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1、6 整理和复习,一、数的认识,1、整数与自然数：（1）像-3、-2、-1、0、1、2、3，这样的数统称为整数。整数包括0和大于0的自然数，还有小于0的负整数。没有最小的整数，也没有最大的整数，整数的个数是无限的。（2）我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1、2、3，这样的数叫做自然数,自然数是整数的一部分,“1”是自然数的单位。一个物体也没有，就用0表示，0也是自然数。最小的自然数是0，没有最大的自然数.,3、分数：（1）把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。（2）表示其中一份的数就是这个分数的分数单位，分数单位也就是分成的总份数分之一，有几个这样的分数单位，就看分子
2、，分子是几就有几个这样的分数单位。例如：的分数单位是，它有3个。（3）带分数的分数单位跟假分数的分数单位相同，要把带分数化成假分数来看。例如：1=，它的分数单位是，它有11个。（4）,真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。（真分数都小于1）,假分数：分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数。（假分数大于或等于1）,带分数：由整数和真分数合成的数叫做带分数。（带分数都大于1）,（5）分率和数量的区别：分率不带单位，而数量要带单位。填空时，分率每份占，数量每份是。例如：把一根3米长的绳子平均分成5段，每段占全长的（15），每段绳子长 米（35）。,(6)1的 和3的，计算结果相同，但表示的意义
3、不同。1的 是表示把单位“1”平均分成4份，取其中的3份。而3的 是表示把3看作单位“1”，平均分成4份，取其中的1份。,（7）两个数相除，它们的商可以用分数来表示。即：a b=（b0）(在除法中，除数不能为0；在分数中分 母不能为0；在比中，比的后项不能为0。),（8）分数与除法的关系：,（2）小数点位置移动引起小数大小的变化：在移动小数点时，不管向左，还是向右移动，位数不够的，要用0不足，不够几个就补几个0。,(4)小数的基本性质：在小数的末尾添上0或去掉0，小数的大小不变，这叫做小数的基本性质。利用小数的基本性质，可以进行化简小数。特别是计算的结果，小数末尾的0要去掉，化简小数；但在取近
4、似值时，小数末尾的0不能去掉，因为它表示着近似值的精确度。,（5）小数的分类：小数,有限小数（小数部分是有限的小数）,无限小数（小数部分是无限的小数）,纯小数：整数部分是0的小数，纯小数都小于1。,带小数：整数部分不是0的小数，带小数等于或大于1。,不循环小数：小数部分不循环的小数,循环小数（小数部分循环的小数）,纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始循环的,混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始循环的,循环小数：一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字依次不断地重复出现，这样的小数叫做循环小数。循环小数都是无限小数，但无限小数不一定是循环小数。,循环节：一个循环小数的小数部分中
5、，依次不断重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。,二、数的读法和写法（读数用大写，写数用阿拉伯数字小写）,5、整数多位数的读、写法：,4、十进制计数法：“十进制计数法”是世界上各国最常用的一种计数方法。每相邻的两个计数单位之间的进率都是“十”，也就是10个小单位可以进成一个大单位（通常说的“哪一位上满10，就向它的前一位进1”），这种计数的方法，叫做十进制计数法。,读法：先把这个数四位分级，从高位到低位，一级一级地读，数字是几就读几，亿级的后面加“亿”字，万级的后面加“万”字。每一级末尾的0都不读出来，其他数位不管连续有几个0，都只读一个零。（即：级头级中有0读一个）（例如：520 008
6、0 3100 读作：五百二十亿零八十万三千一百。）,写法：先把这个数四位分级，从高位到低位，一级一级地写，亿级“亿”字前面是几就写数字几，万级“万”字前面是几就写数字几，个级上是几就写数字几。哪一个数位上一个计数单位也没有，就在那个数位上写0，表示占位。（例如：四十亿六千零六十万零五十 写作：40 6060 0050。）,亿级,万级,个级,6、分数的读、写法：,读法：先读下面的分母（数字是几就读几），再读分数线（读作“分之”），最后读分子（数字是几就读几）。（例如：读作：四分之三。）如果读带分数，要先读整数部分（数字是几就读几），中间要加一个“又”字，再读分数部分。（按分数的读法读）（例如：1
