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1、1,对于如下泊松方程的边值问题而言：,补充,(P),(P1),思路1,将问题(P)的解看成两部分，,令,和,分别满足,2,(P1),(P2),和,固有函数法,分离变量法(或试探法),对于如下泊松方程的边值问题而言：,补充,(P),3,(Q),思路2,(1)找出此泊松方程的一个特解,令,(2)将泊松方程化成拉普拉斯方程,可用分离变量法或试探法求解问题(Q),对于如下泊松方程的边值问题而言：,补充,(P),4,几种常见的固有函数系的形式,(1),(2),(3),(4),以上几种形式对于一维振动方程、热传导方程和,矩形域上的泊松方程是适用的。,圆域上的泊松方程对应的固有函数系为,(5),小结,5,固
2、有函数法的解题步骤：,小结,1.将所考虑的定解问题的解按固有函数系展开,2.将非齐次方程中的自由项也按固有函数系展开,如果自由项已经含有固有函数的形式，可直接,进入下一步。,3.将步骤1、2中的形式代入非齐次方程中化简，,并比较待定系数得到一个常微分方程,4.将利用初值条件得到步骤3中常微分方程的附,加条件。,然后求解常微分方程的初值问题。,注意：,若是泊松方程则需借助有界性和边界条件,6,2.5 具有非齐次边界条件的问题,本节我们讨论带有非齐次边界条件的定解问题,的求解方法。,处理这类问题的基本原则是：,无论方程是齐次的还是非齐次的，选取一个辅,助函数,的方法。（也可称为辅助函数法）,我们以
3、下面的问题为例，说明选取函数代换,通过函数代换,使得对于新的未知函数,而言，边界条件是,齐次的。,7,考察定解问题：,(80),(81),(79),通过作一函数变换将边界条件化为齐次的，,为此令,(82),并选取辅助函数,使新的未知函数,满足齐次边界条件，即,(83),由(80)(82)容易看出，,要使(83)成立，只要,(84),8,(80),(81),(79),(82),(84),其实满足(84)中两个条件的函数,是很多的，,为了以后计算方便起见，通常取,为,的一次,式，,即设,由条件(84)确定,得,9,(80),(81),(79),(82),于是可得,因此，令,(85),则问题(79)
4、-(81)可化成,的定解问题,10,(80),(81),(79),(86),其中,(85),11,(80),(81),(79),(86),(85),将问题(86)的解代入,即得原定解问题问题(79)-(81)的解。,12,(79),(4),(3),(2),(1),若边界条件不全是第一类的，也可采用类似方法,把非齐次边界条件化成齐次的。,我们就下列几种,非齐次边界条件的情况，分别给出相应辅助函数,的表达式：,以上4种辅助函数的情形对热传导方程同样适用。,13,求解下列问题：,(87),例1,(88),解,选取辅助函数,令,则问题(87)化成,14,(89),(88),应用固有函数法求问题(88)
5、的解。,为此，设,利用节中推得公式(64)可知,再利用节中推得公式(62)可知,15,再将,代入,(90),即得,把(90)代入(89),可得,因此，原问题(87)的解为,16,特别值得注意的是，对于给定的定解问题，,例如：,如果方程中的自由项,和边界条件中的,都与自变量,无关，,在这种情形下，我们可以选取,辅助函数,通过函数代换,使方程与边界条件同时化成齐次的。,17,求解下列问题：,(91),例2,解,设问题的解为,(92),将(92)代入问题(91)中的方程，即得,为了将此方程化成齐次的，自然选取,满足,18,求解下列问题：,(91),例2,解,(92),再把(92)代入问题(91)中的
6、定解条件，得,为了将,的边界条件也化成齐次，,则,满足,19,(94),(93),(91),(92),这样由代换,问题(91)化为下面两个问题：,和,20,(93),问题(93)是一个常微分方程的边值问题，其解为,将求得的,代入问题(94),(*),21,(*),(14),(15),利用公式,其中系数,满足,22,那么,其中系数,计算可得,23,(94),于是，问题(94)的解为,因此，原问题(91)的解为,24,求解下列问题：,(91),例2,另解,选取辅助函数,令,代入问题(91)得,(*),25,由节的分析可设,而且,和,分别满足如下定解问题,(I),(II),(*),26,(II),利
7、用2.1节中的公式(14)(15)可算得,其中系数,为,则问题(II)的解为,27,(I),应用固有函数法求问题(I)的解。,为此，令,利用节中推得公式(53)可知,再利用节中推得公式(51)可知,28,(I),当,时，,当,时，,29,(I),则得问题(I)的解为,将问题(II)的解,和辅助函数,以及问题(I)的解加在一起，则得,原问题(91)的解：,30,内容小结,1.对一维波动方程和热传导方程的定解问题而言：,当方程和边界条件均为齐次时，,不管初值条件,如何，可直接应用分离变量法求解；,当边界条件为齐次、,方程与初始条件为非齐次,时，原定解问题分解成两个，,其一是方程为齐次的并具有原初始
8、条件的定解,问题，这个问题应用分离变量法求解；,其二是方程为非齐次的并具有齐次初始条件的,定解问题，该问题应用固有函数法求解；,31,内容小结,1.对一维波动方程和热传导方程的定解问题而言：,当边界条件为非齐次时，,则必须引进辅助函数,把边界条件化为齐次的，,然后再按照以前的方法,求解。,分离变量法、,固有函数法、,作辅助函数法,方程和边界条件齐次,方程非齐次，定解条件齐次,边界条件非齐次,32,2.对于二维拉普拉斯方程的边值问题而言：,应根据求解区域的形状适当的选取坐标系，使得,在此坐标系中边界条件的表达式最为简单，便于,求解。,内容小结,对圆域、圆环域、扇形域等采用极坐标,例如，,对于像矩形,带形,一类的区域采用直角坐标系,应当指出，只有当求解区域很规则时，才可以应,用分离变量法求解拉普拉斯方程的边值问题。,33,3.对于二维泊松方程的边值问题而言：,内容小结,(P),(Q),思路1,(1)找出此泊松方程的一个特解,令,(2)将泊松方程化成拉普拉斯方程,可用分离变量法或试探法求解问题(Q),34,3.对于二维泊松方程的边值问题而言：,内容小结,(P),(P1),思路2,将问题(P)的解看成两部分，,令,和,分别满足,35,3.对于二维泊松方程的边值问题而言：,内容小结,(P),(P1),(P2),和,固有函数法,分离变量法(或试探法),
