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1、信道容量及其计算,1、常见的简单DMC离散信道：,二元对称信道（DSC）：输入符号X取值于0,1，输出符号取值于0,1，传递概率为,41 信道容量,二元删除信道（BEC）：输入符号X取值于 0,1，输出符号取值于 0,2,1，传递概率为,0,1,q,1-p,1-q,p,1,2,0,删除信道的必要性,2、信道容量定义,信息传输率：信道中平均每个符号所能传送的信息量。R=I(X;Y)=H(X)-H(X|Y)（bit/符号）,有时我们需要关心单位时间内（一般为秒为单位）平均传输的信息量，若平均传输一个符号需要 t 秒，则信道每秒平均传输的信息量为（速率）,I（X；Y）是输入随机变量的概率分布的上凸函
2、数，所以对于固定的信道，总存在一种信源分布，使传输每个符号平均获得的信息量最大，也就是说，每一个固定信道都有一个最大的信息传输率。信道容量定义为信道中每个符号所能传递的最大信息量，也就是最大 I(X；Y)值。,此时输入的概率分布称为最佳输入分布。,信道容量C与输入信源的概率无关（C只对应着一种信源概率分布，即最佳概率分布），它只是信道传输概率的函数（不同的转移概率对应不同的信道），只与信道的统计特性有关，所以信道容量是完全描述信道特性的参量。,信道容量表示了信道传送信息的最大能力，这个量在信息论研究中有重要意义。编码定理将证明：传送的信息量R必须小于信道容量C，否则传送过程中将会造成信息损失；
3、若RC，就可以通过编码方法保证将全部信息几乎无误地传送倒收端。,42 信道容量的计算,（1）、对称信道的容量,对称信道：信道矩阵的每一行都是由同一概率分布的 不同排列组成，并且每一列也是同一元素 集的不同的排列组成。,1/3,1/3,1/6,1/6,1/3,1/3,1/6,1/6,行,列,1/2,1/3,1/6,1/6,1/3,1/2,1/3,1/6,1/2,行,列,而以下两个矩阵不是对称的，而是准对称的。（行对称而不是列对称）,1/3,1/3,1/6,1/6,1/3,1/3,1/6,1/6,二元对称信道的容量：,例：,0.7,0.1,0.2,0.2,0.1,0.7,对于对称信道,由于信道是对
4、称的，上边的条件熵与x无关，所以,对于对称信道，输入符号的概率分布为等概时，输出符号也一定是等概的。,例：,(P 95例3.5),输出符号集个数,（2）、准对称信道的容量,准对称信道：信道矩阵（列）的子阵是对称矩阵。,定理：达到准对称离散信道信道容量的输入分布为 等概分布。,r是输入个数，n是不相交子集数，Nk是行之和，Mk是列之和,解：达到信道容量的输入分布为等概分布。,此时输出分布为：,例：求二元对称删除信道的C。（例3.8中特例）,1-q,q,q,1-q,0,1,2,（与公式计算的结果相同）,此时平均互信息就是信道容量,此例题可作为后面：一般信道容量充分必要条件定理的例子。该定理说明：只
5、要信源每个符号对于输出端Y提供相同的互信息（概率为零的除外），则此时平均互信息就是信道容量。,定理：一般离散信道的平均互信息 I(X;Y)达到极大 值的充要条件是：输入概率矢量 满足 其中 是信道输入x=k时，关于信道输 出一个字母的平均互信息，即,（3）、一般DMC容量的计算,一般信道容量的计算方法（拉格朗日乘子法）,定理1：如果信道的输入随机序列为 通过信道传输，接收到的随机序列为 若信道是无记忆的，即满足 则,（4）、扩展信道的信道容量,证明：设信道输入输出序列X和Y的一个取值为,因为信道是无记忆的：,另一方面,这里用到（全概率公式）,定理2：如果信道的输入随机序列为 通过信道传输，接收到的随机序列为 若信源是无记忆的，即满足 则,所以，如果信道和信源都是无记忆的，则,（5）、信道的组合,并联信道：两个或更多个信道并行，同时分别传送；,信道1 p(j|k),信道2 p(j|k),定理：独立并行信道的容量为各分信道容量之和。,级联信道：信道1的输出作为信道2的输入。,和信道：随机选取信道1或信道2传送，（并信道）。,定理：和信道的容量满足下式,第四讲 信道容量及其计算 结 束,