7、 读作：一又九分之八。）,写法：先写中间的分数线，再写下面的分母，最后写上面的分子。（一般占两行格子，算式中分数线要对齐“=”号中两条横线的中间。（例如：二分之一 写作：）如果写带分数，要先写“又”字前面的整数部分，再写“又”字后面的分数部分。（整数部分要对齐分数线，距离要紧凑合适。）（例如：三又五分之四 写作 3。）,7、百分数的读、写法：,读法：先读百分号“%”，读作：“百分之”，再读数字，数字是几就读几。(例如：0.5%读作：百分之零点五。),写法：百分数通常不写成分数形式，而是在原来的分子后面加上百分号“%”。写百分数时，要先写分子的数字，数字是几就写几，再在数字的后面加上百分号“%”
8、（例如：百分之三点九 写作：3.9%。）,8、小数的读、写法：,读法：从左往右读，先读整数部分（按照整数的读法读，整数部分是0的读作“零”），再读小数点（读作“点”），然后读小数部分（从十分位起顺次读出每一个数字，不管连续有几个0，都要依次读出几个零来。）（例如：7.00023 读作：七点零零零二三。）,写法：从左往右写成，先写整数部分（按照整数的写法写，整数部分是零的写作“0”），再写小数点（写在个位的右下角），然后写小数部分（从十分位起顺次写出每一个数字，不管连续有几个零，都要依次写出几个0来。）（例如：五十八点零九零一 写作：58.0901。）,有关百分率的应用题：（这类应用题计算结果的
9、得数，只可能是小于或等于100%，最大也只能是100%，绝对不会大于100%。,率=100%,数,总数量,三、数的改写,1、把多位数改写成以“万”或“亿”为单位的数：一个较大的多位数，为了读写方便，常常把它改写成用“万”或“亿”作单位的数。改写时，先找到“万位”或“亿位”上的数，并在它的后面点上小数点（也就是把原数的小数点向左移动4位或8位）根据小数的基本性质，保留有效数字，去掉末尾的0，然后在数的后面加一个“万”字或“亿”字。改写是原数的本身，大小不变，中间要用“=”连接。例如：235800=23.58 万（改写成用“万”作单位的数）,2、把多位数省略“万位”或“亿位”后面的尾数，写成近似数
10、：有时可以根据需要，省略多位数“万位”或“亿位”后面的尾数，写成它的近似数。省略时，先找到“万位”或“亿位”上的数，并在它的后面点上小数点，再看小数点后面第一位（十分位）上的数，用“四舍五入”法精确到个位（保留整数）写出近似数，然后在数的后面加一个“万”字或“亿”字。省略尾数是原数的近似数，大小改变，大于或小于原数，中间要用“”连接。例如：235800 24 万（省略“万位”后面的尾数）,3、求小数的近似数：根据需要，要把小数保留到哪一位，求它的近似数，要看比保留的位数多一位上的数字，然后用“四舍五入”法（不满5的4、3、2、1、0舍去尾数不进“1”；满5的5、6、7、8、9舍去尾数向它的前一
11、位进“1”）省略。保留一位小数，表示精确到十分位，保留两位小数，表示精确到百分位在取近似值时，小数末尾的0不能去掉，因为它表示着近似值的精确度。求小数的近似数也是原数的近似数，大小改变，大于或小于原数，中间也是用“”连接。例如：4.62975 4.6（保留一位小数）4.62975 4.63（保留两位小数）4.62975 4.630（保留三位小数）,4、假分数与整数、带分数之间的互化：,分子是分母倍数的假分数化成整数:用分子除以分母。（例如：=62=3）,6,2,整数化假分数：整数根据需要可以化成分母是（0除外）任意自然数的假分数，用指定的分母作分母，用分母与整数相乘的积作分子。（例如：3=）,
12、53,5,15,5,自然数“1”根据需要可以化成分母是（0除外）任意自然数的假分数，这个假分数的分子和分母相等。（例如：1=）,2,2,假分数化成带分数：用分子除以分母，商是带分数的整数部分，余数是分数部分的分子，分母不变。（例如：=74=1）,3,4,带分数化假分数：用整数乘以分母的积加分子作分子，分母不变。（例如：2=）,1,5,25+1,5,11,5,5、小数、分数与百分数之间的互化：,互化：,怎样判断一个分数能不能化成有限小数：一个最简分数（表示最简分数的，要先把它约成最简分数），如果分母的数字分解质因数后，只含有质因数2和5（可以是单独的5，也可以是单独的5，还可以是2和5同时出现）
13、，这个分数就一定能化成有限小数；如果分母中除了2和5 以外，还含有其他的质因数，这个分数就不能化成有限小数。例如：因为 8=2 2 2，所以 能化成有限小数。,因为 15=3 5，所以 就不能化成有限小数。,四、数的大小比较,1、多位数的大小比较：位数多的数就大，位数少的数就小。（例如：7425839 961548）如果位数相同，看最高位，最高位大的数就大，最高位小的数就小：最高位上的数也相同，依次往下比较。（例如：84253 71964）,2、正数、0 和负数的大小比较：正负比较正数大；（例如：+1 1）正正比较大数大；（例如：+3 2）负负比较小数大；（例如：1 2）0正比较正数大；（例如
