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1、一、全微分,1.定义,在x处可微指,一元函数:,在x的微分:,对二元函数,关于x偏增量,关于y偏增量,8.3 全微分,全增量的概念,全微分的定义,记为,即,可表示为,其中A,B与x,y有关,而与,无关.,则称函数在点,处可微分,并称,为函数在点,处的全微分,事实上,由可微知,2.函数在某点可微与连续关系:,即,3.可微的条件,定理1（必要条件）,证,同理可得,全微分的定义及叠加原理可推广到三元及三元以上函数,通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合 叠加原理,习惯上，记全微分为,是关于,一元函数在某点可导 微分存在,多元函数的各偏导数存在不一定 全微分存在,
2、4.偏导数存在与可微关系:,但只要偏导数存在就可形式地写出:,此式不一定是,的全微分,要使其成为全微分,则要证明,的高阶无穷小.,例1 函数,但不可微。,则有,对,若取,方向趋于,事实上，,故,不是关于 的高阶,无穷小，所以在 不可微。,在,处偏导数存在，,上例说明多元函数的各偏导数存在并不能保证 全微分存在.,定理（充分条件）,证明分析：,只要证明,由条件知，偏导数存在与偏增量有关，故改写,为,又,在,处连续，所以,由极限存在与无穷小关系知：,其中,有,下面证明：,是关于,时的高阶,无穷小，即证明,事实上，,所以,说明函数在给定点处可微分。,解,所求全微分,解,所求全微分,注意：,偏导数存在且连续是可微的充分条件，而非必要条件，即函数在某点可微其偏导数在该点不一定连续。,证明思路:,(1)按连续定义证明在 连续;,(2)分,求偏导数;,(4)用定义证 f 在 处可微.,(3)证偏导数在 不连续;,例3,试证函数,多元函数连续、偏导数、可微的关系,
