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1、Depart.Math.,USTC,偏微分方程的建立,运输方程的建立弦振动方程的建立热传导方程的建立泊松方程的建立,Depart.Math.,USTC,偏微分方程的导出-运输方程,1.运输方程（石油管道运输、南水北调）,Depart.Math.,USTC,偏微分方程的导出-运输方程,Depart.Math.,USTC,偏微分方程的导出-运输方程,运输方程 ut+cux=0水平管道内有一种流体（比如，水）以恒定速度c流动水中含有某物质（如，污染物），以u（x,t）记其含量方程意义：污染物含量的变化率ut正比于其梯度ux,Depart.Math.,USTC,偏微分方程的导出-运输方程,0 b u(
2、x,t)c ch b+ch污染物在t时刻、区间0,b内的总量 M=0bu(x,t)dx=chb+chu(x,t)dx对b求导可得 u(b,t)=u(b+ch,t+h)对h求导，并令h=0,可得 0=cux+ut,Depart.Math.,USTC,偏微分方程的导出-运输方程,高维运输方程,Depart.Math.,USTC,偏微分方程的导出-振动方程,2.弦振动方程（小提琴、吉他、二胡）,Depart.Math.,USTC,偏微分方程的导出-振动方程,u(x,t)0 l T(x1,t)ux 1 T(x0,t)x0 x1,Depart.Math.,USTC,偏微分方程的导出-振动方程,物理假设：
3、柔软、均匀、细小弹性弦作微小横振动柔软 张力方向指向弦的切线方向均匀 弦的线密度为常数 细小 重力忽略不计微小横振动 u,ux很小,Depart.Math.,USTC,偏微分方程的导出-振动方程,物理定律：牛顿第二定律 F=ma纵向 横向,Depart.Math.,USTC,偏微分方程的导出-振动方程,数学简化 泰勒展开式微分可得,Depart.Math.,USTC,偏微分方程的导出-振动方程,张力T大小为常数,Depart.Math.,USTC,偏微分方程的导出-振动方程,弦振动方程的变种空气阻力 正比于 速度横向弹性力 正比于 位移系统受外力,Depart.Math.,USTC,偏微分方程
4、的导出-振动方程,弦振动方程的其他来源CRL电路 R C L物理量：电流u(x,t),电容 C，电阻 R，电感 L，电漏 G物理定律：Kirchhoff定律,Depart.Math.,USTC,偏微分方程的导出-振动方程,CRL电路的方程理想传输线：R=G=0,Depart.Math.,USTC,偏微分方程的导出-振动方程,高维振动方程-鼓面（薄膜）的振动,Depart.Math.,USTC,偏微分方程的导出-振动方程,物理假设 水平方向没有运动，Du(x,y,z,t)为竖直方向位移平面区域 D，边界 物理定律牛顿第二定律,Depart.Math.,USTC,偏微分方程的导出-振动方程,数学化
5、简Green公式弹性张力大小为常数,Depart.Math.,USTC,偏微分方程的导出-扩散方程,扩散方程油滴、墨渍等在水中扩散 x0 x1管内从x0到x1扩散物质总质量及其变化率,Depart.Math.,USTC,偏微分方程的导出-扩散方程,物理定律Fick扩散定律 扩散物从浓度高的区域向浓度低的区域扩散，扩散速度正比于浓度的梯度 流入量-流出量,Depart.Math.,USTC,偏微分方程的导出-扩散方程,数学简化对x1求导，得到扩散方程,Depart.Math.,USTC,偏微分方程的导出-扩散方程,高维扩散方程对任意区域D，有等式由区域的任意性，可得,Depart.Math.,U
6、STC,偏微分方程的导出-热传导方程,热传导方程 u(x,y,z,t)表示温度，H(t)表示区域D内的总热量，c为比热，为密度热量的变化率,Depart.Math.,USTC,偏微分方程的导出-热传导方程,物理定律-傅里叶热传导定律 热量总是从温度高的区域流向温度低的区域，流速正比于温度的梯度，因此，沿区域D的边界热量流出流入量为能量守恒定律,Depart.Math.,USTC,偏微分方程的导出-热传导方程,数学化简散度定理由区域的任意性，可得微分方程,Depart.Math.,USTC,偏微分方程的导出-泊松方程,波动或扩散的稳态方程 u(x,y,z,t)不依赖于t，则ut=0 u=0静电场
7、 q,Depart.Math.,USTC,偏微分方程的导出-薛定谔方程,氢原子的薛定谔波函数方程 m电子质量，e电子电量，普朗克常数除以2，坐标原点为质子位置，波函数u（x,y,z,t）满足薛定谔方程,Depart.Math.,USTC,偏微分方程的导出-薛定谔方程,物理意义：在量子力学中，物理量不能够精确测定，只能以概率形式测定，积分 表示电子出现在区域D内的概率，,Depart.Math.,USTC,偏微分方程的导出-薛定谔方程,薛定谔波函数方程 被认为是公理，而不是由其他更为简单定律的推论；它解释了为什么原子结构是稳定的，不会塌陷；波尔观察到的氢原子中电子的能级；理论上，它可以解释原子和分子的结构以及其化学性质。（多粒子薛定谔方程变量太多，而不好解。）,Depart.Math.,USTC,偏微分方程的导出-麦克斯韦方程组,麦克斯韦方程组电磁学的基石 电磁学表述了带电粒子之间的相互作用：带电粒子产生电场E，运动的带电粒子产生磁场B。真空中的麦克斯韦方程组（齐次）,Depart.Math.,USTC,偏微分方程的导出-麦克斯韦方程组,数学化简真空中的电场E和磁场B满足波动方程,Depart.Math.,USTC,偏微分方程的导出-麦克斯韦方程组,非真空中的麦克斯韦方程组（非齐次）,