14、：+1 0）0负比较 0 较大。（例如：0 1）,3、小数的大小比较：先看它们的整数部分，整数部分大的数就，整数部分小的数就小；（例如：2.11.98）整数部分相同的，看小数部分的十分位，十分位上大的数就大，十分位上小的数就小；十分位上的数也相同的，依次往下吧比较。（例如：41.36 41.32）,4、分数的大小比较：真分数、假分数或整数部分相同的带分数：分母相同的分数，分子大的分数就大，分子小的分数就小；（例如：）真分数、假分数或整数部分相同的带分数：分子相同的分数，分母小的分数才大，分母大的分数反而小；（例如：）真分数都比假分数和带分数小；（例如：1）整数部分不同的带分数：整数部分大的带分
15、数就大，整数部分小的带分数就小；（例如：）分子和分母都不相同的分数，可以写通分，化成同分母的分数后，再比较大小。例如：和,7,3,5,=,3 5,4 5,=,15,20,=,=,20,16,因为，所以,5、百分数的大小比较：直接看百分号前面的数字，数字大的百分数就大，数字小的百分数就小。（例如：70%69%、3%4%）,6、混合数的大小比较：如果是一些混合数比较大小，必须先在草稿纸上把它们化成统一的数，再进行大小比较。最好是化成整数和小数来比较，有循环小数的，根据需要的位数把循环的数写出来再比较。,如果直接就在一个数的后面添上百分号，这个数就比原来缩小了100倍。（例如：2 2%，2%就比2缩
16、小了100倍。）,如果直接就把一个数后面的百分号去掉，这个数就比原来扩大了100倍。（例如：5%5，5就比5%扩大了100倍。）,五、因数与倍数,1、整除和除尽：（是两个完全不同的概念）,整除：整数a 除以整数b（b 0），除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a 能被b整除（也可以说b 能整除a）。整除被除数、除数（0除外）和商三个数都必须是整数。（例如：63=2，6能被3整除或3能整除6。）,除尽：被除数、除数（0除外）和商三个数中只有一个是整数、两个是整数（或者一个整数也没有）。（例如：0.60.3=2，6能被3除尽或3能除尽6。）,除尽已经包含了整除在内，整除只是属于除尽的一部分。能整
17、除的一定都能除尽，但能除尽的不一定都能整除。,除尽,整除,2、能被2、5、3整除的数的特征：,能被2整除的数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除。,能被5整除的数的特征：个位上是0或者5的数，都能被5整除。,能被3整除的数的特征：一个数的各位上的数加起来的和能被3整除,这个,数就能被3整除。,能同时被2和5整除的数的特征：个位上是0的数，能同时被2和5整除。最,小的两位数是10；最大的两位数是90。,能同时被2和3整除的数的特征：个位上是0、2、4、6、8，且各位上的数加起来的和能被3整除，这个数就能同时被2和3整除。能同时被2和3整除的一位数只有6；最小的两位数是12；最大的
18、两位数是96；最小的三位数是102；最大三位数是996。,能同时被3和5整除的数的特征：个位上是0或者5，且各位上的数加起来的和能被3整除，这个数能同时被2和3整除。能同时被3和5整除的最小两位数是15；最大两位数是90；最小三位数是105；最大三位数是990。,能同时被2、3、5整除的数的特征：个位上只能是0，且各位上的数加起来的和能被3整除,这个数就能同时被2、3、5整除。能同时被2、3、5整除的最小两位数是30；最大两位数是90；最小三位数是120；最大三位数是990。,3、奇数和偶数：,奇数：在自然数中，不能被2整除的数叫做奇数。最小的奇数,是1，没有最大的奇数。,偶数：在自然数中，能
19、被2整除的数叫做偶数。0也是偶数。最小的偶数是0，,没有最大的偶数。,在所有的自然数中，不是奇数，就是偶数。,4、因数和倍数：,如果数a能被数b（b 0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（或约数）。倍数和因数是相互依存的，要说谁是谁的倍数，谁是谁的因数，不能单独说谁是倍数，谁是因数。（例如：63=2，6能被3整除，6是3的倍数，3是6的因数。）,求一个数的因数的方法：所有能整除这个数的数，都是它的因数。求一个数的因数时，要从1和它的本身相乘开始，背着乘法口诀，两个数相乘一对一对地找，找完以后，按照从小到大的顺序写出来。一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
20、（例如：求12因数）,112,12=,26,34,12的因数有：1、2、3、4、6、12,求一个数的倍数的方法：所有能被这这个数整除的数，都是它的倍数。求一个数的倍数时，只要把这个数从小到大分别乘以自然数（0除外）1、2、3、乘的积就是这个数的倍数。一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。（例如：求5倍数。）,51=5,5,52=10,53=15,5的倍数有：5、10、15、20.,.,1是（0 除外）所有自然数的因数，或者说所有（0除外）的自然数都有因数1。,5、质数和合数：,质数：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）。最小的质数是2，没
