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1、小结与复习,第十二章 全等三角形,能够完全重合的两个图形叫全等图形，能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.,要点梳理,一、全等三角形的性质,B,C,E,F,其中点A和，点B和，点C和_ _是对应顶点.AB和，BC和，AC和 是对应边.A和，B和，C和 是对应角.,A,D,点D,点E,点F,DE,EF,DF,D,E,F,A,B,C,D,E,F,性质：,全等三角形的对应边相等，对应角相等.,如图：ABCDEF，AB=DE，BC=EF，AC=DF（），A=D，B=E，C=F（）.,全等三角形的对应边相等,全等三角形的对应角相等,应用格式：,1.三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边边边”或“S
2、SS”）.,在ABC和 DEF中，,ABC DEF.（SSS）,用符号语言表达为：,二、三角形全等的判定方法,用符号语言表达为：,在ABC与DEF中,ABCDEF.（SAS）,2.两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”).,F,E,D,C,B,A,在ABC和DEF中，,ABCDEF.（ASA）,3.有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”）.,用符号语言表达为：,F,E,D,C,B,A,4.有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”）.,5.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
3、.简写成“斜边、直角边”或“HL”.,A,B,C,D,E,F,注意：对应相等.“HL”仅适用直角三角形,书写格式应为:在Rt ABC 和Rt DEF中，AB=DE，AC=DF，RtABCRtDEF(HL),角的平分线的性质,OP平分AOB,PDOA于D,PEOB于E,PD=PE,OP平分AOB,PD=PE,PDOA于D,PEOB于E,角的平分线的判定,三、角平分线的性质与判定,考点讲练,例1 如图，已知ACEDBFCE=BF，AE=DF，AD=8，BC=2（1）求AC的长度；（2）试说明CEBF,解：（1）ACEDBF，AC=BD，则AB=DC，BC=2，2AB+2=8，AB=3，AC=3+2
4、=5；（2）ACEDBF，ECA=FBD，CEBF,两个全等三角形的长边与长边，短边与短边分别是对应边，大角与大角，小角与小角分别是对应角.有对顶角的，两个对顶角一定为一对对应角.有公共边的，公共边一定是对应边.有公共角的，公共角一定是对应角.,1.如图所示，ABDACD，BAC=90（1）求B；（2）判断AD与BC的位置关系，并说明理由,解：（1）ABDACD，B=C，又BAC=90，B=C=45；（2）ADBC理由：ABDACD，BDA=CDA，BDA+CDA=180，BDA=CDA=90，ADBC,例2 已知，ABCDCB，ACB DBC，求证：ABCDCB,ABCDCB(已知），BCC
5、B（公共边），ACBDBC（已知），,证明：,在ABC和DCB中，,ABCDCB（ASA）.,【分析】运用“两角和它们的夹边对应相等两个三角形全等”进行判定,2.已知ABC和DEF,下列条件中,不能保证ABC和DEF全等的是()A.AB=DE,AC=DF,BC=EF B.A=D,B=E,AC=DFC.AB=DE,AC=DF,A=D D.AB=DE,BC=EF,C=F,D,3.如图所示，AB与CD相交于点O,A=B，OA=OB 添加条件，所以 AOCBOD 理由是.,C=D,或AOC=BOD,AAS,或ASA,例3 如图，在ABC中，AD平分BAC,CEAD于点G,交AB于点E,EFBC交AC于
6、点F,求证：DEC=FEC.,【分析】,欲证DEC=FEC,由平行线的性质转化为证明DEC=DCE,只需要证明DEG DCG.,证明：CEAD,AGE=AGC=90.,在AGE和AGC中，,AGE AGC(ASA)，,GE=GC.,AD平分BAC,EAG=CAG，.,在DGE和DGC中，,DGE DGC(SAS).,DEG=DCG.,EF/BC,FEC=ECD，,DEG=FEC.,利用全等三角形证明角相等，首先要找到两个角所在的两个三角形，看它们全等的条件够不够；有时会用到等角转换，等角转换的途径很多，如：余角，补角的性质、平行线的性质等，必要时要想到添加辅助线.,4.如图，OBAB,OCAC
7、,垂足为B,C,OB=OC，BAO=CAO吗？为什么？,解：BAO=CAO，,理由：OBAB,OCAC，B=C=90.在RtABO和RtACO中，OB=OC，AO=AO，RtABORtACO，（HL）BAO=CAO.,例4 如图，两根长均为12米的绳子一端系在旗杆上，旗杆与地面垂直，另一端分别固定在地面上的木桩上，两根木桩离旗杆底部的距离相等吗？,【分析】将本题中的实际问题转化为数学问题就是证明BD=CD.由已知条件可知AB=AC，ADBC.,解：相等，理由如下：,ADBC，,ADB=ADC=90.,在RtADB和RtADC中，,RtADB RtADC(HL).,BD=CD.,利用全等三角形可
8、以测量一些不易测量的距离和长度，还可对某些因素作出判断，一般采用以下步骤：（1）先明确实际问题；（2）根据实际抽象出几何图形；（3）经过分析，找出证明途径；（4）书写证明过程.,5.如图，有一湖的湖岸在A、B之间呈一段圆弧状，A、B间的距离不能直接测得你能用已学过的知识或方法设计测量方案，求出A、B间的距离吗？,解：要测量A、B间的距离，可用如下方法：过点B作AB的垂线BF，在BF上取两点C、D，使CD=BC，再作出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直线上，ACB=ECD，CB=CD，ABC=EDC，EDCABC（ASA）DE=BA答：测出DE的长就是A、B之间的距离,C,D,E,例5 如图,
9、1=2,点P为BN上的一点，PCB+BAP=180，求证:PA=PC.,【分析】由角平分线的性质易想到过点P向ABC的两边作垂线段PE、PF，构造角平分线的基本图形.,【证明】过点P作PEBA,PFBC,垂足分别为E,F.,1=2,PEBA,PFBC,垂足分别为E,F.,PE=PF,PEA=PFC=90.,PCB+BAP=180,又BAP+EAP=180.,EAP=PCB.,在APE和CPF中，,APE CPF(AAS)，,AP=CP.,【证法2思路分析】由角是轴对称图形，其对称轴是角平分线所在的直线，所以可想到构造轴对称图形.方法是在BC上截取BD=AB,连接PD（如图）.则有PABPDB,
10、再证PDC是等腰三角形即可获证.,B,证明过程请同学们自行完成！,【归纳拓展】角的平分线的性质是证明线段相等的常用方法.应用时要依托全等三角形发挥作用.作辅助线有两种思路，一种作垂线段构造角平分线性质基本图；另一种是构造轴对称图形.,6.如图,1=2,点P为BN上的一点，PA=PC，求证:PCB+BAP=180.,【证明】过点P作PEBA,PFBC,垂足分别为E,F.,1=2,PEBA,PFBC,垂足分别为E,F.,PE=PF,PEA=PFC=90.,在RtAPE和RtCPF中，,RtPAE RtPCF(HL).,EAP=FCP.,BAP+EAP=180，,PCB+BAP=180.,想一想：本题如果不给图，条件不变，请问PCB与PAB有怎样的数量关系呢？,全等三角形,性质,基本性质和其他重要性质,判定,判定方法基本思路,作用,是证明两条线段相等和角相等的常用方法,寻找现有条件（包括图中隐含条件）,选定判定方法证明准备条件,角的平分线的性质定理,角的平分线的判定定理,证明两条线段相等,证明角相等,辅助线添加方法,课堂小结,
