的最佳分布并不一定是唯一的。在一些特殊情况下，常常可以利用这一定理找出所求的输入概率分布和信道容量。,一般离散信道容量的计算（续）,一般离散信道容量的计算步骤,例题：求一般信道的信道容量,例题：求一般信道的信道容量,