21、有最大的质数。2是唯一的偶质数，一个质数最多只能有两个因数。,50以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47（共15个）。,合数：一个数，如果除了1和它本身，还有别的因数，这样的数叫做合数。最小的合数是4，没有最大的合数，一个合数至少要有3个因数。最少有3个数。,1既不是质数，也不是合数。,怎样判断一个数是质数还是合数：,看因数的个数：只有两个因数的是质数，有三个或三个以上因数,的是合数。,查质数表：（20以内的质数）有：2、3、5、7、11、13、,17、19（共8个）。,6、自然数的分类：,按能不能被2整除，只可以分为两类：奇数和偶数。,
22、所以：自然数不是奇数就是偶数，这种说法是对的。,按因数的个数，要分为三类：质数、合数和1。所以：自然数不是质数，就是合数，这种说法是错误的。,7、分解质因数：,每个合数都可以写成几个质数相乘的形式,其中每个质数都是这个合数的因数,都叫做这个合数的质因数。,把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。（格式：先把要分解的合数写在前边，中间写=，几个相乘的质因数写在后边。）,例如：把10分解质因数。10=2 5（质数2和5都叫做合数10的质因数。）,分解质因数的方法：,数的分解法。(例如:10=2 5),10,2 5,短除法。先用这个合数的质因数（通常从最小的质数2开始，没有2从3，依次
23、往下）去除，除到商是质数为止，然后把所有的除数和最后的商写成连乘的形式。,（例如：,10,2,5,10=2 5),8、最大公因数和最小公倍数：,几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。,公因数中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。,公因数只有1的两个数，叫做互质数。,质数和互质数的区别：（是两个完全不同的概念）,构成互质数的几种情况：（有5种）,两质（两个都是质数）：（例如：2和3）,两合（两个都是合数）：（例如：4和9）,一质一合（一个是质数，一个是合数）：（例如：5和8）,1和（0除外）所有的自然数：（例如：1和6）,任意两个连续（或者相邻）的自然数：（例如：20和21）,质数是指只有1
24、和它本身两个因数的一个数。（例如：7是质数）,互质数是指公因数只有1的两个数。（例如：9和10是互质数）,几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。,公倍数中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。,求两个数的最大公因数和最小公倍数的常用方法：,分解质因数法。先把两个合数分解质因数，然后求最大公因数是把两个数公有的质因数相乘;而求最小公倍数是把两个数公有的质因数和它们各自独有的质因数都相乘。,短除法。从最小的质数2开始，没有2从3，依次往下）去除，一直除到两个数最后的商是互质数为止，然后求最大公因数是把短除号前面所有的除数乘起来;而求最小公倍数是把短除号前面所有的除数和短除号下面所有的商都要乘起来
25、。,（例如：求12和20的最大公因数和最小公倍数。）,12=,20=,2 2 3,2 2 5,12和20的最大公因数是：22=4,12和20的最小公倍数是：2235=60,特殊情况下求两个数的最大公因数和最小公倍数的简便方法：,（例如：求12和20的最大公因数和最小公倍数。）,12 20,2,6 10,3 5,2,12和20的最大公因数是：22=4,12和20的最小公倍数是：2235=60,如果两个数是互质数,那么它们的最大公因数就是1；最小公倍数就是这两个数的乘积。（例如：2和9，它们的最大公因数就是1；最小公倍数就是：29=18）,如果两个数成倍数关系时,那么它们的最大公因数就是较小的数；
26、最小公倍数就较大的数。,（例如：4和24，它们的最大公因数就是4；最小公倍数就是：24）,六、约分和通分,分子分母是互质数（也就是分子分母只有公因数1）的分数，叫做最简分数。（例如：就是一个最简分数。）,把一个分数化成最简分数的过程叫做约分。计算的结果，不是最简分数的，一般都要约成最简分数；是假分数的要化成整数或带分数。）,约分的方法：先求出分子、分母的最大公因数，然后根据分数的基本性质，把分子、分母分别除以它们的最大公因数。例如：把 约分。=（分子15、分母35的最大公因数是5）,分母相同的两个或几个分数叫做同分母分数；分母不相同的两个或几个分数叫做异分母分数。,把异分母分数化成同分母分数的过程叫做通分。,通分的方法：先求出两个分母的最小公倍数，然后根据分数的基本性质，把两个分数的分母分别化成用最小公倍数作公分母的分数。,例如：把 和 通分。（用12作分母4和6的公分母）,=,=,33,43,52,62,=,=,12,9,
